Omografie (matematică)

În matematică și geometrie, o omografie este o relație între punctele a două spații, astfel încât fiecare punct al unui spațiu să corespundă unuia și unui singur punct al celui de-al doilea spațiu.

Introducere

Având în vedere un set de puncte ${\boldsymbol {x}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} _ {i}}$ și un set de puncte corespunzătoare ${\boldsymbol {x}}_{i}'$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} _ {i} '}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} _ {i} '}$ exprimată în coordonate omogene , dorim să stabilim o transformare capabilă să transforme punctele ${\boldsymbol {x}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} _ {i}}$ în puncte ${\boldsymbol {x}}_{i}'$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} _ {i} '}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} _ {i} '}$ . În general, această transformare are o mare importanță în transformarea punctelor de la un etaj la altul în câmpul viziunii artificiale .

Omografie bidimensională

Problema omografiei bidimensionale constă în determinarea unei transformări capabile să mapeze punctele unui plan la punctele unui alt plan. Relația este apoi definită ${\boldsymbol {x}}_{i}\leftrightarrow {\boldsymbol {x}}_{i}'$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} _ {i} \ leftrightarrow {\ boldsymbol {x}} _ {i} '}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} _ {i} \ leftrightarrow {\ boldsymbol {x}} _ {i} '}$ între două seturi de puncte. Această transformare este exprimată matematic prin produsul punctelor pentru o matrice H 3 cu 3 astfel încât

H\cdot {\boldsymbol {x}}_{i}={\boldsymbol {x}}_{i}',\;\forall i

{\ displaystyle H \ cdot {\ boldsymbol {x}} _ {i} = {\ boldsymbol {x}} _ {i} ', \; \ forall i}

{\ displaystyle H \ cdot {\ boldsymbol {x}} _ {i} = {\ boldsymbol {x}} _ {i} ', \; \ forall i}

unde în matricea H valorile tuturor elementelor nu sunt importante, ci relațiile dintre ele, cu rezultatul de a avea deci opt grade de libertate. Această ecuație poate fi rescrisă în formă extinsă:

\left[{\begin{array}{c}x_{i_{1}}'\\x_{i_{2}}'\\x_{i_{3}}'\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}h_{11}&h_{12}&h_{13}\\h_{21}&h_{22}&h_{23}\\h_{31}&h_{32}&h_{33}\end{array}}\right]\cdot \left[{\begin{array}{c}x_{i_{1}}\\x_{i_{2}}\\x_{i_{3}}\end{array}}\right]

{\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {c} x_ {i_ {1}} '\\ x_ {i_ {2}}' \\ x_ {i_ {3}} '\ end {array}} \ dreapta] = \ left [{\ begin {array} {ccc} h_ {11} & h_ {12} & h_ {13} \\ h_ {21} & h_ {22} & h_ {23} \\ h_ {31 } & h_ {32} & h_ {33} \ end {array}} \ right] \ cdot \ left [{\ begin {array} {c} x_ {i_ {1}} \\ x_ {i_ {2}} \\ x_ {i_ {3}} \ end {array}} \ right]}

{\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {c} x_ {i_ {1}} '\\ x_ {i_ {2}}' \\ x_ {i_ {3}} '\ end {array}} \ dreapta] = \ left [{\ begin {array} {ccc} h_ {11} & h_ {12} & h_ {13} \\ h_ {21} & h_ {22} & h_ {23} \\ h_ {31 } & h_ {32} & h_ {33} \ end {array}} \ right] \ cdot \ left [{\ begin {array} {c} x_ {i_ {1}} \\ x_ {i_ {2}} \\ x_ {i_ {3}} \ end {array}} \ right]}

și dezvoltat:

\left\{{\begin{array}{l}x_{i_{1}}'=h_{11}x_{i_{1}}+h_{12}x_{i_{2}}+h_{13}x_{i_{3}}\\x_{i_{2}}'=h_{21}x_{i_{1}}+h_{22}x_{i_{2}}+h_{23}x_{i_{3}}\\x_{i_{3}}'=h_{31}x_{i_{1}}+h_{32}x_{i_{2}}+h_{33}x_{i_{3}}\end{array}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} x_ {i_ {1}} '= h_ {11} x_ {i_ {1}} + h_ {12} x_ {i_ {2}} + h_ {13} x_ {i_ {3}} \\ x_ {i_ {2}} '= h_ {21} x_ {i_ {1}} + h_ {22} x_ {i_ {2}} + h_ {23} x_ {i_ {3}} \\ x_ {i_ {3}} '= h_ {31} x_ {i_ {1}} + h_ {32} x_ {i_ {2}} + h_ {33} x_ {i_ {3 }} \ end {array}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} x_ {i_ {1}} '= h_ {11} x_ {i_ {1}} + h_ {12} x_ {i_ {2}} + h_ {13} x_ {i_ {3}} \\ x_ {i_ {2}} '= h_ {21} x_ {i_ {1}} + h_ {22} x_ {i_ {2}} + h_ {23} x_ {i_ {3}} \\ x_ {i_ {3}} '= h_ {31} x_ {i_ {1}} + h_ {32} x_ {i_ {2}} + h_ {33} x_ {i_ {3 }} \ end {array}} \ right.}

efectuând multiplicarea încrucișată între membrii ecuațiilor, este posibil să se ajungă la trei ecuații sub forma:

\left\{{\begin{array}{l}x_{i_{1}}'\cdot \left(h_{21}x_{i_{1}}+h_{22}x_{i_{2}}+h_{23}x_{i_{3}}\right)=\left(h_{11}x_{i_{1}}+h_{12}x_{i_{2}}+h_{13}x_{i_{3}}\right)\cdot x_{i_{2}}'\\x_{i_{2}}'\cdot \left(h_{31}x_{i_{1}}+h_{32}x_{i_{2}}+h_{33}x_{i_{3}}\right)=\left(h_{21}x_{i_{1}}+h_{22}x_{i_{2}}+h_{23}x_{i_{3}}\right)\cdot x_{i_{3}}'\\x_{i_{3}}'\cdot \left(h_{11}x_{i_{1}}+h_{12}x_{i_{2}}+h_{13}x_{i_{3}}\right)=\left(h_{31}x_{i_{1}}+h_{32}x_{i_{2}}+h_{33}x_{i_{3}}\right)\cdot x_{i_{1}}'\end{array}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} x_ {i_ {1}} '\ cdot \ left (h_ {21} x_ {i_ {1}} + h_ {22} x_ {i_ {2 }} + h_ {23} x_ {i_ {3}} \ right) = \ left (h_ {11} x_ {i_ {1}} + h_ {12} x_ {i_ {2}} + h_ {13} x_ {i_ {3}} \ right) \ cdot x_ {i_ {2}} '\\ x_ {i_ {2}}' \ cdot \ left (h_ {31} x_ {i_ {1}} + h_ {32} x_ {i_ {2}} + h_ {33} x_ {i_ {3}} \ right) = \ left (h_ {21} x_ {i_ {1}} + h_ {22} x_ {i_ {2}} + h_ {23} x_ {i_ {3}} \ right) \ cdot x_ {i_ {3}} '\\ x_ {i_ {3}}' \ cdot \ left (h_ {11} x_ {i_ {1}} + h_ {12} x_ {i_ {2}} + h_ {13} x_ {i_ {3}} \ right) = \ left (h_ {31} x_ {i_ {1}} + h_ {32} x_ {i_ {2}} + h_ {33} x_ {i_ {3}} \ right) \ cdot x_ {i_ {1}} '\ end {array}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} x_ {i_ {1}} '\ cdot \ left (h_ {21} x_ {i_ {1}} + h_ {22} x_ {i_ {2 }} + h_ {23} x_ {i_ {3}} \ right) = \ left (h_ {11} x_ {i_ {1}} + h_ {12} x_ {i_ {2}} + h_ {13} x_ {i_ {3}} \ right) \ cdot x_ {i_ {2}} '\\ x_ {i_ {2}}' \ cdot \ left (h_ {31} x_ {i_ {1}} + h_ {32} x_ {i_ {2}} + h_ {33} x_ {i_ {3}} \ right) = \ left (h_ {21} x_ {i_ {1}} + h_ {22} x_ {i_ {2}} + h_ {23} x_ {i_ {3}} \ right) \ cdot x_ {i_ {3}} '\\ x_ {i_ {3}}' \ cdot \ left (h_ {11} x_ {i_ {1}} + h_ {12} x_ {i_ {2}} + h_ {13} x_ {i_ {3}} \ right) = \ left (h_ {31} x_ {i_ {1}} + h_ {32} x_ {i_ {2}} + h_ {33} x_ {i_ {3}} \ right) \ cdot x_ {i_ {1}} '\ end {array}} \ right.}

Doar două dintre aceste trei ecuații sunt liniar independente . Matricea $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este definit până la o constantă multiplicativă, ceea ce înseamnă că opt ecuații liniar independente sunt suficiente pentru determinarea elementelor matricei. Aceste opt ecuații pot fi recuperate folosind meciuri între un total de patru trei-trei puncte care nu sunt aliniate. Sistemul rezultat poate fi scris sub formă de matrice, cum ar fi $P\cdot {\boldsymbol {h}}={\boldsymbol {0}}$ ${\ displaystyle P \ cdot {\ boldsymbol {h}} = {\ boldsymbol {0}}}$ ${\ displaystyle P \ cdot {\ boldsymbol {h}} = {\ boldsymbol {0}}}$ , unde este ${\boldsymbol {h}}=\left[h_{11},h_{12},h_{13},h_{21},h_{22},h_{23},h_{31},h_{32},h_{33}\right]$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {h}} = \ left [h_ {11}, h_ {12}, h_ {13}, h_ {21}, h_ {22}, h_ {23}, h_ {31}, h_ {32}, h_ {33} \ dreapta]}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {h}} = \ left [h_ {11}, h_ {12}, h_ {13}, h_ {21}, h_ {22}, h_ {23}, h_ {31}, h_ {32}, h_ {33} \ dreapta]}$ .