Teorema Bolzano-Weierstrass

Teorema Bolzano-Weierstrass afirmă că într-un spațiu euclidian cu dimensiuni finite $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ fiecare succesiune limitată reală admite cel puțin o convergență de subsecvență .

O altă afirmație a teoremei Bolzano-Weierstrass afirmă că: „Un set infinit și mărginit admite cel puțin un punct de acumulare ”.

Dovada acestei a doua propoziții se găsește imediat după dovada primei.

A fost dovedit în 1817 de matematicianul boem Bernard Bolzano , dar a devenit cunoscut abia o jumătate de secol mai târziu, când Karl Weierstrass , necunoscând opera lui Bolzano, a oferit o nouă dovadă. Din acest motiv, ia numele ambilor cercetători.

Teorema

Este $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle E \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $E \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ un set limitat și infinit . Atunci $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ are cel puțin un punct de acumulare .

Un corolar imediat al teoremei afirmă că fiecare secvență mărginită din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ^[1] admite cel puțin o subsecvență convergentă ^[2] .

Dovadă prin inducție

Definiți întregul $E\subseteq K$ ${\ displaystyle E \ subseteq K}$ $E \ subseteq K$ ca $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ deci toate valorile dintre $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , și puneți un punct $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ definit ca: $c=(b+a)/2$ ${\ displaystyle c = (b + a) / 2}$ ${\ displaystyle c = (b + a) / 2}$ , de aici punctul de mijloc.

Apoi prin ipoteză în cel puțin unul dintre cele două subseturi $[a,c]$ ${\ displaystyle [a, c]}$ $[B.C]$ sau $[c,b]$ ${\ displaystyle [c, b]}$ ${\ displaystyle [c, b]}$ se vor găsi elemente infinite deoarece elementele setului de pornire sunt infinite. Luați în considerare subsetul cu elemente infinite (dacă ambele au elemente infinite, alegeți unul) și numiți noile extreme $[a_{1},b_{1}]$ ${\ displaystyle [a_ {1}, b_ {1}]}$ ${\ displaystyle [a_ {1}, b_ {1}]}$ . Acum definește-te și pe tine $c_{1}$ ${\ displaystyle c_ {1}}$ $c_1$ ca punct de mijloc al subsetului și repetați procesul.

Această procedură poate fi repetată la nesfârșit și făcând acest lucru observăm două subsecvențe

$a_{k}$ ${\ displaystyle a_ {k}}$ $a_ {k}$ $\nearrow$ ${\ displaystyle \ nearrow}$ $\ nearrow$ monoton în creștere, care prin teoremă pe subsecvențe monotone conținute într-un set mărginit admite limita e $\lim a_{k}=\alpha$ ${\ displaystyle \ lim a_ {k} = \ alpha}$ ${\ displaystyle \ lim a_ {k} = \ alpha}$ ;
$b_{k}$ ${\ displaystyle b_ {k}}$ $b_ {k}$ $\searrow$ ${\ displaystyle \ searrow}$ $\ searrow$ monoton descrescător, care prin teoremă pe subsecvențe monotone conținute într-un set mărginit admite limită și $\lim b_{k}=\beta$ ${\ displaystyle \ lim b_ {k} = \ beta}$ ${\ displaystyle \ lim b_ {k} = \ beta}$ ;

Rețineți că cele două limite $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ sunt aceleași din moment ce:

a_{k}-b_{k}=(b-a)/2^{k},

{\ displaystyle a_ {k} -b_ {k} = (ba) / 2 ^ {k},}

{\ displaystyle a_ {k} -b_ {k} = (b-a) / 2 ^ {k},}

și făcându-l limita pentru $k\to \infty$ ${\ displaystyle k \ to \ infty}$ $k \ to \ infty$ primesti:

\lim(a_{k}-b_{k})=\lim((b-a)/2^{k})

{\ displaystyle \ lim (a_ {k} -b_ {k}) = \ lim ((ba) / 2 ^ {k})}

{\ displaystyle \ lim (a_ {k} -b_ {k}) = \ lim ((b-a) / 2 ^ {k})}

\alpha -\beta =0\to \alpha =\beta

{\ displaystyle \ alpha - \ beta = 0 \ to \ alpha = \ beta}

{\ displaystyle \ alpha - \ beta = 0 \ to \ alpha = \ beta}

Acum, având în vedere și asta $\lim(b_{k})=\alpha$ ${\ displaystyle \ lim (b_ {k}) = \ alpha}$ ${\ displaystyle \ lim (b_ {k}) = \ alpha}$

scriem definiția limitei pentru ambele secvențe:

$\forall \varepsilon >0,\exists M:k>M\Longrightarrow \alpha -\varepsilon <a_{k}<\alpha$ ${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ există M: k> M \ Longrightarrow \ alpha - \ varepsilon <a_ {k} <\ alpha}$ ${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ există M: k> M \ Longrightarrow \ alpha - \ varepsilon <a_ {k} <\ alpha}$ (fiind monoton crescând nu poate fi mai mare decât $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ )
$\forall \varepsilon >0,\exists N:k>N\Longrightarrow \alpha <b_{k}<\alpha +\varepsilon$ ${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ există N: k> N \ Longrightarrow \ alpha <b_ {k} <\ alpha + \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ există N: k> N \ Longrightarrow \ alpha <b_ {k} <\ alpha + \ varepsilon}$ (fiind monoton descrescător nu poate fi mai mic de $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ )

În cele din urmă plasând un $P>\operatorname {max} (M,N)$ ${\ displaystyle P> \ operatorname {max} (M, N)}$ ${\ displaystyle P> \ operatorname {max} (M, N)}$ mai mare decât maximul dintre cele două veți obține:

\forall \varepsilon >0,\exists P>\operatorname {max} (M,N)

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ există P> \ operatorname {max} (M, N)}

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ există P> \ operatorname {max} (M, N)}

astfel încât ambele condiții să fie îndeplinite și, prin urmare:

\alpha -\varepsilon <a_{k}<\alpha <b_{k}<\alpha +\varepsilon

{\ displaystyle \ alpha - \ varepsilon <a_ {k} <\ alpha <b_ {k} <\ alpha + \ varepsilon}

{\ displaystyle \ alpha - \ varepsilon <a_ {k} <\ alpha <b_ {k} <\ alpha + \ varepsilon}

Care este exact definiția unui punct de acumulare. Așa se pare $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ punct de acumulare.

Trebuie remarcat faptul că: dacă în timpul infinitelor subdiviziuni ale intervalului s-au găsit altele $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ sub-intervale cu valori infinite, atunci s-ar găsi altele $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ puncte de acumulare. ^[3]

Dovadă pentru n = 1 (alternativă)

Dovada în cauză $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ folosește axioma Dedekind (sau axioma completitudinii ) și o lemă specifică.

Lemă

Orice succesiune $\{x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \}}$ $\ {x_ {n} \}$ la valori în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ admite o subsecvență monotonă .

Dovadă a lemei

Numim fiecărui număr natural „ vârf pentru secvență” $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ astfel încât, pentru fiecare $m>n$ ${\ displaystyle m> n}$ $m> n$ , se pare $x_{n}\geq x_{m},$ ${\ displaystyle x_ {n} \ geq x_ {m},}$ $x_ {n} \ geq x_ {m},$ sau astfel încât termenul $x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ este mai mare sau egal cu orice termen care îl „urmează” în secvență.

Să luăm în considerare cazul în care secvența are vârfuri infinite $n_{1}<n_{2}<n_{3}<\ldots <n_{j}<\ldots$ ${\ displaystyle n_ {1} <n_ {2} <n_ {3} <\ ldots <n_ {j} <\ ldots}$ ${\ displaystyle n_ {1} <n_ {2} <n_ {3} <\ ldots <n_ {j} <\ ldots}$ . Rezultă că obținem o subsecvență monotonă în scădere $\{x_{n_{j}}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n_ {j}} \}}$ $\ {x _ {{n_ {j}}} \}$ constituit din vârfurile infinite ale secvenței de pornire și se atinge teza (a lemei).

Un rezultat similar se găsește în studiul limitei superioare a unei succesiuni. În acest context, de fapt, este luată în considerare subsecvența dată de $\{\sup _{m\geq n}x_{m}:n\in \mathbb {N} \}$ ${\ displaystyle \ {\ sup _ {m \ geq n} x_ {m}: n \ in \ mathbb {N} \}}$ $\ {\ sup _ {{m \ geq n}} x_ {m}: n \ in {\ mathbb {N}} \}$ .

Acum presupunem că există doar un număr finit de vârfuri, numim N ultimul vârf și n ₁ = N + 1 . Prin urmare n ₁ nu este un vârf, deoarece n ₁ > N ; de aici rezultă că există un n ₂ > n ₁ astfel încât $x_{n_{2}}\geq x_{n_{1}}.$ ${\ displaystyle x_ {n_ {2}} \ geq x_ {n_ {1}}.}$ $x _ {{n_ {2}}} \ geq x _ {{n_ {1}}}.$ În mod similar, n ₂ > N nu este un vârf, deci există n ₃ > n ₂ cu $x_{n_{3}}\geq x_{n_{2}}.$ ${\ displaystyle x_ {n_ {3}} \ geq x_ {n_ {2}}.}$ $x _ {{n_ {3}}} \ geq x _ {{n_ {2}}}.$ . Prin iterația procedurii, se obține subsecvența monotonă în creștere $x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}\leq \ldots$ ${\ displaystyle x_ {n_ {1}} \ leq x_ {n_ {2}} \ leq x_ {n_ {3}} \ leq \ ldots}$ $x _ {{n_ {1}}} \ leq x _ {{n_ {2}}} \ leq x _ {{n_ {3}}} \ leq \ ldots$ .

Demonstrație adevărată

Acum presupunem că avem o secvență mărginită în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ ; lema precedentă implică existența unei subsecvențe monotone neapărat limitate. Din teorema convergenței monotone pentru secvențe reale rezultă că această subsecvență converge în mod necesar. De fapt, fiind delimitat, va avea extremul superior (inferior) pentru axioma lui Dedekind , care va fi și limita secvenței. Acest lucru este dovedit de faptul că, numit $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ extremul superior, $\forall \varepsilon \exists \nu :L-\varepsilon <x_{\nu }$ ${\ displaystyle \ forall \ varepsilon \ există \ nu: L- \ varepsilon <x _ {\ nu}}$ $\ forall \ varepsilon \ există \ nu: L- \ varepsilon <x _ {{\ nu}}$ . Fiind monoton, $\forall n>\nu :x_{\nu }<x_{n}<L<L+\varepsilon$ ${\ displaystyle \ forall n> \ nu: x _ {\ nu} <x_ {n} <L <L + \ varepsilon}$ $\ forall n> \ nu: x _ {{\ nu}} <x_ {n} <L <L + \ varepsilon$ acesta este $|x_{n}-L|<\varepsilon$ ${\ displaystyle | x_ {n} -L | <\ varepsilon}$ $| x_ {n} -L | <\ varepsilon$ . Astfel se încheie dovada teoremei pentru caz $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ .

Dovadă pentru orice n

În formularea sa cea mai generală, teorema poate fi dovedită întâmplător $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ : dat o succesiune limitată în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , secvența primelor coordonate este o secvență reală limitată și, prin urmare, admite subsecvența convergentă. Din aceasta putem extrage o sub-succesiune (convergentă) pentru care converge a doua coordonată. Iterând acest proces pentru toți $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ coordonatele pe care le obțineți $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ uneori o subsecvență a secvenței de pornire - care este de fapt o subsecvență a secvenței de pornire - pentru care fiecare coordonată este o secvență convergentă. O subsecvență convergentă a secvenței din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .

Formularea teoremei cu noțiunea de compactitate

După cum sa menționat, avem o a doua afirmație ^[4] a teoremei:

Este $E\subseteq K$ ${\ displaystyle E \ subseteq K}$ $E \ subseteq K$ un set infinit , și așa să fie $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ un tot compact . Atunci $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ admite cel puțin un punct de acumulare în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Demonstrație

Să presupunem, în mod absurd , că $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ nu permite puncte de acumulare în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Atunci

\forall q\in K\ \exists A_{q}\ni q\ |\ A_{q}\cap E\subseteq \{q\}

{\ displaystyle \ forall q \ în K \ \ există A_ {q} \ ni q \ | \ A_ {q} \ cap E \ subseteq \ {q \}}

{\ displaystyle \ forall q \ în K \ \ există A_ {q} \ ni q \ | \ A_ {q} \ cap E \ subseteq \ {q \}}

cu $A_{q}$ ${\ displaystyle A_ {q}}$ ${\ displaystyle A_ {q}}$ un cartier deschis al $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ . Acum, evident, familia deschisă

\{A_{q}\}_{q\in K}

{\ displaystyle \ {A_ {q} \} _ {q \ în K}}

{\ displaystyle \ {A_ {q} \} _ {q \ în K}}

este o copertă deschisă a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Atâta timp cât $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , prin ipoteză, este compact, din această copertă deschisă este posibil să se extragă un acoperit deschis finit de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , adică o subfamilie $\{A_{q_{i}}\}_{i\leq N}$ ${\ displaystyle \ {A_ {q_ {i}} \} _ {i \ leq N}}$ ${\ displaystyle \ {A_ {q_ {i}} \} _ {i \ leq N}}$ pentru unii $N\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$ astfel încât

E\subseteq \bigcup _{i\leq N}(A_{q_{i}}\cap E)

{\ displaystyle E \ subseteq \ bigcup _ {i \ leq N} (A_ {q_ {i}} \ cap E)}

{\ displaystyle E \ subseteq \ bigcup _ {i \ leq N} (A_ {q_ {i}} \ cap E)}

Cu toate acestea, acest lucru este absurd de atunci $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ conține elemente infinite, în timp ce $\bigcup _{i\leq N}(A_{q_{i}}\cap E)$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {i \ leq N} (A_ {q_ {i}} \ cap E)}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {i \ leq N} (A_ {q_ {i}} \ cap E)}$ conține cel mult $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ elemente.

Notă

^ Satisfacerea ipotezelor teoremei ca un set infinit și delimitat $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .
^ Consecința secvenței având un punct de acumulare pentru teorema Bolzano-Weirstrass: dacă există un punct de acumulare $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ pentru un anumit set, apoi fiecare intersecție a unui cartier de $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ lipsit de punctul cu setul va fi ne-gol, astfel încât punctele infinite ale setului vor cădea cât de aproape se dorește de punctul de acumulare, care este limita la care converge cu siguranță o anumită subsecvență extrasă din set pentru definirea limita unei secvențe.
^ GH Hardy, Un curs de matematică pură , Londra, 1908.
^ Mai general în termeni, deoarece este menționat pentru mulțimi infinite în spații compacte, dintre care mulțimile infinite delimitate în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ sunt un caz special.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre teorema Bolzano-Weierstrass

linkuri externe

( EN ) Teorema Bolzano-Weierstrass , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Satisfacerea ipotezelor teoremei ca un set infinit și delimitat $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .

[2] Consecința secvenței având un punct de acumulare pentru teorema Bolzano-Weirstrass: dacă există un punct de acumulare $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ pentru un anumit set, apoi fiecare intersecție a unui cartier de $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ lipsit de punctul cu setul va fi ne-gol, astfel încât punctele infinite ale setului vor cădea cât de aproape se dorește de punctul de acumulare, care este limita la care converge cu siguranță o anumită subsecvență extrasă din set pentru definirea limita unei secvențe.

[3] GH Hardy, Un curs de matematică pură , Londra, 1908.

[4] Mai general în termeni, deoarece este menționat pentru mulțimi infinite în spații compacte, dintre care mulțimile infinite delimitate în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ sunt un caz special.

[1]

[2]

[3]

[4]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy