Lema lui Itō

În matematică , lema lui Itō („Formula lui Itō ”) este utilizată în calculul stocastic pentru a calcula diferențialul unei funcții a unui anumit tip de proces stocastic . Este utilizat pe scară largă în matematica financiară .

Lema este o extensie a expansiunii seriei Taylor care este utilizată pentru funcții deterministe, adică fără un termen aleatoriu, și este aplicabilă pentru o funcție stocastică, adică cu un termen în dW. Acest termen nu este un diferențial exact și reprezintă componenta aleatorie a unei variabile aleatoare . dW este abrevierea unui proces Wiener , folosit pentru a reprezenta mișcarea particulelor în teoria cinetică a gazelor . În fracții mici ale variabilei de timp, după cum se dorește, o magnitudine de acest tip arată în orice caz o variabilitate ridicată.

Din lema Itō obținem integrala Itō, care extinde și generalizează integrala Riemann pentru funcții stochastice. Spre deosebire de integrala Riemann, nu are o semnificație geometrică, nu este o zonă .

Enunțul lemei

Este $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ un proces Itō (sau proces Wiener generalizat); cu alte cuvinte, $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ satisface ecuația diferențială stocastică:

dx(t)=a(x,t)dt+b(x,t)dW_{t}

{\ displaystyle dx (t) = a (x, t) dt + b (x, t) dW_ {t}}

{\ displaystyle dx (t) = a (x, t) dt + b (x, t) dW_ {t}}

De asemenea, lăsați-o să fie o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , având o a doua derivată continuă. Atunci:

$f(x(t),t)$ ${\ displaystyle f (x (t), t)}$ ${\ displaystyle f (x (t), t)}$ este încă un proces Itō;

Avem:

df(x(t),t)=\left(a(x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}(b(x,t))^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+b(x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}dW_{t}

{\ displaystyle df (x (t), t) = \ left (a (x, t) {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t} } + {\ frac {1} {2}} (b (x, t)) ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} \ right) dt + b (x, t) {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} dW_ {t}}

{\ displaystyle df (x (t), t) = \ left (a (x, t) {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t} } + {\ frac {1} {2}} (b (x, t)) ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} \ right) dt + b (x, t) {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} dW_ {t}}

Justificare informală a rezultatului

Prin intermediul unei expansiuni din seria Taylor a $\ f(x(t),t)$ ${\ displaystyle \ f (x (t), t)}$ ${\ displaystyle \ f (x (t), t)}$ primesti:

df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial t}}dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}dx^{2}+\cdots

{\ displaystyle df = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} dx + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} dt + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} dx ^ {2} + \ cdots}

{\ displaystyle df = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} dx + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} dt + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} dx ^ {2} + \ cdots}

Prin înlocuire $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ din SDE de mai sus avem:

df={\frac {\partial f}{\partial x}}(adt+bdW_{t})+{\frac {\partial f}{\partial t}}dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left(a^{2}dt^{2}+2ab\,dt\,dW_{t}+b^{2}dW_{t}^{2}\right)+\cdots

{\ displaystyle df = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (adt + bdW_ {t}) + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} dt + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} \ left (a ^ {2} dt ^ {2} + 2ab \, dt \, dW_ {t} + b ^ {2} dW_ {t} ^ {2} \ right) + \ cdots}

{\ displaystyle df = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (adt + bdW_ {t}) + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} dt + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} \ left (a ^ {2} dt ^ {2} + 2ab \, dt \, dW_ {t} + b ^ {2} dW_ {t} ^ {2} \ right) + \ cdots}

Dezvoltarea seriei Taylor este de obicei trunchiată la prima ordine; aceasta permite deja o bună aproximare a funcției de pornire. În acest caz, trebuie să considerăm că termenii din $dW^{2}$ ${\ displaystyle dW ^ {2}}$ ${\ displaystyle dW ^ {2}}$ merg ca cei din $dt^{1}$ ${\ displaystyle dt ^ {1}}$ ${\ displaystyle dt ^ {1}}$ ; având același ordin de mărime prin trunchierea la primul ordin, trebuie luați în considerare și termenii din $dW^{2}$ ${\ displaystyle dW ^ {2}}$ ${\ displaystyle dW ^ {2}}$ . Trecând la limita pentru $d t$ ${\ displaystyle dt}$ $dt$ tendind la 0, termenii $dtdW_{t},dt^{2}$ ${\ displaystyle dtdW_ {t}, dt ^ {2}}$ ${\ displaystyle dtdW_ {t}, dt ^ {2}}$ dispărea. De fapt, în limitele infinitezimale (la zero) prevalează puterea cu cel mai mic exponent, ajungând la zero mai încet decât ceilalți termeni. Pe de altă parte $(dW_{t})^{2}$ ${\ displaystyle (dW_ {t}) ^ {2}}$ ${\ displaystyle (dW_ {t}) ^ {2}}$ Tinde să $d t$ ${\ displaystyle dt}$ $dt$ ; această din urmă proprietate poate fi dovedită demonstrând că:

dW^{2}={\textrm {E}}\left(dW^{2}\right)

{\ displaystyle dW ^ {2} = {\ textrm {E}} \ left (dW ^ {2} \ right)}

{\ displaystyle dW ^ {2} = {\ textrm {E}} \ left (dW ^ {2} \ right)}

de sine

{\textrm {E}}\left(dW^{2}\right)=dt

{\ displaystyle {\ textrm {E}} \ left (dW ^ {2} \ right) = dt}

{\ displaystyle {\ textrm {E}} \ left (dW ^ {2} \ right) = dt}

Înlocuind aceste rezultate în expresia pentru $d f$ ${\ displaystyle df}$ $df$ primesti:

df=\left(a{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}b^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+b{\frac {\partial f}{\partial x}}dW_{t}

{\ displaystyle df = \ left (a {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} b ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} \ right) dt + b {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} dW_ {t} }

{\ displaystyle df = \ left (a {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} b ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} \ right) dt + b {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} dW_ {t} }

așa cum a solicitat. O dovadă formală a acestui rezultat necesită definirea unei integrale stochastice .

Bibliografie

( EN ) Kiyoshi Itō (1944). Integral stochastic. Proc. Imperial Acad. Tokyo 20 , 519-524. Aceasta este lucrarea cu Formula Ito; Arhivat online 3 martie 2016 la Internet Archive .
( EN ) Kiyoshi Itō (1951). Pe ecuații diferențiale stochastice. Memorii, American Mathematical Society 4 , 1-51. Pe net
( EN ) Hagen Kleinert (2004). Integrarea căilor în mecanica cuantică, statistică, fizica polimerilor și piețele financiare , ediția a IV-a, World Scientific (Singapore); Volum broșat ISBN 981-238-107-4 . Disponibil și online: fișiere PDF . Acest manual derivă, de asemenea, generalizări ale lemei lui Itō pentru procese non-vieneze (non-gaussiene).
( EN ) Bernt Øksendal (2000). Ecuații diferențiale stochastice. O introducere cu aplicații , ediția a 5-a, a corectat a doua tipărire. Springer. ISBN 3-540-63720-6 . Secțiunile 4.1 și 4.2.
(EN) Domingo Tavella (2002). Metode cantitative în stabilirea prețurilor instrumentelor derivate: o introducere în finanțele computaționale , John Wiley și Sons. ISBN 978-0-471-27479-7 . Pagini 36–39.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică