Funcția transcendentă a lui Lerch

În matematică , funcția transcendentă Lerch este o generalizare a funcției zeta Hurwitz și a funcției polilogaritmului . A fost studiat de Lipschitz în 1857 și apoi de Lerch în 1887 .

Este definit cu seria :

$\Phi (z,s,a)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\dfrac {z^{n}}{(a+n)^{s}}},$ ${\ displaystyle \ Phi (z, s, a) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ dfrac {z ^ {n}} {(a + n) ^ {s}}}, }$ ${\ displaystyle \ Phi (z, s, a) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ dfrac {z ^ {n}} {(a + n) ^ {s}}}, }$

cu $z,s\in \mathbb {C} ,a\notin \mathbb {Z} _{\leq 0}$ ${\ displaystyle z, s \ in \ mathbb {C}, a \ notin \ mathbb {Z} _ {\ leq 0}}$ ${\ displaystyle z, s \ in \ mathbb {C}, a \ notin \ mathbb {Z} _ {\ leq 0}}$ . Seria converge pentru $|z|<1$ ${\ displaystyle | z | <1}$ $| z | <1$ . Pentru $|z|=1$ ${\ displaystyle | z | = 1}$ ${\ displaystyle | z | = 1}$ , seria este convergentă doar pentru $\mathrm {Re} \ s>1$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} \ s> 1}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} \ s> 1}$ .

Evident:

$\Phi (1,s,a)=\zeta (s,a)$ ${\ displaystyle \ Phi (1, s, a) = \ zeta (s, a)}$ ${\ displaystyle \ Phi (1, s, a) = \ zeta (s, a)}$ , funcția Hurwitz zeta .

Pentru $a=1$ ${\ displaystyle a = 1}$ $a = 1$ , da $z\Phi (z,s,1)=\operatorname {Li_{s}} (z)$ ${\ displaystyle z \ Phi (z, s, 1) = \ operatorname {Li_ {s}} (z)}$ ${\ displaystyle z \ Phi (z, s, 1) = \ operatorname {Li_ {s}} (z)}$ , funcția polilogaritmului .

Se poate arăta că:

$\Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}dt$ ${\ displaystyle \ Phi (z, s, a) = {\ frac {1} {\ Gamma (s)}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {t ^ {s-1} e ^ {- at}} {1-ze ^ {- t}}} dt}$ ${\ displaystyle \ Phi (z, s, a) = {\ frac {1} {\ Gamma (s)}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {t ^ {s-1} e ^ {- at}} {1-ze ^ {- t}}} dt}$

în curs de dezvoltare ${\dfrac {1}{1-ze^{-t}}}=1+ze^{-t}+z^{2}e^{-2t}+\ldots$ ${\ displaystyle {\ dfrac {1} {1-ze ^ {- t}}} = 1 + ze ^ {- t} + z ^ {2} e ^ {- 2t} + \ ldots}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {1} {1-ze ^ {- t}}} = 1 + ze ^ {- t} + z ^ {2} e ^ {- 2t} + \ ldots}$ .

Funcția Lerch zeta este definită ca

L(x)=\Phi (e^{i2\pi x},a,s)

{\ displaystyle L (x) = \ Phi (e ^ {i2 \ pi x}, a, s)}

{\ displaystyle L (x) = \ Phi (e ^ {i2 \ pi x}, a, s)}

.

Bibliografie

( FR ) M. Lerch Note despre funcție ${R}(w,x,s)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {e^{2k\pi ix}}{(w+k)^{s}}}$ ${\ displaystyle {R} (w, x, s) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {2k \ pi ix}} {(w + k) ^ {s} }}}$ ${\ displaystyle {R} (w, x, s) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {2k \ pi ix}} {(w + k) ^ {s} }}}$ , Acta Mathematica 11 , 19 (1887).
( DE ) R. Lipschitz Untersuchung einer aus vier Elementen gebildeten Reihe. Journal für die reine und angewandte Mathematik 54 313 (1857).
( DE ) R. Lipschitz Untersuchung der Eigenschaften einer Gattung von unendlichen Reihen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 105 127 (1889).
( EN ) T. Apostol Despre funcția Lerch zeta. Pacific J. Math. 1 , 161 (1951).
Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; și Tricomi, FG "Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 27-31, 1981.

linkuri externe

Funcția Wolfram site-ul funcția Lerch
Funcția MathWorld Lerch
Marco Dalai Relații de recurență pentru funcția și aplicațiile Lerch Phi

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică