Permanența teoremei semnului

Teorema permanenței semnelor este o teoremă de analiză matematică . Acesta ia forme diferite în funcție de context și afirmă că, dacă o limită este strict pozitivă, atunci obiectul care converge asupra ei este întotdeauna pozitiv „dintr-un anumit punct înainte” sau într-un „anumit vecinătate”. Se aplică în principal secvențelor și funcțiilor .

Succesiuni

Afirmație

Teorema permanenței semnelor pentru secvențe afirmă că:

O succesiune $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_n \}$ care tinde spre o limită strict pozitivă $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ ${\ displaystyle a> 0}$ (care poate fi și $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ ) are cu siguranță doar termeni pozitivi. Cu alte cuvinte, există un $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât $a_{n}>0$ ${\ displaystyle a_ {n}> 0}$ $a_ {n}> 0$ pentru fiecare $n>N$ ${\ displaystyle n> N}$ $n> N$ .

În mod similar, o secvență care tinde spre o limită strict negativă are cu siguranță doar termeni negativi.

Demonstrație

De sine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este terminat, ia doar $\varepsilon ={\frac {a}{2}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {a} {2}}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {a} {2}}}$ în definiția limitei : există deci o $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ este în raza de acțiune $\left(a-{\frac {a}{2}},a+{\frac {a}{2}}\right)$ ${\ displaystyle \ left (a - {\ frac {a} {2}}, a + {\ frac {a} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (a - {\ frac {a} {2}}, a + {\ frac {a} {2}} \ right)}$ pentru fiecare $n>N$ ${\ displaystyle n> N}$ $n> N$ ; atâta timp cât $a-{\frac {a}{2}}>0$ ${\ displaystyle a - {\ frac {a} {2}}> 0}$ ${\ displaystyle a - {\ frac {a} {2}}> 0}$ , asa de $a_{n}>0$ ${\ displaystyle a_ {n}> 0}$ ${\ displaystyle a_ {n}> 0}$ pentru fiecare $n>N$ ${\ displaystyle n> N}$ $n> N$ .

De sine $a=+\infty$ ${\ displaystyle a = + \ infty}$ ${\ displaystyle a = + \ infty}$ , pentru definirea convergenței, dat un $M>0$ ${\ displaystyle M> 0}$ $M> 0$ oricare, există $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât $a_{n}>M$ ${\ displaystyle a_ {n}> M}$ $a_ {n}> M$ pentru fiecare $n>N$ ${\ displaystyle n> N}$ $n> N$ .

Exemple

Succesiunea
$a_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}-2,5$ ${\ displaystyle a_ {n} = \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n} -2.5}$ ${\ displaystyle a_ {n} = \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n} -2.5}$
converge la $e-2,5$ ${\ displaystyle e-2,5}$ ${\ displaystyle e-2,5}$ , unde este $e=2,71828\ldots$ ${\ displaystyle e = 2.71828 \ ldots}$ ${\ displaystyle e = 2.71828 \ ldots}$ este numărul lui Napier . Limita $e-2,5=0,21828\ldots$ ${\ displaystyle e-2.5 = 0.21828 \ ldots}$ ${\ displaystyle e-2.5 = 0.21828 \ ldots}$ este strict pozitiv, deci există un $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât $a_{n}>0$ ${\ displaystyle a_ {n}> 0}$ $a_ {n}> 0$ pentru fiecare $n>N$ ${\ displaystyle n> N}$ $n> N$ .
O teoremă de acest tip nu se menține dacă limita este zero: o secvență care converge la zero poate avea termeni infiniti ai ambelor semne, de exemplu $a_{n}=(-1)^{n}/n$ ${\ displaystyle a_ {n} = (- 1) ^ {n} / n}$ $a_ {n} = (- 1) ^ {n} / n$
$-1,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},\ldots$ ${\ displaystyle -1, {\ frac {1} {2}}, - {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {4}}, - {\ frac {1} {5} }, {\ frac {1} {6}}, \ ldots}$ $-1, {\ frac 12}, - {\ frac 13}, {\ frac 14}, - {\ frac 15}, {\ frac 16}, \ ldots$

Funcții

Enunț pentru o funcție care nu este neapărat continuă în x ₀ .

Deoarece f (x ₀ )> 0, există un vecinătate U de x ₀ (în verde) astfel încât f (x)> 0 în U

Este $f:X\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ o funcție reală cu o variabilă reală definită pe un subset $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ de numere reale , care are limită

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l>0

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = l> 0}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = l> 0}

strict pozitiv într-un punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ de acumulare pentru $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Apoi, există un cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel încât $f(x)>0$ ${\ displaystyle f (x)> 0}$ ${\ displaystyle f (x)> 0}$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $U\cap X$ ${\ displaystyle U \ cap X}$ ${\ displaystyle U \ cap X}$ diferit de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

Demonstrație

Atâta timp cât $l>0$ ${\ displaystyle l> 0}$ $l> 0$ poți întreba $\varepsilon =l$ ${\ displaystyle \ varepsilon = l}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = l}$ . Prin ipoteza existenței limitei și, prin urmare, prin definiția limitei, ea există cu siguranță în corespondență cu $\varepsilon =l$ ${\ displaystyle \ varepsilon = l}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = l}$ o în jur $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel încât $|f(x)-l|<l=\varepsilon$ ${\ displaystyle | f (x) -l | <l = \ varepsilon}$ ${\ displaystyle | f (x) -l | <l = \ varepsilon}$ pentru fiecare $x\neq x_{0}$ ${\ displaystyle x \ neq x_ {0}}$ ${\ displaystyle x \ neq x_ {0}}$ a domeniului din $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ . Deci pentru asemenea $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ da ai $l-l<f(x)<l+l$ ${\ displaystyle ll <f (x) <l + l}$ ${\ displaystyle l-l <f (x) <l + l}$ , acesta este $0<f(x)<2l$ ${\ displaystyle 0 <f (x) <2l}$ ${\ displaystyle 0 <f (x) <2l}$ , prin urmare funcția este pozitivă în $U\cap X$ ${\ displaystyle U \ cap X}$ ${\ displaystyle U \ cap X}$ , excluse cel mult $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

Notă

De sine $l<0$ ${\ displaystyle l <0}$ ${\ displaystyle l <0}$ , va exista un cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ în fiecare punct, excluse cel mult $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , $f(x)<0$ ${\ displaystyle f (x) <0}$ ${\ displaystyle f (x) <0}$ . În demonstrație va trebui luat $\varepsilon =-l$ ${\ displaystyle \ varepsilon = -l}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = -l}$ , rezultând astfel $l+l<f(x)<0$ ${\ displaystyle l + l <f (x) <0}$ ${\ displaystyle l + l <f (x) <0}$ în $U\cap X$ ${\ displaystyle U \ cap X}$ ${\ displaystyle U \ cap X}$ exclus cel mult $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

Instrucțiune pentru o funcție continuă la x ₀ .

Este $f:X\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ o funcție reală cu o variabilă reală definită și continuă pe un subset $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ numere reale , astfel încât:

f(x_{0})>0

{\ displaystyle f (x_ {0})> 0}

f (x_ {0})> 0

Unde $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este un punct de acumulare pentru $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Apoi, există un cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel încât $f(x)>0$ ${\ displaystyle f (x)> 0}$ ${\ displaystyle f (x)> 0}$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $U\cap X$ ${\ displaystyle U \ cap X}$ ${\ displaystyle U \ cap X}$ .

Demonstrație

Ipoteza de continuitate a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ implică faptul că:

\lim _{x\to x_{_{0}}}f(x)=f(x_{0})

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x _ {_ {0}}} f (x) = f (x_ {0})}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x _ {_ {0}}} f (x) = f (x_ {0})}

Prin ipoteză, $f(x_{0})>0$ ${\ displaystyle f (x_ {0})> 0}$ $f (x_ {0})> 0$ , prin urmare, conform teoremei anterioare, urmează afirmația.

Notă

De sine $f(x_{0})<0$ ${\ displaystyle f (x_ {0}) <0}$ ${\ displaystyle f (x_ {0}) <0}$ limita este negativă, deci aplicăm nota teoremei anterioare pentru a concluziona că există un cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel încât pentru fiecare $x\in U\cap X$ ${\ displaystyle x \ în U \ cap X}$ ${\ displaystyle x \ în U \ cap X}$ aveți $f(x)<0$ ${\ displaystyle f (x) <0}$ $f (x) <0$ .

Observația 1

În această teoremă din $U\cap X$ ${\ displaystyle U \ cap X}$ ${\ displaystyle U \ cap X}$ nu trebuie exclus $x_{0},$ ${\ displaystyle x_ {0},}$ ${\ displaystyle x_ {0},}$ fiind $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ continuați în $x_{0}.$ ${\ displaystyle x_ {0}.}$ ${\ displaystyle x_ {0}.}$

Observația 2

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un interval, puteți omite pentru a specifica acest lucru $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ trebuie să fie de acumulare, deoarece toate punctele unui interval sunt de acumulare pentru același interval, inclusiv extremele care nu îi aparțin.

Nota 1

De sine $l<0$ ${\ displaystyle l <0}$ ${\ displaystyle l <0}$ , va exista un cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ în fiecare punct al cărui $f(x)<0$ ${\ displaystyle f (x) <0}$ ${\ displaystyle f (x) <0}$ . În demonstrație poate fi luat $\varepsilon =-l$ ${\ displaystyle \ varepsilon = -l}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = -l}$ , rezultând astfel $l+l<f(x)<0$ ${\ displaystyle l + l <f (x) <0}$ ${\ displaystyle l + l <f (x) <0}$ în $U\cap X$ ${\ displaystyle U \ cap X}$ ${\ displaystyle U \ cap X}$ (din care nu este exclus $x_{0},$ ${\ displaystyle x_ {0},}$ ${\ displaystyle x_ {0},}$ pentru continuitatea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ De asemenea, în $x_{0}.$ ${\ displaystyle x_ {0}.}$ ${\ displaystyle x_ {0}.}$ )

Prin intermediul teoremei permanenței semnului se dovedește așa-numitul „invers”.

Inversul teoremei permanenței semnului.

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție reală cu o variabilă reală definită în intervalul deschis $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = l}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = l}$ .

a) Dacă există un cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ în fiecare punct, excluse cel mult $x_{0},$ ${\ displaystyle x_ {0},}$ ${\ displaystyle x_ {0},}$ Și $f(x)\geq 0,$ ${\ displaystyle f (x) \ geq 0,}$ ${\ displaystyle f (x) \ geq 0,}$ asa de $l\geq 0.$ ${\ displaystyle l \ geq 0.}$ ${\ displaystyle l \ geq 0.}$

b) Dacă există un cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ în fiecare punct, excluse cel mult $x_{0},$ ${\ displaystyle x_ {0},}$ ${\ displaystyle x_ {0},}$ Și $f(x)\leq 0,$ ${\ displaystyle f (x) \ leq 0,}$ ${\ displaystyle f (x) \ leq 0,}$ asa de $l\leq 0.$ ${\ displaystyle l \ leq 0.}$ ${\ displaystyle l \ leq 0.}$

Demonstrație

a) Prin negarea tezei, avem $l<0$ ${\ displaystyle l <0}$ ${\ displaystyle l <0}$ . Pentru teorema permanenței semnului există cu siguranță un cartier $U^{*}$ ${\ displaystyle U ^ {*}}$ ${\ displaystyle U ^ {*}}$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ în fiecare punct, excluse cel mult $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , se pare $f(x)<0$ ${\ displaystyle f (x) <0}$ ${\ displaystyle f (x) <0}$ . Dar apoi în fiecare moment $x\neq x_{0}$ ${\ displaystyle x \ neq x_ {0}}$ ${\ displaystyle x \ neq x_ {0}}$ din $U^{*}\cap U\cap X$ ${\ displaystyle U ^ {*} \ cap U \ cap X}$ ${\ displaystyle U ^ {*} \ cap U \ cap X}$ se dovedește a fi $f(x)\geq 0$ ${\ displaystyle f (x) \ geq 0}$ ${\ displaystyle f (x) \ geq 0}$ (prin ipoteză) ambele $f(x)<0$ ${\ displaystyle f (x) <0}$ ${\ displaystyle f (x) <0}$ , dar acest lucru este absurd: $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu poate asuma valori distincte în același punct $X .$ ${\ displaystyle x.}$ ${\ displaystyle x.}$ Deci este $l\geq 0.$ ${\ displaystyle l \ geq 0.}$ ${\ displaystyle l \ geq 0.}$

b) Ca la a) mutatis mutandis.

Observația 3

Inversele teoremelor sunt obținute, atunci când este posibil, prin schimbul de ipoteze și teze. În inversul teoremei permanenței limbajului semnelor este abuzat deoarece nu există un schimb perfect între ipoteză și teză datorită prezenței semnului egal.

Nota 2

Evident, afirmația teoremei nu este exclusă $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ de sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este continuu în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Într-un astfel de caz, așa cum se știe, este $l=f(x_{0})$ ${\ displaystyle l = f (x_ {0})}$ ${\ displaystyle l = f (x_ {0})}$ .

Bibliografie

Paolo Maurizio Soardi, Analiză matematică , CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

Permanența teoremei semnului

Succesiuni

Afirmație

Demonstrație

Exemple

Funcții

Enunț pentru o funcție care nu este neapărat continuă în x 0 .

Demonstrație

Notă

Instrucțiune pentru o funcție continuă la x 0 .

Demonstrație

Observația 1

Observația 2

Nota 1

Inversul teoremei permanenței semnului.

Observația 3

Nota 2

Bibliografie

Enunț pentru o funcție care nu este neapărat continuă în x ₀ .

Instrucțiune pentru o funcție continuă la x ₀ .