Polinomul lui Čebyšëv

În matematică , polinoamele Čebyšëv , în mod normal în italiană numite polinomii Chebyshev conform transliterării anglo-saxone ^[1] sunt componentele unei secvențe polinomiale care începe cu următoarele polinoame:

T_{0}(x)=1

{\ displaystyle T_ {0} (x) = 1}

T_0 (x) = 1

T_{1}(x)=x

{\ displaystyle T_ {1} (x) = x}

T_1 (x) = x

T_{2}(x)=2x^{2}-1

{\ displaystyle T_ {2} (x) = 2x ^ {2} -1}

T_2 (x) = 2x ^ 2 - 1

T_{3}(x)=4x^{3}-3x

{\ displaystyle T_ {3} (x) = 4x ^ {3} -3x}

T_3 (x) = 4x ^ 3 - 3x

T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1

{\ displaystyle T_ {4} (x) = 8x ^ {4} -8x ^ {2} +1}

T_4 (x) = 8x ^ 4 - 8x ^ 2 + 1

T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x

{\ displaystyle T_ {5} (x) = 16x ^ {5} -20x ^ {3} + 5x}

T_5 (x) = 16x ^ 5 - 20x ^ 3 + 5x

T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1

{\ displaystyle T_ {6} (x) = 32x ^ {6} -48x ^ {4} + 18x ^ {2} -1}

T_6 (x) = 32x ^ 6 - 48x ^ 4 + 18x ^ 2 - 1

T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x

{\ displaystyle T_ {7} (x) = 64x ^ {7} -112x ^ {5} + 56x ^ {3} -7x}

T_7 (x) = 64x ^ 7 - 112x ^ 5 + 56x ^ 3 - 7x

T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1

{\ displaystyle T_ {8} (x) = 128x ^ {8} -256x ^ {6} + 160x ^ {4} -32x ^ {2} +1}

T_8 (x) = 128x ^ 8 - 256x ^ 6 + 160x ^ 4 - 32x ^ 2 + 1

T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x

{\ displaystyle T_ {9} (x) = 256x ^ {9} -576x ^ {7} + 432x ^ {5} -120x ^ {3} + 9x}

T_9 (x) = 256x ^ 9 - 576x ^ 7 + 432x ^ 5 - 120x ^ 3 + 9x

Își iau numele de la matematicianul rus Pafnutij L'vovič Čebyšëv , care le-a studiat ca soluții polinomiale ale următoarei ecuații diferențiale , numite și Čebyšëv:

(1-x^{2})y''-xy'+n^{2}y=0.

{\ displaystyle (1-x ^ {2}) y '' - xy '+ n ^ {2} y = 0.}

(1-x ^ 2) y '' - xy '+ n ^ 2 y = 0.

Polinoamele pe care le examinăm se mai numesc polinoame Čebyšëv de primul fel , pentru a le distinge de polinoamele unei alte secvențe polinomiale numite polinoame Čebyšëv de al doilea fel .

Evident, polinoamele Čebyšëv au o paritate definită: polinoamele de grad egal sunt funcții ale variabilei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , cele de grad impar sunt funcții ciudate ; acest lucru este în acord cu invarianța ecuației diferențiale în ceea ce privește transformarea pe care o schimbă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cu $-x$ ${\ displaystyle -x}$ $-X$ .

O posibilă definiție a acestor polinoame este următoarea:

T_{n}(\cos(\theta )):=\cos(n\theta )\quad {\mbox{per}}\quad n=0,1,2,3,\ldots

{\ displaystyle T_ {n} (\ cos (\ theta)): = \ cos (n \ theta) \ quad {\ mbox {per}} \ quad n = 0,1,2,3, \ ldots}

T_n (\ cos (\ theta)): = \ cos (n \ theta) \ quad \ mbox {per} \ quad n = 0, 1, 2, 3, \ ldots

sau în formă explicită

T_{n}(x):=\sum _{h=0}^{[n/2]}(-1)^{h}{n \choose 2h}x^{n-2h}(1-x^{2})^{h}

{\ displaystyle T_ {n} (x): = \ sum _ {h = 0} ^ {[n / 2]} (- 1) ^ {h} {n \ alege 2h} x ^ {n-2h} ( 1-x ^ {2}) ^ {h}}

T_n (x): = \ sum_ {h = 0} ^ {[n / 2]} (-1) ^ h {n \ alege 2h} x ^ {n-2h} (1-x ^ 2) ^ h

unde cu $[n/2]$ ${\ displaystyle [n / 2]}$ $[n / 2]$ înseamnă partea întreagă a $n/2$ ${\ displaystyle n / 2}$ $n / 2$ .

Acea $\cos(nx)$ ${\ displaystyle \ cos (nx)}$ $\ cos (nx)$ este un polinom de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ în $\cos(x)$ ${\ displaystyle \ cos (x)}$ $\ cos (x)$ poate fi văzut observând că $\cos(nx)$ ${\ displaystyle \ cos (nx)}$ $\ cos (nx)$ este partea reală a unui membru al formulei lui De Moivre , iar partea reală a celuilalt membru este un polinom în $\cos(x)$ ${\ displaystyle \ cos (x)}$ $\ cos (x)$ Și $\sin(x)$ ${\ displaystyle \ sin (x)}$ $\ sin (x)$ , unde toate puterile $\sin(x)$ ${\ displaystyle \ sin (x)}$ $\ sin (x)$ sunt egali și înlocuibili prin identitate $\sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x)$ ${\ displaystyle \ sin ^ {2} (x) = 1- \ cos ^ {2} (x)}$ $\ sin ^ 2 (x) = 1 - \ cos ^ 2 (x)$ .

Polinomul $T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ $T_ {n}$ are exact $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rădăcini simple aparținând gamei $[-1,1]$ ${\ displaystyle [-1,1]}$ $[-1, 1]$ numite nodurile lui Čebyšëv .

Alternativ, polinoamele Čebyšëv pot fi definite prin relația de recurență :

T_{0}(x):=1

{\ displaystyle T_ {0} (x): = 1}

T_0 (x): = 1

T_{1}(x):=x

{\ displaystyle T_ {1} (x): = x}

T_1 (x): = x

T_{n+1}(x):=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).

{\ displaystyle T_ {n + 1} (x): = 2xT_ {n} (x) -T_ {n-1} (x).}

T_ {n + 1} (x): = 2xT_n (x) - T_ {n-1} (x).

Ele constituie o succesiune de polinoame ortogonale în raport cu funcția de greutate ${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$ $\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}}$ , pe interval $[-1,1]$ ${\ displaystyle [-1,1]}$ $[-1,1]$ , adică avem

\int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=0\quad {\text{se }}n\neq m.

{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} T_ {n} (x) T_ {m} (x) \, {\ frac {dx} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} = 0 \ quad {\ text {se}} n \ neq m.}

\ int _ {- 1} ^ 1 T_n (x) T_m (x) \, \ frac {dx} {\ sqrt {1-x ^ 2}} = 0 \ quad \ text {se} n \ neq m.

Acest lucru se întâmplă deoarece (prin plasarea $x=\cos \theta$ ${\ displaystyle x = \ cos \ theta}$ $x = \ cos \ theta$ )

\int _{0}^{\pi }\cos(n\theta )\cos(m\theta )\,d\theta =0\quad {\text{se }}n\neq m.

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (n \ theta) \ cos (m \ theta) \, d \ theta = 0 \ quad {\ text {se}} n \ neq m.}

\ int_0 ^ \ pi \ cos (n \ theta) \ cos (m \ theta) \, d \ theta = 0 \ quad \ text {se} n \ neq m.

În ceea ce privește celelalte secvențe de polinoame ortogonale, de asemenea, polinoamele Čebyšëv pot fi definite pornind de la generarea funcțiilor . Un exemplu al unei astfel de funcții generatoare este

\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T_ {n} (x) t ^ {n} = {\ frac {1-tx} {1-2tx + t ^ {2}}}. }

\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} T_n (x) t ^ n = \ frac {1-tx} {1-2tx + t ^ 2}.

Polinoamele Čebyšëv sunt utilizate pe scară largă în zona aproximării numerice .

Notă

^ Chebyshev Pafnutij L'vovic , în Dicționar de științe fizice , Institutul enciclopediei italiene, 1996.

Bibliografie

( EN ) Theodore J. Rivlin (1990): Chebyshev Polynomials. De la teoria aproximării la algebră și teoria numerelor , ediția a II-a, J.Wiley, ISBN 0-471-62896-4

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre polinomul lui Čebyšëv

linkuri externe

( EN ) Thermopedia, „polinoame Chebyshev”

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85022808 · GND (DE) 4147437-5 · BNF (FR) cb12390415z (dată) · BNE (ES) XX5250030 (dată) · NDL (EN, JA) 00.561.176

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Chebyshev Pafnutij L'vovic , în Dicționar de științe fizice , Institutul enciclopediei italiene, 1996.

[1]