Glosar de polinoame

Acest glosar privind polinoamele include termeni și concepte legate de aceste entități care sunt de o mare importanță pentru diverse evoluții în matematică și aplicațiile sale.

În titlul și textul articolelor, „polinom” înseamnă, dacă nu se specifică altfel, un polinom algebric într-o singură variabilă

Index

Index
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z ?

LA

Abel (polinoame ale)

Polinomii Abel constituie o secvență polinomială având forma

x(x-na)^{n-1}

{\ displaystyle x (x-na) ^ {n-1}}

x (x-na) ^ {n-1}

cu n natural.

Ele constituie o secvență polinomială de tip binomial definită prin formula recursivă:

{d \over dx}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)

{\ displaystyle {d \ over dx} p_ {n} (x) = np_ {n-1} (x)}

{\ displaystyle {d \ over dx} p_ {n} (x) = np_ {n-1} (x)}

[index]

Algebric (polinom)

Se numește polinom algebric în variabilele x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... .., x _k , o combinație liniară de puteri întregi ale variabilelor de mai sus. În special, un polinom algebric de grad (sau ordine) n în variabila unică x poate fi reprezentat cu

f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}\,\!

{\ displaystyle f (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ ldots + a_ {n} x ^ {n} \, \!}

{\ displaystyle f (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ ldots + a_ {n} x ^ {n} \, \!}

[index]

Inel polinomial

Setul de polinoame cu coeficienți într-un câmp (de exemplu cel al numerelor reale sau al complexelor ) are structura algebrică a unui inel . Are o sumă și o multiplicare astfel încât:

- - suma a două polinoame este un polinom ale cărui componente ( monomii ) sunt suma monomilor similari ai adunărilor polinomiale;
  - produsul a două polinoame este un polinom ale cărui componente se obțin prin înmulțirea fiecărui monomiu al primului cu fiecare monomiu al celui de-al doilea;
  - elementul neutru de adunare este polinomul 0 (compus doar din zerouri), iar cel al multiplicării este polinomul 1 (unul constant);
  - inversul aditiv al unui polinom este cel care are aceleași monomii ca polinomul dat, dar cu semnul opus

Același subiect în detaliu: inelul polinomial .

[index]

B.

Clopot (polinoame ale)

Polinoame multivariate care au aplicații în analiza combinatorie: coeficienții acestor polinoame oferă numărul de partiții în care un set de n elemente poate fi împărțit în două sau mai multe părți.

De exemplu, polinomul Bell B _6.2 (x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ , x ₅ ) oferă numărul de partiții în care un set de 6 elemente poate fi împărțit în două grupuri. De cand

B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}

{\ displaystyle B_ {6,2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = 6x_ {5} x_ {1} + 15x_ {4} x_ {2} + 10x_ {3} ^ {2}}

{\ displaystyle B_ {6,2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = 6x_ {5} x_ {1} + 15x_ {4} x_ {2} + 10x_ {3} ^ {2}}

înseamnă că un set de 6 elemente poate fi împărțit în 6 moduri diferite (coeficient de

x_{5}x_{1}

{\ displaystyle x_ {5} x_ {1}}

{\ displaystyle x_ {5} x_ {1}}

) în două părți, respectiv de 5 și 1 elemente, sau în 15 moduri diferite în două părți, respectiv de 4 și 2 elemente, sau în 10 moduri diferite în două grupuri de câte 3 elemente.

[index]

Bernoulli (polinoame ale)

Polinoamele Bernoulli sunt definite într-un mod iterativ și permit calcularea sumei puterilor k-a primelor n numere întregi, cunoscând sumele puterilor anterioare (k-1) ale acelorași numere. Utilizate în studiul funcției zeta Riemann și a altor funcții speciale , acestea sunt strâns legate de numerele Bernoulli .

Același subiect în detaliu: polinomul lui Bernoulli și numerele lui Bernoulli .

[index]

Binom

Polinom format din doi monomi (adică este suma algebrică a doi monomi)

Același subiect în detaliu: Binom .

[index]

Binomul lui Newton

Sinonim pentru teorema binomială

[index]

C.

Calculul umbral

Termenul de calcul umbral indică o notație care permite tratarea identităților pe secvențe numerice, luând în considerare indicii componentelor ca și cum ar fi exponenți. Această metodă, deși lipsită de fundații complete și riguroase, se dovedește adesea eficientă.

Calculul umbral este utilizat în prezent în principal pentru studiul secvențelor Sheffer

Același subiect în detaliu: calculul Umbral .

[index]

Câmpul despărțirii unui polinom

Câmp în care polinomul poate fi inclus în binomii de gradul I

Același subiect în detaliu: divizarea câmpului .

[index]

Gama completă de reducibilitate

Sinonim cu câmpul de rupere

Caracteristic (polinom)

Polinomul caracteristic al unei matrice în raport cu o variabilă x este determinantul matricei obținute prin scăderea din matricea dată produsul dintre x scalar și matricea identității : p _A (x) = det (A - xI) , unde A este data matricei și I este matricea identității.

Rădăcinile polinomului caracteristic sunt valorile proprii ale matricei asociate

Același subiect în detaliu: Polinom caracteristic .

[index]

Chebyshev (sau Čebyšëv) (polinoame ale)

Polinomii Chebyshev din variabila x constituie o secvență polinomială definită de formula recursivă

T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)

{\ displaystyle T_ {n + 1} (x) = 2xT_ {n} (x) -T_ {n-1} (x)}

{\ displaystyle T_ {n + 1} (x) = 2xT_ {n} (x) -T_ {n-1} (x)}

cu

T_{0}(x)=1

{\ displaystyle T_ {0} (x) = 1}

{\ displaystyle T_ {0} (x) = 1}

Și

T_{1}(x)=x

{\ displaystyle T_ {1} (x) = x}

{\ displaystyle T_ {1} (x) = x}

.

Ele constituie soluțiile polinomiale ale unei ecuații diferențiale

Același subiect în detaliu: polinoame Chebyshev .

[index]

Ciclotomie (polinoame)

Polinoamele ciclotomice din variabila x constituie o secvență polinomială . Al n-lea polinom ciclotomic este polinomul format din rădăcinile a n-a primitive ale unității . Rădăcinile primitive ale unității sunt cele care generează întregul grup al rădăcinilor n ale unității, adică sunt acelea care, dacă m <n , avem x ^m ≠ 1 în timp ce, evident, x ⁿ = 1

Același subiect în detaliu: polinom ciclotomic .

[index]

Coeficient binomial

Coeficientul binomial este o funcție întreagă cu două variabile n> 0 și 0 ≤ k ≤ n , definită ca

C(n;k)={\frac {n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!}}={n \choose k}

{\ displaystyle C (n; k) = {\ frac {n!} {k! \ cdot \ left (nk \ right)!}} = {n \ alege k}}

{\ displaystyle C (n; k) = {\ frac {n!} {k! \ cdot \ left (n-k \ right)!}} = {n \ alege k}}

(unde n ! este factorialul lui n ). Coeficientul binomial poate fi calculat și cu triunghiul lui Tartaglia .

Este important pentru polinoame, deoarece dezvoltarea puterilor binomilor poate fi exprimată prin intermediul coeficienților binomiali (a se vedea teorema binomului )

Același subiect în detaliu: Coeficientul binomial .

[index]

Coeficient binomial simetric

Funcție cu două variabile întregi pozitive, simetrice în argumentele sale. Este o variantă a coeficientului binomial , atât de mult încât poate fi exprimat ca

{\mbox{cbins}}(h,k)={h+k \choose h}\qquad \qquad {n \choose h}={\mbox{cbins}}(h,n-h)

{\ displaystyle {\ mbox {cbins}} (h, k) = {h + k \ alege h} \ qquad \ qquad {n \ alege h} = {\ mbox {cbins}} (h, nh)}

{\ mbox {cbins}} (h, k) = {h + k \ alege h} \ qquad \ qquad {n \ alege h} = {\ mbox {cbins}} (h, n-h)

Este o funcție capabilă să enumere configurații discrete echivalente ale unui sistem

Același subiect în detaliu: Coeficientul simetric binomial .

[index]

Coeficienții unui polinom

Valori constante (numere) ale monomilor unici. Fiecare monomial are un singur coeficient. Coeficientul monomiului de grad maxim se numește coeficientul director , în timp ce cel al monomiului de grad zero ia numele termenului cunoscut

Același subiect în detaliu: Polinom .

[index]

Complet (polinom)

Polinom cu o variabilă în care coeficienții sunt diferiți de zero

Același subiect în detaliu: Polinom .

[index]

Congruențe polinomiale

Extinderea la polinoame a conceptului de modul de congruență n definit pe numere reale.

Se spune că două polinoame P (x) și Q (x) în variabila întreagă x , sunt modulo congruente n , unde n este un număr întreg pozitiv, dacă pentru fiecare valoare a lui x , întreg, își asumă valori congruente mod n , adică să spun că P (x) - Q (x)

\equiv

{\ displaystyle \ equiv}

\ equiv

0 formular nr .

Două numere sunt mod n congruente dacă și numai dacă sunt împărțite la n au același rest

Același subiect în detaliu: Congruențe polinomiale și aritmetică modulară .

[index]

Conică (curbă sau funcție)

Curba plană exprimabilă prin intermediul unui polinom de gradul II. Numele derivă din faptul că aceste curbe ( circumferința , elipsa , parabola , hiperbola ) sunt obținute prin disecarea suprafeței unui con cu un plan

Același subiect în detaliu: Conica .

[index]

Conţinut

Conținutul unui polinom este cel mai mare divizor comun al coeficienților săi

Același subiect în detaliu: Conținut (matematică) .

[index]

Criteriul Eisenstein

Este un criteriu pentru demonstrarea ireductibilității polinoamelor primitive cu coeficienți întregi

Același subiect în detaliu: criteriul lui Eisenstein .

[index]

Criteriul Routh-Hurwitz

Criteriul pentru determinarea numărului de rădăcini cu parte reală pozitivă a unui polinom într-o variabilă cu rădăcini complexe. Este o generalizare a regulii lui Descartes (aplicabilă numai polinoamelor cu rădăcini reale ). Criteriul implică utilizarea matricilor și a factorilor determinanți

Același subiect în detaliu: criteriul Routh-Hurwitz .

[index]

Cubic (curbă sau funcție)

Curba plană exprimabilă prin intermediul unui polinom de gradul III al formei

f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}

D.

Descompunerea în fracții parțiale

Tehnica de calcul care permite transformarea raportului dintre două polinoame P (x) și Q (x) , dintre care „P” are un grad mai mic decât „Q”, în suma mai multor rapoarte ale polinoamelor de grad mai mic decât cele date

Același subiect în detaliu: Descompunerea în fracții parțiale pe reali .

[index]

Diofant (polinom)

Polinom în care toți coeficienții și toate variabilele sunt întregi. Polinoamele diofantine din variabile multiple pot să nu aibă rădăcini (întregi) ca de exemplu

p(x,y,z)=x^{n}+y^{n}-z^{n}

{\ displaystyle p (x, y, z) = x ^ {n} + y ^ {n} -z ^ {n}}

{\ displaystyle p (x, y, z) = x ^ {n} + y ^ {n} -z ^ {n}}

cand

n>2

{\ displaystyle n> 2}

n> 2

( Ultima teorema a lui Fermat )

Același subiect în detaliu: ecuația diofantină .

[index]

Inegalitatea algebrică

Inegalitatea sau ordinea inegalității dintre două polinoame cu una sau mai multe necunoscute și căutați valorile (în general intervale ) ale necunoscutelor care satisfac această relație.

O inegalitate între două polinoame poate fi întotdeauna transformată într-o inegalitate din care unul dintre cele două polinoame (membri ai inegalității) este egal cu 0 . Sub această formă se spune inegalitatea:

- - liniar dacă polinomul diferit de zero este de gradul '' 1 '';
  - pătratic dacă este de grad "2;
  - cub dacă este de gradul "3"

Același subiect în detaliu: inegalitatea algebrică .

[index]

Inegalitatea divizată

Inegalitate sau ordinea inegalității în care cel puțin una dintre necunoscute apare în numitorul a cel puțin o fracțiune . O inegalitate fracțională poate fi întotdeauna trasată înapoi la un sistem de inegalități algebrice polinomiale , cu condiția ca numeratorii și numitorii fracțiilor date să fie la rândul lor polinoame algebrice

Același subiect în detaliu: Inegalitatea fractală .

[index]

Diviziunea polinoamelor

Două polinoame A (x) și B (x) în variabila x , dintre care primul are un grad mai mare sau egal cu al doilea, pot fi împărțite între ele pentru a obține un polinom Q (x) și un polinom rămas R ( x) pentru care se ține relația A (x) = B (x) Q (x) + R (x) (gradul acestuia din urmă este mai mic decât cel al polinomului divizor ).

Regula lui Ruffini pentru divizarea polinoamelor se aplică numai dacă numitorul este un binom .

Dacă polinoamele au coeficienții aparținând unui câmp (de exemplu numere reale sau complexe ), coeficientul și restul sunt unice pentru fiecare pereche de polinoame

Același subiect în detaliu: Împărțirea polinoamelor .

[index]

ȘI

Ecuația algebrică

O ecuație este o egalitate între două expresii matematice verificate pentru valori particulare ale uneia dintre cele mai variabile cantități numite necunoscute . Dacă cele două expresii comparate sunt polinoame algebrice , ecuația se numește algebrică .

O ecuație algebrică poate fi întotdeauna referită la cazul în care unul dintre cele două polinoame de comparație este polinomul nul (zero).

Gradul unei ecuații algebrice este gradul polinomului diferit de zero, considerat numai în necunoscute (excluzând deci alte variabile sau parametri)

Același subiect în detaliu: ecuația algebrică .

[index]

Exponențiale (polinoame)

Sinonim pentru polinoame Touchard

F.

Fibonacci (polinoame ale)

Polinomii Fibonacci constituie o secvență polinomială definită recursiv într-un mod analog definiției succesiunii omonime:

F_{1}(x)=1

{\ displaystyle F_ {1} (x) = 1}

F_ {1} (x) = 1

;

F_{2}(x)=x

{\ displaystyle F_ {2} (x) = x}

F_ {2} (x) = x

F_{n}(x)=xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),

{\ displaystyle F_ {n} (x) = xF_ {n-1} (x) + F_ {n-2} (x),}

{\ displaystyle F_ {n} (x) = xF_ {n-1} (x) + F_ {n-2} (x),}

dacă n> 2

Același subiect în detaliu: polinoamele Fibonacci .

[index]

Formula lui Newton

Sinonim pentru teorema binomială

[index]

Funcție liniară

Funcția unei variabile exprimată prin intermediul unui polinom de gradul 1. În geometria analitică reprezintă o linie dreaptă

Același subiect în detaliu: funcția liniară .

[index]

Formule Viète

Formule care raportează rădăcinile unui polinom într-o variabilă și coeficienții acesteia.

De exemplu într-un polinom de gradul 2

P(x)=ax^{2}+bx+c

{\ displaystyle P (x) = ax ^ {2} + bx + c}

{\ displaystyle P (x) = ax ^ {2} + bx + c}

, Formula Viète relatează rădăcinile

x_{1}

{\ displaystyle x_ {1}}

x_1

Și

x_{2}

{\ displaystyle x_ {2}}

x_2

ecuaţie

P(x)=0

{\ displaystyle P (x) = 0}

{\ displaystyle P (x) = 0}

și coeficienții a, b, c :

x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.

{\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = - {\ frac {b} {a}}, \ quad x_ {1} x_ {2} = {\ frac {c} {a}}.}

{\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = - {\ frac {b} {a}}, \ quad x_ {1} x_ {2} = {\ frac {c} {a}}.}

Același subiect în detaliu: Formule de Viète .

[index]

Funcții polinomiale

Funcții matematice exprimabile printr-un polinom în una sau mai multe variabile. De exemplu funcția polinomială

f(x)=ax+b,

{\ displaystyle f (x) = ax + b,}

{\ displaystyle f (x) = ax + b,}

reprezintă o linie dreaptă ,

f(x,y)=ax+by+c,

{\ displaystyle f (x, y) = ax + by + c,}

{\ displaystyle f (x, y) = ax + by + c,}

reprezintă un plan

Același subiect în detaliu: Funcția polinomială .

[index]

G.

Gegenbauer (polinoame ale)

Polinoamele Gegenbuauer (numite și polinoame ultrasferice) sunt soluțiile ecuațiilor diferențiale ale lui Gegenbauer ( ecuații diferențiale de ordinul doi ). Ele sunt o generalizare a polinoamelor Legendre și constituie o secvență polinomială de polinoame ortogonale

Referințe externe: GegenbauerPolynomial

Același subiect în detaliu: polinoamele Gegenbauer .

[index]

Gradul unui monom

Gradul unui monom este suma exponenților elementelor sale simbolice (variabile). Un monom constant (format doar dintr-un număr) este de grad zero.

De exemplu. monomiul

3ab^{2}c^{4}

{\ displaystyle 3ab ^ {2} c ^ {4}}

{\ displaystyle 3ab ^ {2} c ^ {4}}

este de gradul 7 .

Același subiect în detaliu: Monomy § Gradul unui monomial .

[index]

Gradul unui polinom

Gradul unui polinom este egal cu gradul monomului său de cel mai înalt grad.

De exemplu. polinomul

3ab^{2}c^{2}+5ab^{3}+7a^{4}bc^{3}

{\ displaystyle 3ab ^ {2} c ^ {2} + 5ab ^ {3} + 7a ^ {4} bc ^ {3}}

{\ displaystyle 3ab ^ {2} c ^ {2} + 5ab ^ {3} + 7a ^ {4} bc ^ {3}}

este de gradul 8.

Același subiect în detaliu: Polinomul § Nomenclatura .

[index]

H.

Pustnic (polinoame ale)

Polinomii hermite constituie o secvență polinomială în care al n - lea polinom (de grad n ) este definit prin intermediul unei funcții exponențiale și a derivatei sale n. Printre utilizările lor se evidențiază calculul probabilităților

Același subiect în detaliu: polinoame hermite .

[index]

Hurwitz (polinomul lui)

Polinom în care toate rădăcinile sunt numere complexe cu o parte reală negativă. Pentru a fi din Hurwitz , este necesar, dar nu suficient, ca toți coeficienții polinomului să fie pozitivi; invers, deoarece toate rădăcinile polinomului se află pe partea stângă a planului complex, pentru a fi de la Hurwitz este necesar și suficient ca polinomul să satisfacă criteriul Routh-Hurwitz

[index]

THE

Identitatea lui Newton

Identitățile lui Newton reprezintă o metodă de descriere a rădăcinilor unui polinom. Sunt formule recurente bazate pe valorile proprii ale unei matrice legate la rândul lor de polinomul caracteristic

Același subiect în detaliu: identitatea lui Newton .

[index]

Inversibil (polinom)

Un polinom este inversabil dacă există altul care înmulțit cu primul dă unitate ca produs. Orice polinom care este un monom constant este inversabil. Se poate arăta că constantele sunt singurele polinoame inversabile

Același subiect în detaliu: Polinom .

[index]

Hipergeometric (polinoame)

Sinonim pentru polinoame Jacobi

[index]

Ireductibil (polinom)

Un polinom este ireductibil dacă nu există două polinoame (de grad inferior) care, atunci când sunt multiplicate împreună, dau polinomul dat. Reductibilitatea sau nu a unui polinom depinde puternic de câmpul căruia îi aparțin coeficienții: de exemplu polinomul

p(x)=x^{2}+1

{\ displaystyle p (x) = x ^ {2} +1}

{\ displaystyle p (x) = x ^ {2} +1}

este ireductibil în câmpul real, în timp ce este reductibil în câmpul complex:

p(x)=(x-i)(x+i)

{\ displaystyle p (x) = (xi) (x + i)}

{\ displaystyle p (x) = (x-i) (x + i)}

Același subiect în detaliu: polinom ireductibil .

[index]

J

Jacobi (polinoame ale)

Polinoamele Jacobi , numite și polinoame hipergeometrice, sunt o succesiune de polinoame ortogonale cu doi parametri. Util în studiul grupurilor de rotație și în soluția ecuațiilor de mișcare. Ele constituie soluțiile ecuației diferențiale Jacobi

Același subiect în detaliu: polinoamele Jacobi .

[index]

L

Laguerre (polinoame ale)

Polinomii Laguerre constituie o secvență de polinoame ortogonale reciproc , definite recursiv după cum urmează:

L_{0}=1

{\ displaystyle L_ {0} = 1}

{\ displaystyle L_ {0} = 1}

L_{1}=-x+1

{\ displaystyle L_ {1} = - x + 1}

{\ displaystyle L_ {1} = - x + 1}

(n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-nL_{n-1}(x)

{\ displaystyle (n + 1) L_ {n + 1} (x) = (2n + 1-x) L_ {n} (x) -nL_ {n-1} (x)}

{\ displaystyle (n + 1) L_ {n + 1} (x) = (2n + 1-x) L_ {n} (x) -nL_ {n-1} (x)}

.

Ele constituie soluțiile ecuației diferențiale Laguerre și au numeroase aplicații

Același subiect în detaliu: polinoame Laguerre .

[index]

Legendre (polinoame ale)

Polinomii Legendre constituie o secvență polinomială de polinoame reciproc ortogonale care reprezintă soluțiile unor cazuri particulare ale ecuației diferențiale Legendre

Legendre ecuație diferențială referințe externe

Același subiect în detaliu: polinoame Legendre .

[index]

Lema lui Gauss pe polinoame

Când vorbim despre lema lui Gauss în raport cu polinoamele, vorbim de fapt despre două leme, dintre care a doua este o consecință directă a primei:

- produsul a două polinoame primitive este de asemenea primitiv;
- dacă un polinom cu coeficienți întregi este ireductibil în numere întregi, atunci este ireductibil și în rațional

Același subiect în detaliu: lema Gauss (polinoame) .

[index]

M.

Matricea Sylvester

Matricea Sylvester este o matrice pătrată asociată cu o pereche de polinoame dintr-o variabilă, care vă permite să verificați dacă polinoamele au un factor comun neconstant. Matricea, a cărei ordine este suma gradelor celor două polinoame, se obține scriind în primul rând coeficienții polinoamelor, completate în dreapta cu „zerouri” pentru elementele lipsă, iar în rândurile următoare aceleași valori permutate ciclic ; în cele din urmă ultimele linii sunt construite într-un mod similar cu coeficienții celui de-al doilea polinom

Același subiect în detaliu: matricea Sylvester .

[index]

Mononime similare

Mononomi care diferă doar în partea constantă, în timp ce au părți literal identice. Se pot adăuga două monomii similare și formează un alt monomial, similar cu primele două, în care partea constantă este suma constantelor addendelor

Același subiect în detaliu: Monomio .

[index]

Monomio

Un monomiu este o expresie matematică constând dintr-o constantă luată într-o structură algebrică (de obicei un număr real sau complex) și / sau una sau mai multe variabile („parte literală”), de obicei indicată cu litere din alfabetul latin, care reprezintă un element generic, legat doar de operațiile de înmulțire și / sau împărțire (de fapt, a spune „împărțire” este de prisos deoarece fiecare împărțire este echivalentă cu o „înmulțire” prin reciprocul divizorului). Exemple de monomii:

3,\quad x,\quad 5ab,\quad {\sqrt {2}}ab^{3},\quad -y^{3}x^{4}z,\quad 3a^{n}

{\ displaystyle 3, \ quad x, \ quad 5ab, \ quad {\ sqrt {2}} ab ^ {3}, \ quad -y ^ {3} x ^ {4} z, \ quad 3a ^ {n} }

{\ displaystyle 3, \ quad x, \ quad 5ab, \ quad {\ sqrt {2}} ab ^ {3}, \ quad -y ^ {3} x ^ {4} z, \ quad 3a ^ {n} }

.

Suma algebrică a două sau mai multe monomii formează un polinom

Același subiect în detaliu: Monomio .

[index]

Monico (polinom)

Polinom într-o singură variabilă în care coeficientul monomiului de grad maxim este egal cu 1

Același subiect în detaliu: Polinom .

[index]

Nu.

Noduri Chebyshev (sau Čebyšëv)

Nodurile Chebyshev sunt rădăcinile polinoamelor Chebyshev

Același subiect în detaliu: nodurile lui Čebyšëv .

[index]

Nul (polinom)

Polinom format doar din zerouri. Element neutru pentru suma polinoamelor

Același subiect în detaliu: Polinom .

[index]

SAU

Omogen (polinom)

Polinom ale cărui monomii au toate același grad

Același subiect în detaliu: Polinom .

[index]

Operator Shift-echivariant

Un operator shift- echivalent este un operator care acționează asupra funcțiilor '' f (x) '' și comută cu traducerile.

Același subiect în detaliu: operator echivalent cu Shift .

[index]

Ortogonale (polinoame)

Se spune că două polinoame sunt ortogonale într-un interval dat și în raport cu o funcție dată de "greutate", dacă integralul din acel interval al produsului polinoamelor și al funcției de greutate este egal cu zero; operația de integrare descrisă mai sus este practic un produs intern într-un spațiu vectorial .

O familie, chiar cu elemente infinite, se numește o familie de polinoame ortogonale dacă egalitatea descrisă mai sus este valabilă pentru fiecare pereche de polinoame.

Exemple de secvențe de polinoame ortogonale sunt:

- Polinoamele Hermite , unde funcția „greutate” este distribuția normală a probabilității;
- polinomii Legendre în intervalul [−1, 1], unde funcția "greutate" este distribuția uniformă a probabilității

Același subiect în detaliu: Polinoame ortogonale .

[index]

Ortonormali (polinoame)

Se spune că polinoamele ortogonale între ele sunt ortonormale în același interval și în raport cu aceeași funcție de "greutate" a ortogonalității, dacă integralul din acel interval al produsului fiecărui polinom multiplicat cu și însuși și cu funcția de greutate este egal la 1

Același subiect în detaliu: Polinoame ortonormale .

[index]

P.

Polinom

Un polinom este suma algebrică a două sau mai multe monomii din care fiecare se numește termen

Același subiect în detaliu: Polinom .

[index]

Primitiv (polinom)

Un polinom într-o variabilă în care cel mai mare divizor comun al coeficienților săi este egal cu 1 se numește „primitiv”.

Același subiect în detaliu: Polinom .

[index]

Produs de polinoame

Produsul a două polinoame are ca rezultat un alt polinom. Produsul se obține înmulțind fiecare termen al primului polinom cu toți termenii celui de-al doilea și adăugând toate valorile găsite. Dacă polinoamele sunt reale sau complexe , produsul polinoamelor este comutativ

Același subiect în detaliu: Polinom .

[index]

Î

Quartica (curba)

O curbă quartică este o curbă plană exprimabilă prin intermediul unui polinom de gradul patru cu două variabile

Același subiect în detaliu: Curba quartică .

[index]

R.

Rădăcinile unui polinom

Rădăcinile unui polinom sunt acele valori ale variabilelor care anulează polinomul. Dacă polinomul

p(x)

{\ displaystyle p (x)}

p (x)

are o singură variabilă, rădăcinile sale sunt valori

x_{i}

{\ displaystyle x_ {i}}

x_i

astfel încât

p(x_{i})=0

{\ displaystyle p (x_ {i}) = 0}

{\ displaystyle p (x_ {i}) = 0}

. Un polinom de grad n are cel mult n rădăcini, într-adevăr are exact n în câmpul complex și ținând cont de rădăcini multiple

Același subiect în detaliu: rădăcină (matematică) și polinom .

[index]

Regula semnelor lui Descartes

Regula lui Descartes asupra semnelor (pozitivitate / negativitate) a rădăcinilor unui polinom de grad n se aplică numai dacă toate rădăcinile polinomului sunt reale . Se afirmă că numărul rădăcinilor reale pozitive (luând în considerare și rădăcinile multiple ) este dat de numărul de modificări ale semnelor între doi coeficienți consecutivi.

Generalizarea sa la câmpul complex este realizată de criteriul Routh-Hurwitz

Același subiect în detaliu: Regula de semne a lui Descartes și criteriul de stabilitate al lui Routh .

[index]

Regula lui Ruffini

Regula lui Ruffini este un algoritm pentru împărțirea unui polinom într-o variabilă cu un binom de gradul I în aceeași variabilă. Algoritmul permite de a găsi atât câtul polinomul și restul polinomul. Este un algoritm simplificat în comparație cu cel general pentru divizarea polinoamelor . Se susține că a fost publicat de Ruffini în 1809.

Același subiect în detaliu: Regula lui Ruffini .

[index]

Redus la formă normală (polinom)

Polinomial în care monoamele similare au fuzionat și termenii nule au fost eliminate

Același subiect în detaliu: Polinom .

[index]

Reductibil (polinom)

Un polinom este reductibil dacă este posibil să se găsească două polinoame (de grad inferior) care, atunci când sunt multiplicate împreună, dau polinomul dat. Reductibilitatea sau nu a unui polinom depinde puternic de câmpul căruia îi aparțin coeficienții: de exemplu polinomul

p(x)=x^{2}+1

{\ displaystyle p (x) = x ^ {2} +1}

{\ displaystyle p (x) = x ^ {2} +1}

este reductibil în câmpul complex (

p(x)=(x-i)(x+i)

{\ displaystyle p (x) = (xi) (x + i)}

{\ displaystyle p (x) = (x-i) (x + i)}

), dar ireductibil în domeniul real

Același subiect în detaliu: polinom ireductibil .

[index]

Rezultatul a două polinoame

Prin rezultatul a două polinoame înțelegem determinantul matricei lor Sylvester

Același subiect în detaliu: matricea Sylvester .

[index]

S.

Separabil (polinom)

Due sono le definizioni di polinomio separabile:

- un polinomio è separabile se i suoi fattori irriducibili hanno tutte le radici distinte nel proprio campo di spezzamento
- un polinomio è separabile se non ha radici multiple

La seconda definizione è più restrittiva della prima, ma coincide con essa nel caso di polinomi irriducibili

Lo stesso argomento in dettaglio: Polinomio separabile .

[indice]

Sequenza di Appell

Una sequenza di Appell è una sequenza polinomiale per i cui componenti p _n (x) vale l'uguaglianza d/dx p _n (x) = np _n-1 (x)p~. Il loro insieme è contenuto propriamente nell'insieme delle sequenze di Sheffer ed è distinto dall'insieme delle sequenze di tipo binomiale

Lo stesso argomento in dettaglio: Sequenza di Appell e Paul Émile Appell .

[indice]

Sequenza di polinomi ortogonali

Sequenza polinomiale costituita da polinomi fra loro tutti ortogonali .

Lo stesso argomento in dettaglio: Polinomi ortogonali .

[indice]

Sequenza di polinomi ortonormali

Sequenza polinomiale costituita da polinomi ortonormali .

Lo stesso argomento in dettaglio: Polinomi ortogonali .

[indice]

Sequenza di tipo binomiale

Sequenza polinomiale per i cui componenti valgono le uguaglianze

p_{n}(x,y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,p_{k}(x)\,p_{n-k}(y).

p_{n}(x,y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,p_{k}(x)\,p_{nk}(y).

p_{n}(x,y)=\sum _{{k=0}}^{n}{n \choose k}\,p_{k}(x)\,p_{{n-k}}(y).

Il loro insieme è contenuto propriamente nell'insieme delle sequenze di Sheffer

Lo stesso argomento in dettaglio: Sequenza di tipo binomiale .

[indice]

Sequenza di Sheffer

Sequenza polinomiale per i cui componenti p _n (x) vale una uguaglianza del tipo Q p _n (x) = np _n-1 (x)p per qualche operatore shift-covariante Q

Lo stesso argomento in dettaglio: Sequenza di Sheffer .

[indice]

Sequenza polinomiale

Successione di polinomi p _n (x) per n=0,1,2,.. . tale che p _n (x) ha grado n

Lo stesso argomento in dettaglio: Sequenza polinomiale .

[indice]

Successione polinomiale graduale

Sinonimo di sequenza polinomiale .

Sequenza di Sturm

Una sequenza di Sturm su un intervallo finito o infinito ( a,b) è una sequenza finita di polinomi p ₁ (x), p ₂ (x), ..., p _n (x) in cui l'ultimo polinomio p _n (x) non si annulla mai nell'intervallo (a,b) , e per ogni radice

x_{0}

x_{0}

x_0

di uno qualunque degli altri polinomi

p_{k}(x)

p_{k}(x)

p_{k}(x)

si ha

p _k-1 (x ₀ ) p _k+1 (x ₀ ) < 0

Lo stesso argomento in dettaglio: Sequenza di Sturm .

[indice]

Simmetrico (polinomio)

Polinomio che non varia se si scambiano fra loro due o più variabili, come, per esempio nel polinomio

x^{2}+y^{2}+z^{2}

x^{2}+y^{2}+z^{2}

x^{2}+y^{2}+z^{2}

Lo stesso argomento in dettaglio: Polinomio simmetrico .

[indice]

Somma di polinomi

Sommare due polinomi significa formare un terzo polinomio sommando algebricamente tutti i monomi dei due polinomi addendi eseguendo nel contempo la somma dei monomi simili

Lo stesso argomento in dettaglio: Polinomio .

[indice]

Sviluppo binomiale

Sinonimo di Teorema binomiale

[indice]

T

Teorema binomiale

Il teorema binomiale (chiamato anche formula o binomio di Newton ) esprime lo sviluppo della potenza n -ma di un binomio . Considerato il binomio

(a+b)

{\displaystyle (a+b)}

(a+b)

, allora il teorema binomiale afferma che

(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}

(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{nk}b^{k}

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^{k}

dove

{n \choose k}

{n \choose k}

{n \choose k}

rappresenta il coefficiente binomiale , che vale

{\frac {n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!}}

{\frac {n!}{k!\cdot \left(nk\right)!}}

{\frac {n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!}}

( n ! è il fattoriale di n ):

Il teorema vale per i numeri reali , i complessi , e in generale vale in ogni anello commutativo .

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema binomiale .

[indice]

Teorema del resto

Il teorema del resto afferma che il resto della divisione di un polinomio P(x) per il binomio (xa) (il resto è quindi una costante) corrisponde al valore che il polinomio assume in a , quindi a P(a)

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del resto .

[indice]

Teorema delle radici razionali

Il teorema delle radici razionali afferma che le eventuali radici razionali di un polinomio a coefficienti interi in una variabile, hanno come numeratore un divisore del termine noto e come denominatore un divisore del coefficiente direttore (coefficiente del monomio di grado massimo)

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema delle radici razionali .

[indice]

Teorema di Abel-Ruffini

Questo teorema afferma che non è possibile trovare una formula generale che permetta di esprimere, tramite radicali, le soluzioni di equazioni algebriche complete di grado superiore al quarto

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Abel-Ruffini .

[indice]

Teorema di Ruffini

Il teorema di Ruffini è un corollario del teorema del resto e afferma che un polinomio P(x) è divisibile per il binomio (xa) se e solo P(a)=0 . In questo modo è possibile sapere se un polinomio è divisibile per un binomio senza eseguire la divisione

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Ruffini .

[indice]

Teorema fondamentale dell'algebra

Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che ogni polinomio a coefficienti complessi ha sempre almeno una radice complessa. Dal teorema segue che il polinomio ammette precisamente n radici, contate con la loro molteplicità .

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema fondamentale dell'algebra .

[indice]

Termine di un polinomio

Ciascuno dei monomi che costituiscono il polinomio

Lo stesso argomento in dettaglio: Polinomio .

[indice]

Termine noto (di un polinomio)

Monomio di grado zero di un polinomio ridotto in forma normale . È costituito solo da un numero (non contiene variabili)

Lo stesso argomento in dettaglio: Polinomio .

[indice]

Touchard (polinomi di)

I polinomi di Touchard costituiscono una sequenza polinomiale di tipo binomiale che può essere definita ricorsivamente tramite la formula

T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).

T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).

T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).

Sono chiamati anche “polinomi esponenziali”

Lo stesso argomento in dettaglio: Polinomi di Touchard .

[indice]

Trinomio

Polinomio costituito da tre monomi

Lo stesso argomento in dettaglio: Polinomio e Trinomio .

[indice]

Trigonometrici (polinomi)

Un polinomio trigonometrico è una combinazione lineare delle funzioni trigonometriche seno e coseno . In pratica quindi è un polinomio in cui le variabili sono mediate da una funzione trigonometrica (per es.