Polinoame Jacobi

În matematică , polinoamele Jacobi constituie o secvență polinomială cu doi parametri și mai precis ele constituie o succesiune de polinoame ortogonale cu doi parametri. Numele lor amintește de matematicianul german Carl Jacobi (1804-1851).

Definiții

Ele pot fi definite în multe moduri echivalente.

Prin intermediul unei serii hipergeometrice care, de fapt, se reduce la polinom:

P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z):={\frac {(\alpha +1)^{\underline {n}}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,n+\lambda ,\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),

{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z): = {\ frac {(\ alpha +1) ^ {\ underline {n}}} {n!}} \, _ { 2} F_ {1} \ left (-n, n + \ lambda, \ alpha +1; {\ frac {1-z} {2}} \ right),}

{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z): = {\ frac {(\ alpha +1) ^ {\ underline {n}}} {n!}} \, _ { 2} F_ {1} \ left (-n, n + \ lambda, \ alpha +1; {\ frac {1-z} {2}} \ right),}

unde este ${\underline {n}}$ ${\ displaystyle {\ underline {n}}}$ ${\ displaystyle {\ underline {n}}}$ denotă factorialul în creștere și unde $\lambda :=\alpha +\beta +1$ ${\ displaystyle \ lambda: = \ alpha + \ beta +1}$ ${\ displaystyle \ lambda: = \ alpha + \ beta +1}$ .

Folosind varianta celei anterioare:

P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z):={\frac {(-1)^{n}(\beta +1)^{\underline {n}}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,n+\lambda ,\alpha +1;{\frac {1+z}{2}}\right).

{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z): = {\ frac {(-1) ^ {n} (\ beta +1) ^ {\ underline {n}}} { n!}} \, _ {2} F_ {1} \ left (-n, n + \ lambda, \ alpha +1; {\ frac {1 + z} {2}} \ right).}

{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z): = {\ frac {(-1) ^ {n} (\ beta +1) ^ {\ underline {n}}} { n!}} \, _ {2} F_ {1} \ left (-n, n + \ lambda, \ alpha +1; {\ frac {1 + z} {2}} \ right).}

Folosind o formulă Rodriguez :

P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z):={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}\,(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left[(1-z)^{\alpha +n}(1+z)^{\beta +n}\right].

{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z): = {\ frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {n} n!}} \, (1- z) ^ {- \ alpha} (1 + z) ^ {- \ beta} {\ frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} \ left [(1-z) ^ {\ alpha + n} (1 + z) ^ {\ beta + n} \ right].}

{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z): = {\ frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {n} n!}} \, (1- z) ^ {- \ alpha} (1 + z) ^ {- \ beta} {\ frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} \ left [(1-z) ^ {\ alpha + n} (1 + z) ^ {\ beta + n} \ right].}

Prin expresia polinomială explicită

P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z):={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{n+\alpha  \choose k}{n+\beta  \choose n-k}(z-1)^{n-k}(z+1)^{k}.

{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z): = {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n + \ alpha \ choose k} {n + \ beta \ choose nk} (z-1) ^ {nk} (z + 1) ^ {k}.}

{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z): = {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n + \ alpha \ choose k} {n + \ beta \ choose nk} (z-1) ^ {nk} (z + 1) ^ {k}.}

Ca soluții polinomiale ale ecuației diferențiale Jacobi .

Pentru $\alpha ,\beta >-1$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta> -1}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta> -1}$ ele pot fi definite ca componentele succesiunii polinoamelor ortogonale din interval $[-1,1]$ ${\ displaystyle [-1,1]}$ $[-1,1]$ în ceea ce privește funcția de greutate $(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }$ ${\ displaystyle (1-x) ^ {\ alpha} (1 + x) ^ {\ beta}}$ ${\ displaystyle (1-x) ^ {\ alpha} (1 + x) ^ {\ beta}}$ . Relația de ortogonalitate corespunzătoare este

\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{\alpha ,\beta }(x)P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)dx={\begin{cases}0,&{\text{se }}m\neq n,\\{\frac {2^{\lambda }\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{(2n+\lambda )n!\,\Gamma (n+\lambda )}},&{\text{se }}m=n\neq 0,\\{\frac {2^{\lambda }\Gamma (\alpha +1)\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\lambda +1)}},&{\text{se }}m=n=0.\end{cases}}

{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} (1-x) ^ {\ alpha} (1 + x) ^ {\ beta} P_ {m} ^ {\ alpha, \ beta} (x) P_ {n} ^ {\ alpha, \ beta} (x) dx = {\ begin {cases} 0 și {\ text {se}} m \ neq n, \\ {\ frac {2 ^ {\ lambda} \ Gamma (n + \ alpha +1) \ Gamma (n + \ beta +1)} {(2n + \ lambda) n! \, \ Gamma (n + \ lambda)}} și {\ text {se}} m = n \ neq 0, \\ {\ frac {2 ^ {\ lambda} \ Gamma (\ alpha +1) \ Gamma (\ beta +1)} {\ Gamma (\ lambda +1)}}, și { \ text {if}} m = n = 0. \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} (1-x) ^ {\ alpha} (1 + x) ^ {\ beta} P_ {m} ^ {\ alpha, \ beta} (x) P_ {n} ^ {\ alpha, \ beta} (x) dx = {\ begin {cases} 0 și {\ text {se}} m \ neq n, \\ {\ frac {2 ^ {\ lambda} \ Gamma (n + \ alpha +1) \ Gamma (n + \ beta +1)} {(2n + \ lambda) n! \, \ Gamma (n + \ lambda)}} și {\ text {se}} m = n \ neq 0, \\ {\ frac {2 ^ {\ lambda} \ Gamma (\ alpha +1) \ Gamma (\ beta +1)} {\ Gamma (\ lambda +1)}}, și { \ text {if}} m = n = 0. \ end {cases}}}

Polinoame Jacobi schimbate

Acestea sunt variante destul de modeste, dar utilizate pe scară largă ale celor precedente; sunt definite ca

R_{n}^{\alpha ,\beta }(z):=P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(2z-1).

{\ displaystyle R_ {n} ^ {\ alpha, \ beta} (z): = P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (2z-1).}

{\ displaystyle R_ {n} ^ {\ alpha, \ beta} (z): = P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (2z-1).}

Bineînțeles că și acestea constituie o succesiune de polinoame ortogonale, iar relația de ortogonalitate este:

\int _{0}^{1}dx(1-x)^{\alpha }x^{\beta }R_{m}^{\alpha ,\beta }(x)R_{n}^{\alpha ,\beta }(x)={\begin{cases}0,&{\text{se }}m\neq n,\\{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{(2n+\lambda )n!\,\Gamma (n+\lambda )}},&{\text{se }}m=n\neq 0,\\{\frac {\Gamma (\alpha +1)\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\lambda +1)}},&{\text{se }}m=n=0.\end{cases}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} dx (1-x) ^ {\ alpha} x ^ {\ beta} R_ {m} ^ {\ alpha, \ beta} (x) R_ {n} ^ {\ alpha, \ beta} (x) = {\ begin {cases} 0 și {\ text {se}} m \ neq n, \\ {\ frac {\ Gamma (n + \ alpha +1) \ Gamma (n + \ beta +1)} {(2n + \ lambda) n! \, \ Gamma (n + \ lambda)}} și {\ text {se}} m = n \ neq 0, \\ {\ frac {\ Gamma (\ alpha +1) \ Gamma (\ beta +1)} {\ Gamma (\ lambda +1)}} și {\ text {se}} m = n = 0. \ end {cases} }}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} dx (1-x) ^ {\ alpha} x ^ {\ beta} R_ {m} ^ {\ alpha, \ beta} (x) R_ {n} ^ {\ alpha, \ beta} (x) = {\ begin {cases} 0 și {\ text {se}} m \ neq n, \\ {\ frac {\ Gamma (n + \ alpha +1) \ Gamma (n + \ beta +1)} {(2n + \ lambda) n! \, \ Gamma (n + \ lambda)}} și {\ text {se}} m = n \ neq 0, \\ {\ frac {\ Gamma (\ alpha +1) \ Gamma (\ beta +1)} {\ Gamma (\ lambda +1)}} și {\ text {se}} m = n = 0. \ end {cases} }}

Legături cu alte polinoame speciale

Pentru $\alpha =\beta =0$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta = 0}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta = 0}$ sunt reduse la polinoamele Legendre .

Pentru $\alpha =\beta$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta}$ sunt reduse la polinoamele Gegenbauer :

C_{n}^{(\alpha +1/2)}(z)={\frac {(2\alpha +1)^{\underline {n}}}{\,}}{(\alpha +1){\underline {n}}}\,P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z).

{\ displaystyle C_ {n} ^ {(\ alpha +1/2)} (z) = {\ frac {(2 \ alpha +1) ^ {\ underline {n}}} {\,}} {(\ alpha +1) {\ underline {n}}} \, P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z).}

{\ displaystyle C_ {n} ^ {(\ alpha +1/2)} (z) = {\ frac {(2 \ alpha +1) ^ {\ underline {n}}} {\,}} {(\ alpha +1) {\ underline {n}}} \, P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z).}

Pentru $\alpha =\beta =-1/2$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta = -1 / 2}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta = -1 / 2}$ sunt reduse la polinoamele Chebyshev de primul fel:

T_{n}(z)={\frac {n!}{(1/2)^{\underline {n}}}}P_{n}^{(-1/2,-1/2)}(z).

{\ displaystyle T_ {n} (z) = {\ frac {n!} {(1/2) ^ {\ underline {n}}}} P_ {n} ^ {(- 1/2, -1 / 2 )} (z).}

{\ displaystyle T_ {n} (z) = {\ frac {n!} {(1/2) ^ {\ underline {n}}}} P_ {n} ^ {(- 1/2, -1 / 2 )} (z).}

Expresii explicite

Primele polinoame ale secvenței graduale sunt:

P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(z)=1,

{\ displaystyle P_ {0} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z) = 1,}

{\ displaystyle P_ {0} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z) = 1,}

P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {1}{2}}\left[2(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2)(z-1)\right],

{\ displaystyle P_ {1} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z) = {\ frac {1} {2}} \ left [2 (\ alpha +1) + (\ alpha + \ beta +2 ) (z-1) \ dreapta],}

{\ displaystyle P_ {1} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z) = {\ frac {1} {2}} \ left [2 (\ alpha +1) + (\ alpha + \ beta +2 ) (z-1) \ dreapta],}

P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {1}{8}}\left[4(\alpha +1)(\alpha +2)+4(\alpha +\beta +3)(\alpha +2)(z-1)+(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)(z-1)^{2}\right].

{\ displaystyle P_ {2} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z) = {\ frac {1} {8}} \ left [4 (\ alpha +1) (\ alpha +2) +4 ( \ alpha + \ beta +3) (\ alpha +2) (z-1) + (\ alpha + \ beta +3) (\ alpha + \ beta +4) (z-1) ^ {2} \ right] .}

{\ displaystyle P_ {2} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z) = {\ frac {1} {8}} \ left [4 (\ alpha +1) (\ alpha +2) +4 ( \ alpha + \ beta +3) (\ alpha +2) (z-1) + (\ alpha + \ beta +3) (\ alpha + \ beta +4) (z-1) ^ {2} \ right] .}

Bibliografie

Milton Abramowitz, Irene A. Stegun eds. (1972): Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice, Dover, ISBN 0486612724 . Vezi și capitolul 22

linkuri externe

Jacobi Polynomials in MathWorld

Controlul autorității	Tesauro BNCF 48423 · LCCN (EN) sh85069211 · GND (DE) 4162647-3 · BNF (FR) cb12365148p (dată)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică