Secvența Sturm

Se definește secvența Sturm pe un interval $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ , unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și / sau $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ pot fi infinite, o succesiune de polinoame

$f_{1}(x),f_{2}(x)...f_{n}(x)$ ${\ displaystyle f_ {1} (x), f_ {2} (x) ... f_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {1} (x), f_ {2} (x) ... f_ {n} (x)}$

astfel încât

$f_{n}(x)$ ${\ displaystyle f_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {n} (x)}$ nu anulați niciodată $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$
Pentru fiecare zero din $f_{k}(x)$ ${\ displaystyle f_ {k} (x)}$ $f_ {k} (x)$ cu $k=2,3...n-1$ ${\ displaystyle k = 2,3 ... n-1}$ ${\ displaystyle k = 2,3 ... n-1}$ da ai $f_{k-1}(x)f_{k+1}(x)<0$ ${\ displaystyle f_ {k-1} (x) f_ {k + 1} (x) <0}$ ${\ displaystyle f_ {k-1} (x) f_ {k + 1} (x) <0}$

Teorema

Pentru $a<x<b$ ${\ displaystyle a <x <b}$ ${\ displaystyle a <x <b}$ definim funcția $V(x)$ ${\ displaystyle V (x)}$ $V (x)$ ca de câte ori se termină secvența $f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x)$ ${\ displaystyle f_ {1} (x), f_ {2} (x), ..., f_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {1} (x), f_ {2} (x), ..., f_ {n} (x)}$ își schimbă semnul, ignorând zerourile. De sine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ s-a terminat apoi să definim $V(a)$ ${\ displaystyle V (a)}$ ${\ displaystyle V (a)}$ ca $V(a+\varepsilon )$ ${\ displaystyle V (a + \ varepsilon)}$ ${\ displaystyle V (a + \ varepsilon)}$ unde este $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ este astfel încât $f_{i}(x)\neq 0$ ${\ displaystyle f_ {i} (x) \ neq 0}$ ${\ displaystyle f_ {i} (x) \ neq 0}$ pentru $i=1,2...n$ ${\ displaystyle i = 1,2 ... n}$ ${\ displaystyle i = 1,2 ... n}$ și pentru fiecare $x\in (a,a+\varepsilon )$ ${\ displaystyle x \ in (a, a + \ varepsilon)}$ ${\ displaystyle x \ in (a, a + \ varepsilon)}$ și definim în mod analog $V(b)$ ${\ displaystyle V (b)}$ ${\ displaystyle V (b)}$ . De sine $a=-\infty$ ${\ displaystyle a = - \ infty}$ ${\ displaystyle a = - \ infty}$ apoi definim $V(a)$ ${\ displaystyle V (a)}$ ${\ displaystyle V (a)}$ ca de câte ori se termină secvența $\left\{\lim _{x\rightarrow -\infty }f_{i}(x)\right\}$ ${\ displaystyle \ left \ {\ lim _ {x \ rightarrow - \ infty} f_ {i} (x) \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {\ lim _ {x \ rightarrow - \ infty} f_ {i} (x) \ right \}}$ schimbă semnul și, în mod similar, îl definim $V(b)$ ${\ displaystyle V (b)}$ ${\ displaystyle V (b)}$ .

Este posibil să se exprime teorema:

Este $\left\{f_{i}(x)\right\}_{i=1,2...n}$ ${\ displaystyle \ left \ {f_ {i} (x) \ right \} _ {i = 1,2 ... n}}$ ${\ displaystyle \ left \ {f_ {i} (x) \ right \} _ {i = 1,2 ... n}}$ o secvență Sturm pe interval $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ atunci dacă niciuna $f_{1}(a)$ ${\ displaystyle f_ {1} (a)}$ ${\ displaystyle f_ {1} (a)}$ și nici unul $f_{1}(b)$ ${\ displaystyle f_ {1} (b)}$ ${\ displaystyle f_ {1} (b)}$ este egal cu zero,

$I_{a}^{b}{\frac {f_{2}(x)}{f_{1}(x)}}=V(a)-V(b)$ ${\ displaystyle I_ {a} ^ {b} {\ frac {f_ {2} (x)} {f_ {1} (x)}} = V (a) -V (b)}$ ${\ displaystyle I_ {a} ^ {b} {\ frac {f_ {2} (x)} {f_ {1} (x)}} = V (a) -V (b)}$

unde a fost utilizat indicele Cauchy .

Demonstrație

Sa luam in considerare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ mutați pe axa realelor, valoarea lui $V(x)$ ${\ displaystyle V (x)}$ $V (x)$ nu se schimbă când $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ traversează un zero de $f_{k}(x)$ ${\ displaystyle f_ {k} (x)}$ $f_ {k} (x)$ cu $k=2,3...n$ ${\ displaystyle k = 2,3 ... n}$ ${\ displaystyle k = 2,3 ... n}$ datorită celei de-a doua proprietăți a secvențelor Sturm, atunci $V(x)$ ${\ displaystyle V (x)}$ $V (x)$ se schimbă doar când $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ traversează un zero de $f_{1}(x)$ ${\ displaystyle f_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {1} (x)}$ . De sine $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este un zero de $f_{1}(x)$ ${\ displaystyle f_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {1} (x)}$ atunci nu este un zero de $f_{2}(x)$ ${\ displaystyle f_ {2} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {2} (x)}$ întotdeauna din cauza celei de-a doua proprietăți, așa că $f_{2}(x)$ ${\ displaystyle f_ {2} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {2} (x)}$ are același semn atât la dreapta $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ decât spre stânga.

De sine $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ are chiar multiplicitate atunci $f_{1}(x)$ ${\ displaystyle f_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {1} (x)}$ nu schimbă semnul când $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ trece prin $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ si in consecinta $V(x)$ ${\ displaystyle V (x)}$ $V (x)$ nu se schimbă, totuși dacă $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ are o ciudată multiplicitate atunci $V(x)$ ${\ displaystyle V (x)}$ $V (x)$ crește cu 1 dacă $f_{1}(x)$ ${\ displaystyle f_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {1} (x)}$ Și $f_{2}(x)$ ${\ displaystyle f_ {2} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {2} (x)}$ au același semn în stânga $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , invers $V(x)$ ${\ displaystyle V (x)}$ $V (x)$ scade cu 1 sec $f_{1}(x)$ ${\ displaystyle f_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {1} (x)}$ Și $f_{2}(x)$ ${\ displaystyle f_ {2} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {2} (x)}$ au semn opus în stânga $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . În mod corespunzător, pentru zerourile cu multiplicitate impar, indicele Cauchy primește o contribuție de -1 dacă $f_{1}(x)$ ${\ displaystyle f_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {1} (x)}$ Și $f_{2}(x)$ ${\ displaystyle f_ {2} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {2} (x)}$ au același semn în stânga $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ sau o contribuție +1 dacă $f_{1}(x)$ ${\ displaystyle f_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {1} (x)}$ Și $f_{2}(x)$ ${\ displaystyle f_ {2} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {2} (x)}$ au semn opus în stânga $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică