Funcție integrabilă

În calcul , o funcție integrabilă sau o funcție sumabilă în raport cu un operator integral dat este o funcție a cărei integrală există și valoarea sa este finită. Cele mai utilizate două integrale sunt integralul Riemann și integralul Lebesgue , iar definiția depinde de operatorul integral utilizat. Având în vedere difuziunea și generalitatea mai mari a integralei Lebesgue față de celelalte, totuși, prin funcție integrabilă ne referim, de obicei, integrabil conform lui Lebesgue . În majoritatea cazurilor, termenii „integrabil” și „sumabil” sunt sinonimi, dar se poate întâmpla ca unul dintre cei doi să fie folosit pentru cazul mai general al funcțiilor a căror integrală există și poate fi infinită.

Integrala Lebesgue

Același subiect în detaliu: integral Lebesgue .

Având în vedere un spațiu de măsurare $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$ , o funcție simplă $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ este o combinație liniară finită de funcții indicatoare ale seturilor măsurabile . ^[1]

s:X\to \mathbb {R} ,s(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x)

{\ displaystyle s: X \ to \ mathbb {R}, s (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} ( X)}

{\ displaystyle s: X \ to \ mathbb {R}, s (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} ( X)}

integralul Lebesgue este definit ca:

\int _{X}s(x)d\mu :=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k})

{\ displaystyle \ int _ {X} s (x) d \ mu: = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k})}

{\ displaystyle \ int _ {X} s (x) d \ mu: = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k})}

O functie $f:X\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ $f: X \ to \ mathbb {R}$ se spune că non-negativ este integrabil conform lui Lebesgue dacă limita superioară există finită: ^[2]

\sup _{s}\int _{X}s(x)d\mu =:\int _{X}f(x)d\mu \

{\ displaystyle \ sup _ {s} \ int _ {X} s (x) d \ mu =: \ int _ {X} f (x) d \ mu \}

{\ displaystyle \ sup _ {s} \ int _ {X} s (x) d \ mu =: \ int _ {X} f (x) d \ mu \}

unde este $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ este o funcție simplă arbitrară astfel încât $s\leq f$ ${\ displaystyle s \ leq f}$ ${\ displaystyle s \ leq f}$ . Setul de funcții care satisfac această definiție se numește setul de funcții integrabile pe X conform lui Lebesgue cu privire la măsură $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , sau, de asemenea, un set de funcții sumabile și este notat cu $L^{1}(\mu )$ ${\ displaystyle L ^ {1} (\ mu)}$ $L ^ {1} (\ mu)$ .

În general, se spune că orice funcție este integrabilă dacă funcțiile non-negative sunt:

f^{+}(x)=\left\{{\begin{matrix}f(x)&{\mbox{se}}\quad f(x)\geq 0\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle f ^ {+} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} f (x) & {\ mbox {se}} \ quad f (x) \ geq 0 \\ 0 & {\ mbox {altfel}} \ end {matrix}} \ right.}

f ^ {+} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} f (x) & {\ mbox {if}} \ quad f (x) \ geq 0 \\ 0 & {\ mbox {altfel} } \ end {matrix}} \ right.

f^{-}(x)=\left\{{\begin{matrix}-f(x)&{\mbox{se}}\quad f(x)<0\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle f ^ {-} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} -f (x) & {\ mbox {se}} \ quad f (x) <0 \\ 0 & {\ mbox {altfel}} \ end {matrix}} \ right.}

f ^ {-} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} -f (x) & {\ mbox {if}} \ quad f (x) <0 \\ 0 & {\ mbox {altfel} } \ end {matrix}} \ right.

care sunt părțile pozitive și negative ale respectivului $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

În acest caz, definim: ^[3]

\int _{X}f(x)d\mu :=\int _{X}f^{+}(x)d\mu -\int _{X}f^{-}(x)d\mu

{\ displaystyle \ int _ {X} f (x) d \ mu: = \ int _ {X} f ^ {+} (x) d \ mu - \ int _ {X} f ^ {-} (x) d \ mu}

{\ displaystyle \ int _ {X} f (x) d \ mu: = \ int _ {X} f ^ {+} (x) d \ mu - \ int _ {X} f ^ {-} (x) d \ mu}

Integrala Riemann

Același subiect în detaliu: integrala Riemann .

O functie $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ mărginit se spune că este integrabil conform lui Riemann dacă limita există finită:

\lim _{\delta \to 0}S(f,P,\{t_{i}\})=:\int _{a}^{b}f(x)dx

{\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ to 0} S (f, P, \ {t_ {i} \}) =: \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx}

{\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ to 0} S (f, P, \ {t_ {i} \}) =: \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx}

unde este $P=\{x_{1}...,x_{n}\}$ ${\ displaystyle P = \ {x_ {1} ..., x_ {n} \}}$ ${\ displaystyle P = \ {x_ {1} ..., x_ {n} \}}$ este o partiție arbitrară a intervalului $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ cu calibru mai mic de $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ (calibrul unei partiții este amplitudinea maximă între sub-intervalele partiției date), $t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$ ${\ displaystyle t_ {i} \ in [x_ {i-1}, x_ {i}]}$ ${\ displaystyle t_ {i} \ in [x_ {i-1}, x_ {i}]}$ Și:

S(f,P,\{t_{i}\})=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1})

{\ displaystyle S (f, P, \ {t_ {i} \}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (t_ {i}) (x_ {i} -x_ {i-1} )}}

{\ displaystyle S (f, P, \ {t_ {i} \}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (t_ {i}) (x_ {i} -x_ {i-1} )}}

Limita trebuie înțeleasă în felul următor. Pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ este un $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ astfel încât pentru fiecare partiție a $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ cu calibru mai mic de $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ și pentru fiecare alegere a punctelor relative $t_{i}$ ${\ displaystyle t_ {i}}$ $tu$ este valabil:

\left|\int _{a}^{b}f(x)dx-S(f,P,\{t_{i}\})\right|<\varepsilon

{\ displaystyle \ left | \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx-S (f, P, \ {t_ {i} \}) \ right | <\ varepsilon}

{\ displaystyle \ left | \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx-S (f, P, \ {t_ {i} \}) \ right | <\ varepsilon}

Alți operatori de integrare

Alte tipuri de operatori integrali includ:

Notă

^ W. Rudin , Pagina 15 .
^ W. Rudin , pagina 19 .
^ W. Rudin , Pagina 24 .

Bibliografie

( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[def-1] W. Rudin , Pagina 15 .

[int-2] W. Rudin , pagina 19 .

[3] W. Rudin , Pagina 24 .

[1]

[2]

[3]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy