Polinomul Bernoulli

În matematică , polinoamele Bernoulli se întâlnesc în studiul multor funcții speciale și în special funcția zeta Riemann și funcția zeta Hurwitz . Acest lucru se datorează în mare măsură faptului că acestea constituie secvența Sheffer în raport cu operatorul obișnuit de derivare . Contrar secvențelor polinoamelor ortogonale , secvența polinoamelor Bernoulli se caracterizează prin faptul că numărul de intersecții cu axa x în intervalul unitar nu crește la nesfârșit pe măsură ce crește gradul polinoamelor. Pe măsură ce gradul crește, polinoamele Bernoulli, supuse unei omotetici adecvate, aproximează funcțiile sinus și cosinus .

Generarea de funcții

Funcția generatoare a polinoamelor Bernoulli este

{\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}

{\ displaystyle {\ frac {te ^ {xt}} {e ^ {t} -1}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} B_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}}

{\ displaystyle {\ frac {te ^ {xt}} {e ^ {t} -1}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} B_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}}

.

Funcția generatoare a polinomilor lui Euler este în schimb

{\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.

{\ displaystyle {\ frac {2e ^ {xt}} {e ^ {t} +1}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} E_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}.}

{\ displaystyle {\ frac {2e ^ {xt}} {e ^ {t} +1}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} E_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}.}

Caracterizare prin intermediul unui operator diferențial

Polinoamele Bernoulli pot fi definite și ca:

B_{n}(x):={D \over e^{D}-1}x^{n},

{\ displaystyle B_ {n} (x): = {D \ over e ^ {D} -1} x ^ {n},}

{\ displaystyle B_ {n} (x): = {D \ over e ^ {D} -1} x ^ {n},}

unde este $D:={\frac {d}{dx}}$ ${\ displaystyle D: = {\ frac {d} {dx}}}$ ${\ displaystyle D: = {\ frac {d} {dx}}}$ denotă diferențierea față de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ iar fracția este dezvoltată ca o serie formală de puteri .

În mod similar, polinoamele lui Euler sunt date de:

E_{n}(x)={\frac {2}{e^{D}+1}}x^{n}.

{\ displaystyle E_ {n} (x) = {\ frac {2} {e ^ {D} +1}} x ^ {n}.}

{\ displaystyle E_ {n} (x) = {\ frac {2} {e ^ {D} +1}} x ^ {n}.}

Formula explicită

O formulă explicită pentru polinoamele Bernoulli este după cum urmează:

B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}.

{\ displaystyle B_ {m} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {m} {\ frac {1} {n + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1 ) ^ {k} {n \ alege k} (x + k) ^ {m}.}

{\ displaystyle B_ {m} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {m} {\ frac {1} {n + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1 ) ^ {k} {n \ alege k} (x + k) ^ {m}.}

Remarcabila similitudine cu expresia este observată prin intermediul seriei convergente la nivel global pentru funcția zeta Hurwitz . Într-adevăr, da

B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,x),

{\ displaystyle B_ {n} (x) = - n \ zeta (1-n, x),}

{\ displaystyle B_ {n} (x) = - n \ zeta (1-n, x),}

unde este $\zeta (s,q)$ ${\ displaystyle \ zeta (s, q)}$ ${\ displaystyle \ zeta (s, q)}$ denotă zeta lui Hurwitz; într-un sens, zeta Hurwitz extinde polinoamele Bernoulli la valorile neîntregi ale lui $n .$ ${\ displaystyle n.}$ ${\ displaystyle n.}$

O formulă explicită pentru polinomii Euler este dată de:

E_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}.

{\ displaystyle E_ {m} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {m} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} ( -1) ^ {k} {n \ alege k} (x + k) ^ {m}.}

{\ displaystyle E_ {m} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {m} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} ( -1) ^ {k} {n \ alege k} (x + k) ^ {m}.}

Numerele lui Bernoulli și numerele lui Euler

Numerele Bernoulli sunt date de $B_{n}=B_{n}(0).$ ${\ displaystyle B_ {n} = B_ {n} (0).}$ ${\ displaystyle B_ {n} = B_ {n} (0).}$

La rândul lor, numerele lui Euler sunt date de $E_{n}=2^{n}E_{n}(1/2).$ ${\ displaystyle E_ {n} = 2 ^ {n} E_ {n} (1/2).}$ ${\ displaystyle E_ {n} = 2 ^ {n} E_ {n} (1/2).}$

Expresii explicite pentru polinoame de grade minore

Primele componente ale secvenței polinoamelor Bernoulli sunt:

B_{0}(x)=1;

{\ displaystyle B_ {0} (x) = 1;}

{\ displaystyle B_ {0} (x) = 1;}

B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}};

{\ displaystyle B_ {1} (x) = x - {\ frac {1} {2}};}

{\ displaystyle B_ {1} (x) = x - {\ frac {1} {2}};}

B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}};

{\ displaystyle B_ {2} (x) = x ^ {2} -x + {\ frac {1} {6}};}

{\ displaystyle B_ {2} (x) = x ^ {2} -x + {\ frac {1} {6}};}

B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x;

{\ displaystyle B_ {3} (x) = x ^ {3} - {\ frac {3} {2}} x ^ {2} + {\ frac {1} {2}} x;}

{\ displaystyle B_ {3} (x) = x ^ {3} - {\ frac {3} {2}} x ^ {2} + {\ frac {1} {2}} x;}

B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}};

{\ displaystyle B_ {4} (x) = x ^ {4} -2x ^ {3} + x ^ {2} - {\ frac {1} {30}};}

{\ displaystyle B_ {4} (x) = x ^ {4} -2x ^ {3} + x ^ {2} - {\ frac {1} {30}};}

B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x;

{\ displaystyle B_ {5} (x) = x ^ {5} - {\ frac {5} {2}} x ^ {4} + {\ frac {5} {3}} x ^ {3} - { \ frac {1} {6}} x;}

{\ displaystyle B_ {5} (x) = x ^ {5} - {\ frac {5} {2}} x ^ {4} + {\ frac {5} {3}} x ^ {3} - { \ frac {1} {6}} x;}

B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.

{\ displaystyle B_ {6} (x) = x ^ {6} -3x ^ {5} + {\ frac {5} {2}} x ^ {4} - {\ frac {1} {2}} x ^ {2} + {\ frac {1} {42}}.}

{\ displaystyle B_ {6} (x) = x ^ {6} -3x ^ {5} + {\ frac {5} {2}} x ^ {4} - {\ frac {1} {2}} x ^ {2} + {\ frac {1} {42}}.}

Polinomii Euler cu cele mai mici grade sunt:

E_{0}(x)=1;

{\ displaystyle E_ {0} (x) = 1;}

{\ displaystyle E_ {0} (x) = 1;}

E_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}};

{\ displaystyle E_ {1} (x) = x - {\ frac {1} {2}};}

{\ displaystyle E_ {1} (x) = x - {\ frac {1} {2}};}

E_{2}(x)=x^{2}-x;

{\ displaystyle E_ {2} (x) = x ^ {2} -x;}

{\ displaystyle E_ {2} (x) = x ^ {2} -x;}

E_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{4}};

{\ displaystyle E_ {3} (x) = x ^ {3} - {\ frac {3} {2}} x ^ {2} + {\ frac {1} {4}};}

{\ displaystyle E_ {3} (x) = x ^ {3} - {\ frac {3} {2}} x ^ {2} + {\ frac {1} {4}};}

E_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x;

{\ displaystyle E_ {4} (x) = x ^ {4} -2x ^ {3} + x;}

{\ displaystyle E_ {4} (x) = x ^ {4} -2x ^ {3} + x;}

E_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}};

{\ displaystyle E_ {5} (x) = x ^ {5} - {\ frac {5} {2}} x ^ {4} + {\ frac {5} {2}} x ^ {2} - { \ frac {1} {2}};}

{\ displaystyle E_ {5} (x) = x ^ {5} - {\ frac {5} {2}} x ^ {4} + {\ frac {5} {2}} x ^ {2} - { \ frac {1} {2}};}

E_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x.

{\ displaystyle E_ {6} (x) = x ^ {6} -3x ^ {5} + 5x ^ {3} -3x.}

{\ displaystyle E_ {6} (x) = x ^ {6} -3x ^ {5} + 5x ^ {3} -3x.}

Diferențe

Polinomii Bernoulli și Euler se supun multor relații oferite de calculul umbral :

B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1};

{\ displaystyle B_ {n} (x + 1) -B_ {n} (x) = nx ^ {n-1};}

{\ displaystyle B_ {n} (x + 1) -B_ {n} (x) = nx ^ {n-1};}

E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}.

{\ displaystyle E_ {n} (x + 1) + E_ {n} (x) = 2x ^ {n}.}

{\ displaystyle E_ {n} (x + 1) + E_ {n} (x) = 2x ^ {n}.}

Derivate

Fiecare dintre cele două secvențe de polinoame este o secvență polinomială și mai precis o secvență Appel :

B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x);

{\ displaystyle B_ {n} '(x) = nB_ {n-1} (x);}

{\ displaystyle B_ {n} '(x) = nB_ {n-1} (x);}

E_{n}'(x)=nE_{n-1}(x).

{\ displaystyle E_ {n} '(x) = nE_ {n-1} (x).}

{\ displaystyle E_ {n} '(x) = nE_ {n-1} (x).}

Traduceri

B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k};

{\ displaystyle B_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} B_ {k} (x) y ^ {nk};}

{\ displaystyle B_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} B_ {k} (x) y ^ {n-k};}

E_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}.

{\ displaystyle E_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} E_ {k} (x) y ^ {nk}.}

{\ displaystyle E_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} E_ {k} (x) y ^ {n-k}.}

Aceste identități sunt echivalente cu afirmarea că fiecare dintre aceste secvențe polinomiale este o secvență Appel . Un alt exemplu al acestor secvențe este oferit de polinoamele Hermite .

Simetriile

B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x);

{\ displaystyle B_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} B_ {n} (x);}

{\ displaystyle B_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} B_ {n} (x);}

E_{n}(1-x)=(-1)^{n}E_{n}(x);

{\ displaystyle E_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} E_ {n} (x);}

{\ displaystyle E_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} E_ {n} (x);}

(-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1};

{\ displaystyle (-1) ^ {n} B_ {n} (- x) = B_ {n} (x) + nx ^ {n-1};}

{\ displaystyle (-1) ^ {n} B_ {n} (- x) = B_ {n} (x) + nx ^ {n-1};}

(-1)^{n}E_{n}(-x)=-E_{n}(x)+2x^{n}.

{\ displaystyle (-1) ^ {n} E_ {n} (- x) = - E_ {n} (x) + 2x ^ {n}.}

{\ displaystyle (-1) ^ {n} E_ {n} (- x) = - E_ {n} (x) + 2x ^ {n}.}

Seria Fourier

Seria Fourier a polinoamelor Bernoulli este, de asemenea, o serie Dirichlet și un caz special al funcției zeta Hurwitz

B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}.

{\ displaystyle B_ {n} (x) = - \ Gamma (n + 1) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ exp (2 \ pi ikx) + \ exp (2 \ pi ik (1-x))} {(2 \ pi ik) ^ {n}}}.}

{\ displaystyle B_ {n} (x) = - \ Gamma (n + 1) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ exp (2 \ pi ikx) + \ exp (2 \ pi ik (1-x))} {(2 \ pi ik) ^ {n}}}.}

Inversia

Poate fi util să exprimăm puterile variabilei ca combinații liniare ale polinoamelor Bernoulli. Mai exact unul are

x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x).

{\ displaystyle x ^ {n} = {\ frac {1} {n + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n + 1 \ alege k} B_ {k} (x).}

{\ displaystyle x ^ {n} = {\ frac {1} {n + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n + 1 \ alege k} B_ {k} (x).}

Aceste egalități și expresiile explicite ale polinoamelor Bernoulli trebuie văzute ca identități de legătură între cele două baze ale spațiului vectorial al polinoamelor furnizate de puterile variabilei și polinoamele Bernoulli.

Legătură cu factorialele descrescătoare

O altă pereche de secvențe de identitate de conectare între bazele spațiului vectorial al polinoamelor se referă la polinoamele Bernoulli și factorialele descrescătoare . Polinoamele Bernoulli sunt exprimate ca combinații liniare de factoriale descrescătoare $(x)_{k}$ ${\ displaystyle (x) _ {k}}$ ${\ displaystyle (x) _ {k}}$ dă-i