Spațiul proiectiv

În geometrie , spațiul proiectiv este spațiul obținut dintr-un spațiu euclidian (de exemplu, linia sau planul ) prin adăugarea „punctelor la infinit”. În funcție de dimensiune, vorbim, așadar, despre o linie proiecțională , un plan proiectiv etc.

Spațiul proiectiv a fost introdus în secolul al XVI-lea pentru a modela spațiul văzut de ochiul uman, în studiile perspectivei . Din punct de vedere geometric, este un spațiu care are numeroase avantaje față de cel euclidian sau similar : în spațiul proiectiv există mai puține „cazuri particulare” de luat în considerare (de exemplu, în plan două linii se intersectează întotdeauna) și multe conceptele profunde sunt exprimate într-un mod mai concis și elegant.

Definiții

Arată spre infinit

Este $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb R ^ n$ Spațiul euclidian $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional. De exemplu, pentru $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ acesta este pur și simplu planul cartezian . Un „punct la infinit” este direcția indicată de o linie în spațiu și de toate liniile paralele cu aceasta. Deci, două linii definesc același punct la infinit dacă și numai dacă sunt paralele .

Spațiul proiectiv $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional este uniunea dintre $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb R ^ n$ și toate „punctele sale către infinit”.

În acest moment, multe concepte geometrice obișnuite pot fi extinse la spațiul proiectiv. Va rezulta, de exemplu, că două linii drepte ale aceluiași plan se intersectează întotdeauna: dacă au aceeași direcție (adică erau paralele înainte de lărgire), punctul lor de intersecție este cel la infinit.

Linii care trec prin origine

Spațiul proiectiv este spațiul văzut de un ochi.

Cu toate acestea, o definiție ca cea care tocmai a fost dată are defectul de a trata punctele la infinit ca „puncte speciale”, în timp ce filosofia geometriei proiective este aceea de a nu distinge aceste puncte de celelalte în vreun fel. De fapt, putem vorbi fie despre o mărire proiectivă a unui spațiu afin (spațiul proiectiv se obține prin adăugarea punctelor la infinit), fie mai ușor se folosește următoarea definiție.

Spațiul proiectiv $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional este definit ca setul de linii din $\mathbb {R} ^{n+1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ ${\ mathbb R} ^ {{n + 1}}$ trecând prin origine.

Intuitiv, este spațiul care vede un ochi poziționat în origine. Această definiție descrie clar relația cu perspectiva .

Câmp arbitrar

Definițiile tocmai date pot fi extinse la cazul în care spațiul de pornire este un spațiu vector pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ arbitrare, cum ar fi cea a numerelor reale sau complexe . Această extensie este utilă, deoarece multe teoreme de geometrie proiectivă sunt mai puternice și mai elegante dacă câmpul de bază este închis algebric ca complexele.

Spațiul proiectiv $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional despre $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este definit ca setul de linii drepte care trec prin originea în $K^{n+1}$ ${\ displaystyle K ^ {n + 1}}$ $K ^ {{n + 1}}$ . Acesta este,

\mathbb {P} ^{n}(K)={\frac {K^{n+1}\setminus \{0\}}{\sim }}

{\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (K) = {\ frac {K ^ {n + 1} \ setminus \ {0 \}} {\ sim}}}

{\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (K) = {\ frac {K ^ {n + 1} \ setminus \ {0 \}} {\ sim}}}

unde este $\sim$ ${\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ este relația de echivalență care identifică două puncte dacă și numai dacă sunt pe aceeași linie care trece prin origine, adică dacă și numai dacă sunt multiple:

v\sim w\Longleftrightarrow v=kw

{\ displaystyle v \ sim w \ Longleftrightarrow v = kw}

v \ sim w \ Longleftrightarrow v = kw

pentru unii

k\in K,k\neq 0

{\ displaystyle k \ în K, k \ neq 0}

{\ displaystyle k \ în K, k \ neq 0}

.

De exemplu, $(1,2,-3)$ ${\ displaystyle (1,2, -3)}$ $(1,2, -3)$ Și $(-2,-4,6)$ ${\ displaystyle (-2, -4.6)}$ $(-2, -4,6)$ sunt multiple și, prin urmare, dau naștere aceluiași punct.

În restul acestei intrări, se presupune că spațiul proiectiv este definit în acest fel, în funcție de un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Invarianți

Omografele sunt grupul fundamental al geometriei proiective. ^[1]

Sunt proprietăți proiective:

să fie sub- spații liniare cu o anumită dimensiune,
proprietățile incidenței,
raportul încrucișat de patru puncte.

Absolutul este cercul imaginar la infinit , în coordonate omogene $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0,x_{4}=0$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0, x_ {4} = 0}$ $x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0, x_ {4} = 0$ , acesta este locusul punctelor ciclice prin care trec toate și numai sferele (suprafețe quadric sferice) ale spațiului proiectiv. ^[1]

Subspatii

Definiție

Deoarece un spațiu proiectiv este imaginea unui spațiu vector prin proiecție

p:K^{n+1}\to \mathbb {P} ^{n}(K)

{\ displaystyle p: K ^ {n + 1} \ to \ mathbb {P} ^ {n} (K)}

p: K ^ {{n + 1}} \ to {\ mathbb P} ^ {n} (K)

induse de relația de echivalență, multe noțiuni de spații vectoriale sunt transferate fără probleme în spațiul proiectiv.

Un subspatiu proiectiv al $\mathbb {P} ^{n}(K)$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (K)}$ ${\ mathbb P} ^ {n} (K)$ este definit ca imagine $p(W)$ ${\ displaystyle p (W)}$ $p (W)$ a unui subspatiu vectorial $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ din $K^{n+1}$ ${\ displaystyle K ^ {n + 1}}$ $K ^ {{n + 1}}$ prin $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ .

Dimensiunea subspațiului proiectiv $p(W)$ ${\ displaystyle p (W)}$ $p (W)$ este definit ca

\dim p(W)=\dim W-1.

{\ displaystyle \ dim p (W) = \ dim W-1.}

\ dim p (W) = \ dim W-1.

În geometrie, codimensiunea unui sub spațiu este în general definită ca dimensiunea spațiului care îl conține minus cea a subspaiului: rezultă că $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ Și $p(W)$ ${\ displaystyle p (W)}$ $p (W)$ au aceeași codimensiune

{\rm {codim\,}}W=n+1-\dim W=n-\dim p(W)={\rm {codim\,}}p(W).

{\ displaystyle {\ rm {codim \,}} W = n + 1- \ dim W = n- \ dim p (W) = {\ rm {codim \,}} p (W).}

{{\ rm {codim \,}}} W = n + 1- \ dim W = n- \ dim p (W) = {{\ rm {codim \,}}} p (W).

Un hiperplan proiectiv este un subspatiu al unuia de codimensiune.

Având în vedere două subspatii $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , puteți defini intersecția și suma subspaiilor într-un mod similar, ca imagini prin $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ a intersectiei subspatiilor si suma in $K^{n+1}$ ${\ displaystyle K ^ {n + 1}}$ $K ^ {{n + 1}}$ .

Formula lui Grassmann

Una dintre proprietățile de bază valabile într-un spațiu proiectiv, moștenit din spațiile vectoriale , dar care nu este valabilă într-un spațiu afin , este formula Grassmann pentru subspatii. Având în vedere două subspatii $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , adică egalitatea se menține

\dim(S+T)=\dim S+\dim T-\dim(S\cap T)

{\ displaystyle \ dim (S + T) = \ dim S + \ dim T- \ dim (S \ cap T)}

\ dim (S + T) = \ dim S + \ dim T- \ dim (S \ cap T)

unde vrem să spunem că punctul are dimensiunea 0 (ca întotdeauna) și setul gol are dimensiunea $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ .

Linii paralele

Ca o consecință a formulei lui Grassmann, două linii drepte în plan se intersectează întotdeauna. Intr-adevar

\dim(S\cap T)=\dim S+\dim T-\dim(S+T)=1+1-\dim(S+T)\geq 0

{\ displaystyle \ dim (S \ cap T) = \ dim S + \ dim T- \ dim (S + T) = 1 + 1- \ dim (S + T) \ geq 0}

\ dim (S \ cap T) = \ dim S + \ dim T- \ dim (S + T) = 1 + 1- \ dim (S + T) \ geq 0

atâta timp cât $S+T$ ${\ displaystyle S + T}$ $S + T$ are dimensiune cel mult 2 (fiecare sub spațiu al planului are dimensiune cel mult 2 și 2 numai dacă este întregul plan).

Coordonate omogene și hărți conexe

Coordonate omogene

Același subiect în detaliu: coordonate omogene .

Fiecare punct al spațiului proiectiv este o clasă de echivalență a punctelor în $K^{n+1}$ ${\ displaystyle K ^ {n + 1}}$ $K ^ {{n + 1}}$ . Așa cum este obișnuit în matematică, o clasă de echivalență este descrisă între paranteze drepte: în acest fel,

[(x_{0},\ldots ,x_{n})]

{\ displaystyle [(x_ {0}, \ ldots, x_ {n})]}

[(x_ {0}, \ ldots, x_ {n})]

definește clasa căreia îi aparține vectorul $(x_{0},\ldots ,x_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, \ ldots, x_ {n})}$ $(x_ {0}, \ ldots, x_ {n})$ . Din motive de scurtă durată, această clasă este indicată cu

[x_{0},\ldots ,x_{n}].

{\ displaystyle [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}].}

[x_ {0}, \ ldots, x_ {n}].

Această expresie între paranteze pătrate definește coordonatele omogene ale punctului. Doi vectori de coordonate determină aceeași clasă (adică același punct)

[x_{0},\ldots ,x_{n}]=[y_{0},\ldots ,y_{n}]

{\ displaystyle [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}] = [y_ {0}, \ ldots, y_ {n}]}

[x_ {0}, \ ldots, x_ {n}] = [y_ {0}, \ ldots, y_ {n}]

dacă și numai dacă sunt multipli ai celuilalt, adică dacă există un $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ astfel încât $y_{i}=kx_{i}$ ${\ displaystyle y_ {i} = kx_ {i}}$ $y_ {i} = kx_ {i}$ pentru fiecare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ .

Puncte necorespunzătoare

Cu coordonate omogene este posibil să se recupereze definiția inițială a spațiului proiectiv ca spațiu afin la care se adaugă puncte. Doar definiți $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ ca subset format din puncte $[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ ${\ displaystyle [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}$ $[x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]$ astfel încât $x_{0}\neq 0$ ${\ displaystyle x_ {0} \ neq 0}$ $x_ {0} \ neq 0$ . Fiecare punct din $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este scris ca

[1,x_{1},\ldots ,x_{n}]

{\ displaystyle [1, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}

[1, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]

în mod unic și, prin urmare, prin intermediul funcției

[1,x_{1},\ldots ,x_{n}]\mapsto (x_{1},\ldots ,x_{n})

{\ displaystyle [1, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] \ mapsto (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}

[1, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] \ mapsto (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})

definim o corespondență unu-la-unu între $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ și spațiul afin $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ . Punctele spațiului proiectiv care nu se află în $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ în acest context au rolul de „puncte la infinit”. Fiecare dintre aceste puncte este de tipul

[0,x_{1},\ldots ,x_{n}]

{\ displaystyle [0, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}

[0, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]

și funcție

[0,x_{1},\ldots ,x_{n}]\mapsto [x_{1},\ldots ,x_{n}]

{\ displaystyle [0, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] \ mapsto [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}

[0, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] \ mapsto [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]

definește o corespondență unu-la-unu între punctele la infinit și spațiul proiectiv $\mathbb {P} ^{n-1}(K)$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n-1} (K)}$ ${\ mathbb P} ^ {{n-1}} (K)$ mai mică decât una ca mărime. Prin urmare, „punctele la infinit” de exemplu ale planului proiectiv formează o linie proiectivă, numită linie infinită sau linie necorespunzătoare . Într-o dimensiune arbitrară, vorbim despre un hiperplan necorespunzător .

Hărți și atlas

Aceeași descriere este fezabilă pentru fiecare $i=0,\ldots ,n$ ${\ displaystyle i = 0, \ ldots, n}$ $i = 0, \ ldots, n$ definire $E_{i}$ ${\ displaystyle E_ {i}}$ $E_ {i}$ ca ansamblu de puncte ale căror $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -a coordonată este diferită de zero. Pentru fiecare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ obținem astfel un hiperplan necorespunzător și o carte afină diferită $E_{i}$ ${\ displaystyle E_ {i}}$ $E_ {i}$ .

Denumirea de „hârtie” provine de la următoarea proprietate: uniunea de $E_{i}$ ${\ displaystyle E_ {i}}$ $E_ {i}$ este întregul spațiu, prin urmare hărțile „acoperă” întregul spațiu proiectiv, în timp ce fiecare dintre ele descrie doar o parte a acestuia, la fel ca hărțile geografice .

Pentru $E_{i}$ ${\ displaystyle E_ {i}}$ $E_ {i}$ hărțile pot fi asociate $f_{i}:E_{i}\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle f_ {i}: E_ {i} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f_ {i}: E_ {i} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ , care fac $\mathbb {P} ^{n+1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n + 1}}$ o varietate diferențiată. Setul de cupluri

\{(E_{0},f_{0}),\ldots ,(E_{n},f_{n})\}

{\ displaystyle \ {(E_ {0}, f_ {0}), \ ldots, (E_ {n}, f_ {n}) \}}

{\ displaystyle \ {(E_ {0}, f_ {0}), \ ldots, (E_ {n}, f_ {n}) \}}

se numește atlas afin.

Hărțile $f_{i}$ ${\ displaystyle f_ {i}}$ ${\ displaystyle f_ {i}}$ sunt, în mod trivial, rafinamentele $E_{i}$ ${\ displaystyle E_ {i}}$ $E_ {i}$ : de exemplu, punctul $(x_{0}:x_{1}:...:x_{n+1})\in E_{0}$ ${\ displaystyle (x_ {0}: x_ {1}: ...: x_ {n + 1}) \ în E_ {0}}$ ${\ displaystyle (x_ {0}: x_ {1}: ...: x_ {n + 1}) \ în E_ {0}}$ , este trimis prin $f_{0}$ ${\ displaystyle f_ {0}}$ ${\ displaystyle f_ {0}}$ în $(x_{1}/x_{0},x_{2}/x_{0},...,x_{n+1}/x_{0})\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle (x_ {1} / x_ {0}, x_ {2} / x_ {0}, ..., x_ {n + 1} / x_ {0}) \ in \ mathbb {R} ^ {n }}$ ${\ displaystyle (x_ {1} / x_ {0}, x_ {2} / x_ {0}, ..., x_ {n + 1} / x_ {0}) \ in \ mathbb {R} ^ {n }}$

Definiție mai abstractă

Spațiul proiectiv poate fi definit într-un mod analog pornind de la orice spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ :

Spațiul proiectiv asociat cu $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este definit ca setul de linii drepte care trec prin originea în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Acesta este,

\mathbb {P} (V)={\frac {V\setminus \{0\}}{\sim }}

{\ displaystyle \ mathbb {P} (V) = {\ frac {V \ setminus \ {0 \}} {\ sim}}}

{\ displaystyle \ mathbb {P} (V) = {\ frac {V \ setminus \ {0 \}} {\ sim}}}

unde este

v\sim w\Longleftrightarrow v=kw

{\ displaystyle v \ sim w \ Longleftrightarrow v = kw}

v \ sim w \ Longleftrightarrow v = kw

pentru unii

k\in K,k\neq 0

{\ displaystyle k \ în K, k \ neq 0}

{\ displaystyle k \ în K, k \ neq 0}

.

În acest context, definiția dată mai sus corespunde cazului în care $V=K^{n}$ ${\ displaystyle V = K ^ {n}}$ $V = K ^ {n}$ . În general, spațiul $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ poate avea și o dimensiune infinită.

Există un instrument similar cu bazele care vă permite să atribuiți fiecărui punct de $\mathbb {P} (V)$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (V)}$ ${\ mathbb P} (V)$ coordonate omogene , în caz $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ au dimensiuni finite $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . În ceea ce privește spațiile vectoriale, nu există un mod univoc de atribuire a acestor coordonate: acestea depind de alegerea unei referințe proiective , analogul proiectiv al bazelor.

Notă

^ ^a ^b Ugo Amaldi, Puncte ciclice , enciclopedie italiană, 1931.

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 27871 · LCCN (RO) sh85107383 · BNF (FR) cb122863779 (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[amaldi-1] Ugo Amaldi, Puncte ciclice , enciclopedie italiană, 1931.

[1]