Integrală Henstock-Kurzweil

În analiza matematică , „integral Henstock-Kurzweil este o posibilă definiție a integralului pentru o funcție de variabilă reală . Conceptul a fost introdus independent de Ralph Henstock și Jaroslaw Kurzweil din 1957 .

Este, de asemenea, cunoscut ca un ecartament integral sau ca o integrală Riemann generalizată, deoarece definiția sa se realizează ca o generalizare a acelei „ integrale Riemann .

Introducere istorică

Chiar și după definirea integralei Lebesgue , a fost imposibil să se afirme validitatea generală a celei de-a doua teoreme fundamentale a calculului : au rămas, de fapt, unele funcții care posedau primitive, dar nu erau integrate, chiar și pe intervale limitate de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ ; acest lucru se referea în mod evident la funcții cu un comportament destul de "patologic", cum ar fi o funcție care are o asimptotă verticală într-un punct. Problema nu a fost neglijabilă din cauza implicațiilor sale în studiul ecuațiilor diferențiale .

Primul care s-a interesat de această chestiune a fost Arnaud Denjoy , care în 1912 a reușit să dea o definiție a integralei care îndeplinea în totalitate această cerință, adică astfel încât următoarea afirmație să fie adevărată:

Dacă o funcție

f\colon [a,b]\to \mathbb {R}

${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ este diferențiat, atunci derivata sa este integrabilă și se menține

\int _{a}^{b}\!f'(x)\,\mathrm {d} x=f(b)-f(a).

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \! f '(x) \, \ mathrm {d} x = f (b) -f (a).}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \! f '(x) \, \ mathrm {d} x = f (b) -f (a).}

De fapt, acest rezultat generalizează teoremele corespunzătoare cu privire la Riemann și Lebesgue deoarece integrabilitatea derivatei este o teză, nu o ipoteză. Definiția sa a fost totuși foarte complicată, deoarece a folosit noțiunea de inducție transfinită pentru a gestiona singularitatea care a intrat în joc.

Doar doi ani mai târziu, Oskar Perron a dat o altă definiție care a rezolvat și problema integrării derivatelor. Integrala sa a fost dată în termeni de funcții majore și minore, cu un limbaj extrem de diferit de cel al lui Denjoy, totuși s-a demonstrat că cele două definiții sunt echivalente: fiecare funcție integrabilă Denjoy este integrabilă Perron cu aceeași valoare ca integrala si invers.

În anii cincizeci , în cele din urmă, britanicul Ralph Henstock și cehul Jaroslaw Kurzweil au dat, indiferent, o nouă definiție a integralului, care folosește o ușoară generalizare a definiției lui Riemann. Această definiție este, de asemenea, echivalentă cu cea a lui Denjoy, dar este formulată într-un mod care este în mod clar mai familiar și mai ușor de înțeles decât celelalte.

Definiție

Definiția originală este dată pentru funcții $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ definit pe intervale compacte în valori reale . În ceea ce privește integrala Riemann, lucrul cu partițiile de interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ . Spre deosebire de acesta din urmă, însă, alegerea punctelor din interiorul fiecărui sub-interval al partiției nu este arbitrară, ci trebuie să satisfacă o altă ipoteză de regularitate. De fapt, ei vor fi eligibili pentru a forma o partiție Riemann doar sumă $\{I_{j}\}$ ${\ displaystyle \ {I_ {j} \}}$ ${\ displaystyle \ {I_ {j} \}}$ că, împreună cu o serie de puncte de alegere $t_{j}\in I_{j}$ ${\ displaystyle t_ {j} \ în I_ {j}}$ ${\ displaystyle t_ {j} \ în I_ {j}}$ , îndeplinește un criteriu numit di $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -finitezza, ^[1] care stabilește cum

I_{j}\subset (t_{j}-\delta (t_{j}),t_{j}+\delta (t_{j})),

{\ displaystyle I_ {j} \ subset (t_ {j} - \ delta (t_ {j}), t_ {j} + \ delta (t_ {j})),}

{\ displaystyle I_ {j} \ subset (t_ {j} - \ delta (t_ {j}), t_ {j} + \ delta (t_ {j})),}

unde este $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ este o funcție strict pozitivă definită pe $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ . Cuplul $(\{t_{j}\},\{I_{j}\})$ ${\ displaystyle (\ {t_ {j} \}, \ {I_ {j} \})}$ ${\ displaystyle (\ {t_ {j} \}, \ {I_ {j} \})}$ punctele de alegere-subintervalele se spune pentru concizie o partiție de episod $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -fini și funcționează $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ un gabarit.

În acest moment se poate spune că:

Functia

f\colon [a,b]\to \mathbb {R}

${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ are integralul Henstock-Kurzweil egal cu valoarea

LA

${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă pentru fiecare

\varepsilon >0

${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există o funcție de măsurare

\delta

${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ astfel încât fiecare partiție indicată de

[a,b]

${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$

\delta

${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -fine satisfac

\left|\sum _{j=1}^{n}(f(t_{j})\cdot |I_{j}|)-A\right|<\varepsilon .

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {j = 1} ^ {n} (f (t_ {j}) \ cdot | I_ {j} |) -A \ right | <\ varepsilon.}

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {j = 1} ^ {n} (f (t_ {j}) \ cdot | I_ {j} |) -A \ right | <\ varepsilon.}

Primul termen al inegalității de mai sus este exact suma Riemann a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ referitoare la puncte $t_{j}$ ${\ displaystyle t_ {j}}$ ${\ displaystyle t_ {j}}$ iar la intervale $I_{j}$ ${\ displaystyle I_ {j}}$ $I_ {j}$ ( $|I_{j}|$ ${\ displaystyle | I_ {j} |}$ ${\ displaystyle | I_ {j} |}$ Reprezintă intervalul de măsurare $I_{j}$ ${\ displaystyle I_ {j}}$ $I_ {j}$ ). Observăm, de fapt, că această definiție este aproape aceeași cu cea a lui Riemann; diferențele sunt limitate pentru a înlocui o constantă $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ pozitiv cu o funcție pozitivă și condiția „ plasă mai mică decât $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ "cu cea a" $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -finitate ".

Această generalizare, care ar putea părea ușoară, este de fapt fundamentală, deoarece corespunde ideii de a putea defini un $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ pentru fiecare punct al $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ și apoi capacitatea de a aproxima mai bine comportamentul funcției, în zonele în care are un comportament mai „patologic” pentru că este foarte oscilator sau pentru că prezintă o asimptotă , prin intermediul unor partiții local mai rafinate.

Observare

Definiția se bazează pe proprietatea $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ - finețea unei partiții ascuțite, dar absența totală a ipotezelor despre funcție $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ ar putea ridica îndoieli cu privire la existența partițiilor $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ - se termină pentru ecartamentul „bizar”. Din fericire, o lemă datorată lui Pierre Cousin , chiar și secolul precedent, deci nu este legată de teoria integrării, oferă doar aceste partiții $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -finii există pentru fiecare funcție pozitivă $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ . Demonstrarea acestui rezultat nu este banală, deoarece implică completitudinea realului , deci acest lucru poate fi caracterizat ca un mic punct slab al teoriei.

Proprietate

Așa cum s-a spus în introducere, această teoremă satisface o versiune generală a teoremei fundamentale a calculului : Dacă o funcție este diferențiată , atunci derivata sa este integrabilă și îndeplinește formula fundamentală a calculului. Există, totuși, alte proprietăți interesante pe care le îndeplinește: în primul rând, extinde integrala Riemann, deoarece este ușor de înțeles analizând similaritatea definițiilor. Mult mai puțin imediat, dar poate mai important, este că integralul Henstock-Kurzweil extinde și integralul Lebesgue, asigurând astfel o bază foarte largă de funcții integrabile, care include multe funcții de mare importanță în aplicații.

De asemenea, ele sunt considerate teoreme integrale Lebesgue ale convergenței monotone și dominate . Cu toate acestea, o diferență față de aceasta din urmă constă în faptul că integrabilitatea unei funcții nu implică valoarea valorii sale absolute . De fapt, se întâmplă că, dacă o funcție este integrabilă, modulul său este, de asemenea, integrabil dacă și numai dacă funcția sa integrală este variație mărginită . Din această limitare își derivă latura înainte de analiza negativă a teoriei, și anume, că spațiul funcțional al funcțiilor integrabile pe un domeniu dat este da un spațiu vectorial , dar nu a găsit o prevedere care să-l facă Banach . Utilizat în special pe $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ Este norma lui Alexiewicz

\sup \left\{\left|\int _{a}^{x}f\right|,a<x\leq b\right\}.

{\ displaystyle \ sup \ left \ {\ left | \ int _ {a} ^ {x} f \ right |, a <x \ leq b \ right \}.}

{\ displaystyle \ sup \ left \ {\ left | \ int _ {a} ^ {x} f \ right |, a <x \ leq b \ right \}.}

Această funcție satisface proprietățile unei reguli atunci când două funcții identice sunt identificate aproape peste tot (altfel este o seminormă ), ca în teoria Lebesgue.

Integrare pe intervale nelimitate

Construcția lui Henstock și Kurzweil rezolvă, de asemenea, o altă latură negativă a integralei Riemann, adică integrarea necorespunzătoare a problemei dell: de fapt, oferind o definiție adecvată a gabaritului pe un interval nelimitat, are loc următorul rezultat:

De sine

f\colon [a,+\infty ]\to \mathbb {R}

${\ displaystyle f \ colon [a, + \ infty] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, + \ infty] \ to \ mathbb {R}}$ poate fi integrat pe orice interval limitat

[a,c]

${\ displaystyle [a, c]}$ $[B.C]$ , atunci poate fi integrat în orice

[a,+\infty ]

${\ displaystyle [a, + \ infty]}$ ${\ displaystyle [a, + \ infty]}$ dacă și numai dacă există limita

\lim _{c\to +\infty }\int _{a}^{c}f

${\ displaystyle \ lim _ {c \ to + \ infty} \ int _ {a} ^ {c} f}$ ${\ displaystyle \ lim _ {c \ to + \ infty} \ int _ {a} ^ {c} f}$ . În acest caz, se aplică egalitatea

\int _{a}^{+\infty }f=\lim _{c\to +\infty }\int _{a}^{c}f.

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {+ \ infty} f = \ lim _ {c \ to + \ infty} \ int _ {a} ^ {c} f.}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {+ \ infty} f = \ lim _ {c \ to + \ infty} \ int _ {a} ^ {c} f.}

Trebuie subliniat faptul că formula anterioară, care a fost o definiție în integrala Riemann, este o teză în această teorie. Această teoremă (care poate fi adaptată și pentru celălalt tip de integrală necorespunzătoare) se datorează lui Heinrich Hake .

Notă

^ Termenul engleză , $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -finitate, ar putea fi tradusă simplu în italiană $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -finitate, dar această versiune hibridă a „finitudinii” a prins, care nu are nicio legătură cu acest concept.

Bibliografie

R. Henstock, Theory of Integration, Butterworths, Londra, 1963.
R. Henstock, Integrarea în spațiile produselor, inclusiv integrarea Wiener și Feynman, Proc. London Math. Soc., 27 (1973), 317-344.
R. Henstock, Prelegeri despre teoria integrării, Publicații, World Scientific, Singapore, 1988.
J. Kurzweil, Ecuații diferențiale ordinare generalizate și dependență continuă de un parametru, cehă. Matematica. J. 82 (1957), 418-449.
P. Muldowney, O teorie generală a integrării în spații funcționale, Pitman Research Notes in Mathematics 53, Longmans, 1987.
P. Muldowney, Subiecte de probabilitate folosind integrarea Riemann generalizată, Math. Proc. R. Ir. Acad., 99A (1999) (1), 39-50.
CW Swartz, Introduction to Gauge Integrals, World Scientific Publications, Singapore, 2001.
R. Gordon, Integralele din Lebesgue, Denjoy, Perron și Henstock, Amer. Matematica. Soc., Providence, RI, 1994.
RG Bartle, O teorie modernă a integrării, Grad. Stud. Math., Vol. 32, Amer. Matematica. Soc., Providence, RI, 2001.

Elemente conexe

linkuri externe

http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/gauge/letter/ Scrisoare deschisă către editorii de manuale pentru a adopta integrala Henstock-Kurzweil în locul integralei Riemann în cursurile introductive, semnate de diferiți reprezentanți ai cercetării în teren, inclusiv Henstock însuși

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Termenul engleză , $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -finitate, ar putea fi tradusă simplu în italiană $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -finitate, dar această versiune hibridă a „finitudinii” a prins, care nu are nicio legătură cu acest concept.

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Numărul real · infinitezimal · Big O · Succesiunea ( funcțiilor ) · Succesiunea Cauchy · Teorema Bolzano-Weierstrass · Estimarea asimptotică · Limita ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limita considerabilă · Punct de acumulare · Punct de izolat · Aproximativ · Series ( funcții ) · criterii de convergență · limita funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitatea triunghiular · Cauchy-Schwarz inegalitatea · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · locală Difeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuația diferențială · problema Cauchy