Polinoame Fibonacci

În matematică , polinoamele Fibonacci sunt o generalizare a numerelor Fibonacci . Aceste polinoame sunt definite recursiv ca:

F_{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{se }}n=1\\x,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{se }}n=2\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{se }}n\geq 3\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle F_ {n} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1, \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad & {\ mbox {se}} n = 1 \\ x, \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad & {\ mbox {se}} n = 2 \\ xF_ {n-1} (x) + F_ {n-2} (x) și {\ mbox {se}} n \ geq 3 \ end {matrix}} \ right.}

F_ {n} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1, \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad & {\ mbox {se}} n = 1 \\ x, \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad & {\ mbox {se}} n = 2 \\ xF _ {{n-1}} (x) + F _ {{n-2}} (x) și {\ mbox {se}} n \ geq 3 \ end {matrix}} \ right.

Primele polinoame Fibonacci sunt:

F_{1}(x)=1

{\ displaystyle F_ {1} (x) = 1}

F_ {1} (x) = 1

F_{2}(x)=x

{\ displaystyle F_ {2} (x) = x}

F_ {2} (x) = x

F_{3}(x)=x^{2}+1

{\ displaystyle F_ {3} (x) = x ^ {2} +1}

F_ {3} (x) = x ^ {2} +1

F_{4}(x)=x^{3}+2x

{\ displaystyle F_ {4} (x) = x ^ {3} + 2x}

F_ {4} (x) = x ^ {3} + 2x

F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1

{\ displaystyle F_ {5} (x) = x ^ {4} + 3x ^ {2} +1}

F_ {5} (x) = x ^ {4} + 3x ^ {2} +1

F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x

{\ displaystyle F_ {6} (x) = x ^ {5} + 4x ^ {3} + 3x}

F_ {6} (x) = x ^ {5} + 4x ^ {3} + 3x

Alte expresii

Formula explicită pentru al doilea polinom Fibonacci este:

\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n-1}{2}}\right]}{\binom {n-k-1}{k}}x^{n-2k-1}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ left [{\ frac {n-1} {2}} \ right]} {\ binom {nk-1} {k}} x ^ {n-2k -1}}

\ sum _ {{k = 0}} ^ {{\ left [{\ frac {n-1} {2}} \ right]}} {\ binom {nk-1} {k}} x ^ {{n -2k-1}}

,

unde parantezele pătrate reprezintă funcția părții întregi .

Calculul polinoamelor Fibonacci pornind de la triunghiul lui Tartaglia

Coeficienții polinomului n-lea pot fi obținuți și din triunghiul lui Tartaglia folosind următorul algoritm :

numerele triunghiului sunt aranjate în coloane cu aliniere la stânga;
ia primul element al rândului n;
luați al doilea element al celui de-al nouălea rând (dacă există);
din aceasta procedați în diagonală, mișcând un rând în sus și o coloană spre dreapta, până când găsiți elemente.

Evaluarea polinoamelor pentru $x=1\$ ${\ displaystyle x = 1 \}$ $x = 1 \$ , care este același cu adăugarea coeficienților fiecărui polinom, se obțin numerele Fibonacci;
polinoamele Fibonacci $F_{n}(x)$ ${\ displaystyle F_ {n} (x)}$ $F_ {n} (x)$ Și $F_{m}(x)$ ${\ displaystyle F_ {m} (x)}$ $F_ {m} (x)$ sunt divizibile între ele dacă sunt $n\$ ${\ displaystyle n \}$ $n \$ Și $m\$ ${\ displaystyle m \}$ $m \$ ;
rădăcinile polinomului $F_{n}(x)$ ${\ displaystyle F_ {n} (x)}$ $F_ {n} (x)$ sunt date de următoarea formulă:

2i\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right),\,k=1,2,\ldots ,n-1

{\ displaystyle 2i \ cos \ left ({\ frac {k \ pi} {n}} \ right), \, k = 1,2, \ ldots, n-1}

2i \ cos \ left ({\ frac {k \ pi} {n}} \ right), \, k = 1,2, \ ldots, n-1

;

de sine $n\$ ${\ displaystyle n \}$ $n \$ este prim , polinomul $F_{n}(x)$ ${\ displaystyle F_ {n} (x)}$ $F_ {n} (x)$ este ireductibil și rădăcinile sale se obțin înmulțind cu $\pm 2i$ ${\ displaystyle \ pm 2i}$ $\ pm 2i$ partea reală a rădăcinilor polinomului ciclotomic corespunzător.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică