Polinomul lui Legendre

În matematică prin funcții Legendre , înțelegem soluțiile ecuației Legendre , o ecuație diferențială obișnuită care se întâlnește adesea în fizică și în diverse sectoare tehnologice: de exemplu în soluția în coordonate sferice a ecuației Laplace și a ecuațiilor diferențiale derivate parțiale . Aceste funcții sunt denumite în onoarea lui Adrien-Marie Legendre și intervin adesea în soluția ecuației Schrödinger .

Definiție

Același subiect în detaliu: ecuația lui Legendre .

Graficul polinoamelor lui Legendre pentru n ≤ 5

Ecuația lui Legendre poate fi rezolvată cu metode standard de serie de puteri . Avem soluții date de serii convergente pentru $|x|<1$ ${\ displaystyle | x | <1}$ $| x | <1$ . Există, de asemenea, soluții convergente pentru $x=\pm 1$ ${\ displaystyle x = \ pm 1}$ ${\ displaystyle x = \ pm 1}$ furnizat $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un tot natural, $n=0,\;1,\;2,\;\ldots$ ${\ displaystyle n = 0, \; 1, \; 2, \; \ ldots}$ ${\ displaystyle n = 0, \; 1, \; 2, \; \ ldots}$ : în acest caz soluțiile variază în funcție de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ formează o secvență polinomială numită secvența Legendre a polinoamelor .

Polinomul lui Legendre $P_{n}(x)$ ${\ displaystyle P_ {n} (x)}$ $P_ {n} (x)$ are grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ și poate fi exprimat folosind formula Rodriguez :

P_{n}(x)=(2^{n}n!)^{-1}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]

{\ displaystyle P_ {n} (x) = (2 ^ {n} n!) ^ {- 1} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n} }} \ left [(x ^ {2} -1) ^ {n} \ right]}

{\ displaystyle P_ {n} (x) = (2 ^ {n} n!) ^ {- 1} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n} }} \ left [(x ^ {2} -1) ^ {n} \ right]}

Polinomii Legendre sunt polinoame ortogonale în interval $-1\leq x\leq 1$ ${\ displaystyle -1 \ leq x \ leq 1}$ $-1 \ leq x \ leq 1$ în ceea ce privește produsul intern L ² :

\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}

{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) \ mathop {} \! \ mathrm {d} x = {2 \ over {2n + 1} } \ delta _ {mn}}

{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) \ mathop {} \! \ mathrm {d} x = {2 \ over {2n + 1} } \ delta _ {mn}}

Aici $\delta _{mn}~$ ${\ displaystyle \ delta _ {mn} ~}$ $\ delta _ {{mn}} ~$ denotă delta Kronecker , egală cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ de sine $m=n$ ${\ displaystyle m = n}$ $m = n$ și egal cu altfel.

O construcție alternativă a polinoamelor Legendre constă în efectuarea procedurii Gram-Schmidt pentru ortogonalizarea secvenței polinomiale $\left\{1,\;x,\;x^{2},\;\ldots \right\}$ ${\ displaystyle \ left \ {1, \; x, \; x ^ {2}, \; \ ldots \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {1, \; x, \; x ^ {2}, \; \ ldots \ right \}}$ și apoi înmulțiți noile polinoame obținute cu $(2n)! \over {2^{n}(n!)^{2}}$ ${\ displaystyle (2n)! \ over {2 ^ {n} (n!) ^ {2}}}$ ${(2n)! \ over {2 ^ {n} (n!) ^ {2}}}$ cu $n=0,1,\ldots$ ${\ displaystyle n = 0,1, \ ldots}$ ${\ displaystyle n = 0,1, \ ldots}$ indicând încă un polinom Legendre.

Acestea sunt primele polinoame Legendre:

{\begin{aligned}P_{0}(x)&=1\\P_{1}(x)&=x\\P_{2}(x)&={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1)\\P_{3}(x)&={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x)\\P_{4}(x)&={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\\P_{5}(x)&={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\\P_{6}(x)&={\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} P_ {0} (x) & = 1 \\ P_ {1} (x) & = x \\ P_ {2} (x) & = {\ frac {1} {2 }} (3x ^ {2} -1) \\ P_ {3} (x) & = {\ frac {1} {2}} (5x ^ {3} -3x) \\ P_ {4} (x) & = {\ frac {1} {8}} (35x ^ {4} -30x ^ {2} +3) \\ P_ {5} (x) & = {\ frac {1} {8}} (63x ^ {5} -70x ^ {3} + 15x) \\ P_ {6} (x) & = {\ frac {1} {16}} (231x ^ {6} -315x ^ {4} + 105x ^ { 2} -5) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} P_ {0} (x) & = 1 \\ P_ {1} (x) & = x \\ P_ {2} (x) & = {\ frac {1} {2 }} (3x ^ {2} -1) \\ P_ {3} (x) & = {\ frac {1} {2}} (5x ^ {3} -3x) \\ P_ {4} (x) & = {\ frac {1} {8}} (35x ^ {4} -30x ^ {2} +3) \\ P_ {5} (x) & = {\ frac {1} {8}} (63x ^ {5} -70x ^ {3} + 15x) \\ P_ {6} (x) & = {\ frac {1} {16}} (231x ^ {6} -315x ^ {4} + 105x ^ { 2} -5) \ end {align}}}

Bibliografie

( EN ) Milton Abramowitz și Irene A. Stegun, Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice , Mineola , Publicații Dover, 1972. (Vezi cap. 8 și cap. 22. )
( EN ) Byerly, William Elwood (1893) Un tratat elementar despre seria lui Fourier și armonicele sferice, cilindrice și elipsoidale cu aplicații la problemele din fizica matematică (cap. I și cap. V)
( EN ) Todhunter, Isaac (1875) Un tratat elementar despre funcțiile lui Laplace, funcțiile lui Lamé și funcțiile lui Bessel , MacMillan (vezi pp. 7-117)
( DE ) Heine, Eduard (1878) Handbuch der Kugelfunctionen, Theorie und Anwendungen (prima parte) , Reimer
( DE ) Heine, Eduard (1881) Handbuch der Kugelfunctionen Theorie und Anwendungen (a doua parte) , Reimer

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre polinomul lui Legendre

linkuri externe

http://www.octave.org Polinomele Legendre, precum polinoamele asociate, pot fi calculate numeric folosind funcția legendre a programului GNU Octave (distribuită sub GPL în modulul octave-forge / specfun din octava v. 2.1. 35 sau mai tarziu
https://www.gnu.org/software/gsl/gsl.html

Controlul autorității	Tesauro BNCF 38392 · LCCN (EN) sh85075779 · GND (DE) 4333222-5 · BNF (FR) cb12122983h (dată) · NDL (EN, JA) 00.567.364

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică