Secvență polinomială

În matematică pentru secvența polinomială, sau chiar pentru secvența polinomială graduală, se înțelege o succesiune de polinomii indicate prin numere întregi 0, 1, 2, 3, ..., astfel încât pentru fiecare n indică valoarea să corespundă unui polinom de grad n . Numeroase secvențe polinomiale speciale și diverse seturi de secvențe polinomiale care pot fi caracterizate cu proprietăți chiar destul de abstracte sunt studiate pe scară largă.

Se poate scrie secvența polinomială graduală generică din variabila x

\,a_{0,0}

{\ displaystyle \, a_ {0,0}}

{\ displaystyle \, a_ {0,0}}

\,a_{1,0}+a_{1,1}x

{\ displaystyle \, a_ {1,0} + a_ {1,1} x}

{\ displaystyle \, a_ {1,0} + a_ {1,1} x}

\,a_{2,0}+a_{2,1}x+a_{2,2}x^{2}

{\ displaystyle \, a_ {2,0} + a_ {2,1} x + a_ {2,2} x ^ {2}}

{\ displaystyle \, a_ {2,0} + a_ {2,1} x + a_ {2,2} x ^ {2}}

\,a_{3,0}+a_{3,1}x+a_{3,2}x^{2}+a_{3,3}x^{3}

{\ displaystyle \, a_ {3,0} + a_ {3,1} x + a_ {3,2} x ^ {2} + a_ {3,3} x ^ {3}}

{\ displaystyle \, a_ {3,0} + a_ {3,1} x + a_ {3,2} x ^ {2} + a_ {3,3} x ^ {3}}

. . . . . . . . . . . . . . .

Apoi este clar că a da o secvență polinomială graduală este echivalent cu a da o succesiune a doi indici triunghiulari sau a da o matrice de domeniu infinită $\mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0} \ times \ mathbb {N} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0} \ times \ mathbb {N} _ {0}}$ a cărei intrare în raport cu rândul n și coloana m , pentru m < n dă coeficientul puterii m- a polinomului n , în timp ce intrările pentru n < m sunt zero.

În trecut, în special în secolul al XIX-lea , au fost studiate diferite secvențe polinomiale ca soluții polinomiale ale ecuațiilor diferențiale liniare de ordinul doi. Aceste secvențe de funcții sunt, în general, identificate cu eponime : Hermite_polynomials , Laguerre polynomials, Chebyshev polynomials , ...

S-a observat apoi că tratamentul seturilor întregi de secvențe polinomiale poate fi urmărit înapoi la studiul metodelor destul de generale de rezolvare a ecuațiilor diferențiale liniare prin intermediul dezvoltărilor de serii și a colecțiilor de secvențe polinomiale cu proprietăți comune au fost identificate: în special, secvențele au fost studiate polinoame ortogonale . Aceste studii pot fi plasate în mod convenabil în spațiile Hilbert și încă din anii 1920 au găsit aplicații importante în mecanica cuantică și în special în mecanica undelor .

Aprofundând proprietățile acestor familii, au fost identificate caracterizări de foarte mare generalitate, în special în contextul teoriilor combinatorii, cum ar fi calculul umbral , teoria manipulativă a seriilor hipergeometrice și teoria generării funcțiilor asociate cu speciile de structuri. Pentru multe secvențe de polinoame speciale, s-au găsit interpretări enumerative foarte subtile, sugestive și fructuoase. Aceste rezultate fac secvențe polinomiale ale entităților matematice cunoscute în profunzime și utilizate în mod concret în diferite aplicații.

Secvențe de polinoame speciale

Colecții succesorale

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică