Teorema medie integrală

În matematică , teorema medie integrală este o teoremă care leagă noțiunile de funcție integrală și continuă pentru funcțiile unei variabile reale . O funcție continuă definită pe un interval are încă un interval ca imagine : teorema medie integrală stabilește că media integrală a funcției este o valoare inclusă în intervalul de imagine.

Teorema

Conceptul de medie integrală este o generalizare a ideii de medie aritmetică . Ideea este de a calcula valoarea medie asumată de o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ prin calcularea mediei aritmetice a valorilor pe care funcția le ia pe un întreg întreg (foarte mare) set de puncte distribuite uniform în interval, adică intervalul este împărțit în $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ sub-intervale $[x_{k},x_{k+1}]$ ${\ displaystyle [x_ {k}, x_ {k + 1}]}$ $[x_ {k}, x _ {{k + 1}}]$ toate în lungime $(b-a)/N$ ${\ displaystyle (ba) / N}$ $(b-a) / N$ iar media se calculează:

care poate fi scris și ca:

{\frac {1}{b-a}}\sum _{i=0}^{N}{\frac {b-a}{N}}f(x_{i})

{\ displaystyle {\ frac {1} {ba}} \ sum _ {i = 0} ^ {N} {\ frac {ba} {N}} f (x_ {i})}

{\ frac 1 {b-a}} \ sum _ {{i = 0}} ^ {{N}} {\ frac {b-a} N} f (x_ {i})

Din definiția integralei Riemann rezultă că luând în considerare cantitatea $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ întotdeauna mai mare decât punctele, această expresie converge la valoare:

{{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx

{\ displaystyle {{1} \ over {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}

{{1} \ over {b-a}} \ int _ {{a}} ^ {{b}} f (x) \, dx

care se numește media integrală a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Teorema afirmă că dacă $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ este continuu (deci integrabil) atunci există $c\in [a,b]$ ${\ displaystyle c \ in [a, b]}$ $c \ in [a, b]$ astfel încât:

{{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)

{\ displaystyle {{1} \ over {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = f (c)}

{\ displaystyle {{1} \ over {b-a}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = f (c)}

Echivalent:

\int _{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(c)

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx = (ba) f (c)}

\ int _ {{a}} ^ {{b}} f (x) dx = (b-a) f (c)

Demonstrație

Fiind $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ continuați în $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , prin teorema Weierstrass este dotată cu un maxim $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ și minim $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ pe $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , deci avem:

m\leq f(x)\leq M

{\ displaystyle m \ leq f (x) \ leq M}

m \ leq f (x) \ leq M

Din proprietatea monotoniei integralei rezultă:

\int _{a}^{b}m\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}M\,dx

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} m \, dx \ leq \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ leq \ int _ {a} ^ {b} M \ , dx}

\ int _ {{a}} ^ {{b}} m \, dx \ leq \ int _ {{a}} ^ {{b}} f (x) \, dx \ leq \ int _ {{a} } ^ {{b}} M \, corect

În laturile stânga și dreapta ale inegalității se integrează o funcție constantă , deci avem:

\int _{a}^{b}m\,dx=m\int _{a}^{b}\,dx=m(b-a)

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} m \, dx = m \ int _ {a} ^ {b} \, dx = m (ba)}

\ int _ {{a}} ^ {{b}} m \, dx = m \ int _ {{a}} ^ {{b}} \, dx = m (b-a)

și în mod similar:

\int _{a}^{b}M\,dx=M\int _{a}^{b}\,dx=M(b-a)

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} M \, dx = M \ int _ {a} ^ {b} \, dx = M (ba)}

\ int _ {{a}} ^ {{b}} M \, dx = M \ int _ {{a}} ^ {{b}} \, dx = M (b-a)

Prin urmare, obținem:

m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a)

{\ displaystyle m (ba) \ leq \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ leq M (ba)}

m (b-a) \ leq \ int _ {{a}} ^ {{b}} f (x) \, dx \ leq M (b-a)

adică dacă $b>a$ ${\ displaystyle b> a}$ $b> a$ :

m\leq {{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M

{\ displaystyle m \ leq {{1} \ over {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ leq M}

m \ leq {{1} \ over {b-a}} \ int _ {{a}} ^ {{b}} f (x) \, dx \ leq M

Prin teorema valorii intermediare $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ trebuie să accepte $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ toate valorile dintre:

\sup _{[a,b]}f=M{\mbox{ e }}\inf _{[a,b]}f=m

{\ displaystyle \ sup _ {[a, b]} f = M {\ mbox {e}} \ inf _ {[a, b]} f = m}

\ sup _ {{[a, b]}} f = M {\ mbox {e}} \ inf _ {{[a, b]}} f = m

prin urmare, în special, există un $c\in [a,b]$ ${\ displaystyle c \ in [a, b]}$ $c \ in [a, b]$ astfel încât:

f(c)={{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx

{\ displaystyle f (c) = {{1} \ over {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx}

f (c) = {{1} \ over {b-a}} \ int _ {{a}} ^ {{b}} f (x) dx

Bibliografie

Enrico Giusti, Analiza matematică 1 , ed. A III-a, Bollati Boringhieri , 2002, ISBN 88-339-5684-9 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy