Integrala lui Darboux

În analiza matematică , integrala Darboux este una dintre definițiile posibile ale integralei unei funcții .

Definiția integralei dată de Gaston Darboux este complet echivalentă cu cea dată de Bernhard Riemann , totuși integralele definite cu metoda Darboux au avantajul de a fi mai simplu de definit decât cele ale Riemann, în virtutea abordării mai constructive a definiției lor.

Definiție

Luați în considerare o funcție continuă $f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ , care pe acest interval este limitat în virtutea teoremei lui Weierstrass . Împărțiți gama printr-o partiție ${\mathcal {P}}=\{x_{0},\ x_{1},\ \dots ,\ x_{n-1},\ x_{n}|x_{0}=a<x_{1}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ {x_ {0}, \ x_ {1}, \ \ dots, \ x_ {n-1}, \ x_ {n} | x_ {0} = a <x_ {1} <\ dots <x_ {n-1} <x_ {n} = b \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ {x_ {0}, \ x_ {1}, \ \ dots, \ x_ {n-1}, \ x_ {n} | x_ {0} = a <x_ {1} <\ dots <x_ {n-1} <x_ {n} = b \}}$ în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ intervale $[x_{k-1},x_{k}]\subset [a,b]$ ${\ displaystyle [x_ {k-1}, x_ {k}] \ subset [a, b]}$ ${\ displaystyle [x_ {k-1}, x_ {k}] \ subset [a, b]}$ .

Somme di Darboux: inferior (verde) și superior (verde + galben). Rețineți că funcția reprezentată în grafic a fost aleasă pozitivă doar pentru comoditate.

Pentru fiecare interval al partiției, sunt definite cele două cantități:

\lambda _{k}:=\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f(x);\qquad \Lambda _{k}:=\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f(x).

{\ displaystyle \ lambda _ {k}: = \ inf _ {x \ in [x_ {k-1}, x_ {k}]} f (x); \ qquad \ Lambda _ {k}: = \ sup _ {x \ în [x_ {k-1}, x_ {k}]} f (x).}

{\ displaystyle \ lambda _ {k}: = \ inf _ {x \ in [x_ {k-1}, x_ {k}]} f (x); \ qquad \ Lambda _ {k}: = \ sup _ {x \ în [x_ {k-1}, x_ {k}]} f (x).}

Aceste două valori sunt limita inferioară și limita superioară a ordonatelor punctelor de pe graficul funcției $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ limitat la interval $[x_{k-1},x_{k}]$ ${\ displaystyle [x_ {k-1}, x_ {k}]}$ ${\ displaystyle [x_ {k-1}, x_ {k}]}$ . Astfel de valori există datorită faptului că funcția este limitată pe întreaga gamă.

Este definit ca suma mai mică a lui Darboux , a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ legat de partiție ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ , numărul real:

s({\mathcal {P}},f):=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}(x_{k}-x_{k-1}).

{\ displaystyle s ({\ mathcal {P}}, f): = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ lambda _ {k} (x_ {k} -x_ {k-1}).}

{\ displaystyle s ({\ mathcal {P}}, f): = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ lambda _ {k} (x_ {k} -x_ {k-1}).}

În mod similar, suma superioară a lui Darboux este definită ca $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ legat de partiție ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ , numărul real:

S({\mathcal {P}},f):=\sum _{k=1}^{n}\Lambda _{k}(x_{k}-x_{k-1}).

{\ displaystyle S ({\ mathcal {P}}, f): = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ Lambda _ {k} (x_ {k} -x_ {k-1}).}

{\ displaystyle S ({\ mathcal {P}}, f): = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ Lambda _ {k} (x_ {k} -x_ {k-1}).}

Există o lemă care afirmă că, având în vedere:

m\leq f(x)\leq M,\qquad \forall x\in [a,b],

{\ displaystyle m \ leq f (x) \ leq M, \ qquad \ forall x \ în [a, b],}

{\ displaystyle m \ leq f (x) \ leq M, \ qquad \ forall x \ în [a, b],}

apoi pentru fiecare pereche de partiții ${\mathcal {P}},\,{\mathcal {Q}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}, \, {\ mathcal {Q}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}, \, {\ mathcal {Q}}}$ din $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ avem:

m(b-a)\leq s({\mathcal {P}})\leq S({\mathcal {Q}})\leq M(b-a).

{\ displaystyle m (ba) \ leq s ({\ mathcal {P}}) \ leq S ({\ mathcal {Q}}) \ leq M (ba).}

{\ displaystyle m (b-a) \ leq s ({\ mathcal {P}}) \ leq S ({\ mathcal {Q}}) \ leq M (b-a).}

Deoarece fiecare partiție variază ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ din $[a,b],$ ${\ displaystyle [a, b],}$ ${\ displaystyle [a, b],}$ sunt:

\delta =\{s({\mathcal {P}})\}_{\mathcal {P}};\qquad \Delta =\{S({\mathcal {P}})\}_{\mathcal {P}}.

{\ displaystyle \ delta = \ {s ({\ mathcal {P}}) \} _ {\ mathcal {P}}; \ qquad \ Delta = \ {S ({\ mathcal {P}}) \} _ { \ mathcal {P}}.}

{\ displaystyle \ delta = \ {s ({\ mathcal {P}}) \} _ {\ mathcal {P}}; \ qquad \ Delta = \ {S ({\ mathcal {P}}) \} _ { \ mathcal {P}}.}

Din lema anterioară putem deduce că mulțimile $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ Și $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ sunt separate, adică:

s\leq S,\qquad \forall s\in \delta ,\,\forall S\in \Delta .

{\ displaystyle s \ leq S, \ qquad \ forall s \ in \ delta, \, \ forall S \ in \ Delta.}

{\ displaystyle s \ leq S, \ qquad \ forall s \ in \ delta, \, \ forall S \ in \ Delta.}

Axioma lui Dedekind asupra completitudinii $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ apoi afirmă că există cel puțin un număr real $\xi \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ xi \ in \ mathbb {R}}$ $\ xi \ in \ mathbb {R}$ astfel încât:

s\leq \xi \leq S,\qquad \forall s\in \delta ,\,\forall S\in \Delta .

{\ displaystyle s \ leq \ xi \ leq S, \ qquad \ forall s \ in \ delta, \, \ forall S \ in \ Delta.}

{\ displaystyle s \ leq \ xi \ leq S, \ qquad \ forall s \ in \ delta, \, \ forall S \ in \ Delta.}

Dacă există un singur element de separare $\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ între $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ Și $S.,$ ${\ displaystyle S,}$ $S,$ apoi scrie asta $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este integrabil în al doilea Darboux sau Darboux-integrabil $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ și elementul $\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ este indicat cu:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}

Integrală multiplă a lui Darboux

Același subiect în detaliu: integral multiplu .

Este $N\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle N \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle N \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ un domeniu normal , $f\colon N\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle f \ colon N \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f \ colon N \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ limitat e $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ o măsură . Este ${\mathcal {P}}=\{N_{1},\ \dots ,\ N_{k}\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ {N_ {1}, \ \ dots, \ N_ {k} \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ {N_ {1}, \ \ dots, \ N_ {k} \}}$ o partiție de $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ în domenii normale.

Este definit ca suma mai mică a lui Darboux , a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ legat de partiție ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ , numărul real:

s({\mathcal {P}},f):=\sum _{i=1}^{k}\mu (N_{i})\,\inf {\underset {x\in N_{i}}{f(x)}}.

{\ displaystyle s ({\ mathcal {P}}, f): = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ mu (N_ {i}) \, \ inf {\ underset {x \ in N_ { i}} {f (x)}}.}

{\ displaystyle s ({\ mathcal {P}}, f): = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ mu (N_ {i}) \, \ inf {\ underset {x \ in N_ { i}} {f (x)}}.}

În mod similar, suma superioară a lui Darboux este definită ca $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ legat de partiție ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ , numărul real:

S({\mathcal {P}},f):=\sum _{i=1}^{k}\mu (N_{i})\,\sup {\underset {x\in N_{i}}{f(x)}}.

{\ displaystyle S ({\ mathcal {P}}, f): = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ mu (N_ {i}) \, \ sup {\ underset {x \ in N_ { i}} {f (x)}}.}

{\ displaystyle S ({\ mathcal {P}}, f): = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ mu (N_ {i}) \, \ sup {\ underset {x \ in N_ { i}} {f (x)}}.}

În virtutea unei leme privind mâinile normale și partițiile lor, se poate concluziona că:

\sup {\underset {\mathcal {P}}{(s({\mathcal {P}},f))}}\leq \inf {\underset {\mathcal {P}}{(S({\mathcal {P}},f))}}.

{\ displaystyle \ sup {\ underset {\ mathcal {P}} {(s ({\ mathcal {P}}, f))}} \ leq \ inf {\ underset {\ mathcal {P}} {(S ( {\ mathcal {P}}, f))}}.}

{\ displaystyle \ sup {\ underset {\ mathcal {P}} {(s ({\ mathcal {P}}, f))}} \ leq \ inf {\ underset {\ mathcal {P}} {(S ( {\ mathcal {P}}, f))}}.}

Prin urmare $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Darboux se spune că este integrabil în $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ de sine $\sup {\underset {\mathcal {P}}{(s({\mathcal {P}},f))}}=\inf {\underset {\mathcal {P}}{(S({\mathcal {P}},f))}}=\xi$ ${\ displaystyle \ sup {\ underset {\ mathcal {P}} {(s ({\ mathcal {P}}, f))}} = \ inf {\ underset {\ mathcal {P}} {(S ({ \ mathcal {P}}, f))}} = \ xi}$ ${\ displaystyle \ sup {\ underset {\ mathcal {P}} {(s ({\ mathcal {P}}, f))}} = \ inf {\ underset {\ mathcal {P}} {(S ({ \ mathcal {P}}, f))}} = \ xi}$ și în acest caz se presupune că:

\int _{N}f(x)\,dx_{1}\dots dx_{n}:=\xi .

{\ displaystyle \ int _ {N} f (x) \, dx_ {1} \ dots dx_ {n}: = \ xi.}

{\ displaystyle \ int _ {N} f (x) \, dx_ {1} \ dots dx_ {n}: = \ xi.}

Proprietățile integralelor

Același subiect în detaliu: Proprietățile integralei Riemann .

Integrabilitatea Darboux și integrabilitatea Riemann

În general, o funcție este Darboux-integrabilă dacă și numai dacă este Riemann-integrabilă , iar valorile celor două integrale, dacă există, sunt egale între ele.

Liniaritatea

Lasa-i sa fie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ două funcții continue definite într-un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ și sunt $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}}$ $\ alpha, \ beta \ în \ mathbb {R}$ . Atunci:

\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} [\ alpha f (x) + \ beta g (x)] \, dx = \ alpha \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx + \ beta \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx}

\ int _ {a} ^ {b} [\ alpha f (x) + \ beta g (x)] \, dx = \ alpha \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx + \ beta \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx

Aditivitate

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ continuu și definit într-un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ și fie $c\in [a,b]$ ${\ displaystyle c \ in [a, b]}$ $c \ in [a, b]$ . Atunci:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = \ int _ {a} ^ {c} f (x) dx + \ int _ {c} ^ {b} f (x ) \, dx}

\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = \ int _ {a} ^ {c} f (x) dx + \ int _ {c} ^ {b} f (x) \, dx

Monotonie

Lasa-i sa fie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ două funcții continue definite într-un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ Și $f(x)\geq g(x)$ ${\ displaystyle f (x) \ geq g (x)}$ $f (x) \ geq g (x)$ . Atunci:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq \int _{a}^{b}g(x)dx

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ geq \ int _ {a} ^ {b} g (x) dx}

\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ geq \ int _ {a} ^ {b} g (x) dx

Teorema comparației

Lasa-i sa fie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ două funcții continue definite într-un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ și astfel încât $f(x)\leq g(x)$ ${\ displaystyle f (x) \ leq g (x)}$ $f (x) \ leq g (x)$ în $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ . Atunci:

\int _{a}^{b}f(x)dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx \ leq \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx}

\ int _ {a} ^ {b} f (x) dx \ leq \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx

Valoare absolută

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ integrabil într-un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , atunci noi avem:

\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx

{\ displaystyle \ left | \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right | \ leq \ int _ {a} ^ {b} \ left | f (x) \ right | \, dx}

\ left | \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right | \ leq \ int _ {a} ^ {b} \ left | f (x) \ right | \, dx

Teorema medie integrală

Același subiect în detaliu: Teorema medie integrală și teorema medie ponderată .

De sine $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ $f: [a, b] \ to {\ mathbb R}$ este continuu apoi există $c\in [a,b]$ ${\ displaystyle c \ in [a, b]}$ $c \ in [a, b]$ astfel încât:

{{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)

{\ displaystyle {{1} \ over {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = f (c)}

{{1} \ over {b-a}} \ int _ {{a}} ^ {{b}} f (x) \, dx = f (c)

Limitându-ne la integrale pe intervale de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , se dă un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , cu $a\leq b\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a \ leq b \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle a \ leq b \ in \ mathbb {R}}$ .

Scris $\Delta x_{i}=x_{1}-x_{i}-1$ ${\ displaystyle \ Delta x_ {i} = x_ {1} -x_ {i} -1}$ ${\ displaystyle \ Delta x_ {i} = x_ {1} -x_ {i} -1}$ , de sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție reală mărginită definită pe $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ Și ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ o partiție de $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ apare:

{\begin{aligned}&M_{i}=\sup _{x_{i}-1\leq x\leq x_{i}}f(x),&m_{i}=\inf _{x_{i}-1\leq x\leq x_{i}}f(x);\\&U({\mathcal {P}},f)=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i},&L({\mathcal {P}},f)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i};\\&{\overline {\int _{a}^{b}}}fdx=\inf U({\mathcal {P}},f),&{\underline {\int _{a}^{b}}}fdx=\sup L({\mathcal {P}},f)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & M_ {i} = \ sup _ {x_ {i} -1 \ leq x \ leq x_ {i}} f (x), & m_ {i} = \ inf _ { x_ {i} -1 \ leq x \ leq x_ {i}} f (x); \\ & U ({\ mathcal {P}}, f) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} M_ {i} \ Delta x_ {i}, & L ({\ mathcal {P}}, f) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ Delta x_ {i}; \\ & {\ overline {\ int _ {a} ^ {b}}} fdx = \ inf U ({\ mathcal {P}}, f) și {\ underline {\ int _ {a} ^ {b}}} fdx = \ sup L ({\ mathcal {P}}, f) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & M_ {i} = \ sup _ {x_ {i} -1 \ leq x \ leq x_ {i}} f (x), & m_ {i} = \ inf _ { x_ {i} -1 \ leq x \ leq x_ {i}} f (x); \\ & U ({\ mathcal {P}}, f) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} M_ {i} \ Delta x_ {i}, & L ({\ mathcal {P}}, f) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ Delta x_ {i}; \\ & {\ overline {\ int _ {a} ^ {b}}} fdx = \ inf U ({\ mathcal {P}}, f) și {\ underline {\ int _ {a} ^ {b}}} fdx = \ sup L ({\ mathcal {P}}, f) \ end {align}}}

unde este $\inf ,\sup$ ${\ displaystyle \ inf, \ sup}$ ${\ displaystyle \ inf, \ sup}$ sunt calculate ca toate partițiile din $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , și se spune că cele două integrale sunt, respectiv, integrala Riemann superioară și inferioară. Dacă cele două integrale sunt egale, $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ spunem Riemann-integrable ( $f\in {\mathcal {R}}([a,b])$ ${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {R}} ([a, b])}$ ${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {R}} ([a, b])}$ ), și definim integrala Riemann a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ valoarea comună a celor două integrale:

\int _{a}^{b}fdx={\overline {\int _{a}^{b}}}f,dx={\underline {\int _{a}^{b}}}fdx

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} fdx = {\ overline {\ int _ {a} ^ {b}}} f, dx = {\ underline {\ int _ {a} ^ {b}} } fdx}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} fdx = {\ overline {\ int _ {a} ^ {b}}} f, dx = {\ underline {\ int _ {a} ^ {b}} } fdx}

Deoarece există fiecare funcție limitată $m,M\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle m, M \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle m, M \ in \ mathbb {R}}$ astfel încât $m\leq f(x)\leq M$ ${\ displaystyle m \ leq f (x) \ leq M}$ ${\ displaystyle m \ leq f (x) \ leq M}$ pentru fiecare $x\in [a,b]$ ${\ displaystyle x \ in [a, b]}$ $x \ în [a, b]$ avem:

m(b-a)\leq L({\mathcal {P}},f)\leq U({\mathcal {P}},f)\leq M(b-a)

{\ displaystyle m (ba) \ leq L ({\ mathcal {P}}, f) \ leq U ({\ mathcal {P}}, f) \ leq M (ba)}

{\ displaystyle m (b-a) \ leq L ({\ mathcal {P}}, f) \ leq U ({\ mathcal {P}}, f) \ leq M (b-a)}

sunt definite integralele Riemann superioare și inferioare, chiar dacă nu au neapărat aceeași valoare.

Arată că $f\in {\mathcal {R}}([a,b])$ ${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {R}} ([a, b])}$ ${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {R}} ([a, b])}$ dacă și numai dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există o partiție ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ astfel încât $U({\mathcal {P}},f)-L({\mathcal {P}},f)<\varepsilon$ ${\ displaystyle U ({\ mathcal {P}}, f) -L ({\ mathcal {P}}, f) <\ varepsilon}$ ${\ displaystyle U ({\ mathcal {P}}, f) -L ({\ mathcal {P}}, f) <\ varepsilon}$ . Dacă această condiție este adevărată, atunci:

\left|\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}-\int _{a}^{b}fdx\right|<\varepsilon

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (t_ {i}) \ Delta x_ {i} - \ int _ {a} ^ {b} fdx \ right | <\ varepsilon}

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (t_ {i}) \ Delta x_ {i} - \ int _ {a} ^ {b} fdx \ right | <\ varepsilon}

Bibliografie

Michiel Berstch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli Mathematical Analysis , McGraw-Hill, Milano
Paolo Marcellini , Carlo Sbordone Mathematical Analysis One , Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2 , 1998, capitolul 8.
Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone Mathematical Analysis Due , Liguori Editore, Naples, ISBN 88-207-2675-0 , 1996, capitolul 8.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe Integral-ul lui Darboux

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy