Descompunerea în fracții parțiale pe reali

Descompunerea fracției parțiale este o metodă de transformare a raportului a două polinoame ale $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $P(x)/Q(x)$ ${\ displaystyle P (x) / Q (x)}$ $P (x) / Q (x)$ , unde este $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ are diplomă în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ mai puțin de diplomă în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $Q(x)$ ${\ displaystyle Q (x)}$ $Q (x)$ , în suma mai multor fracții numite parțiale. De exemplu

${\frac {3x+1}{x^{2}-1}}={\frac {2}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {3x + 1} {x ^ {2} -1}} = {\ frac {2} {x-1}} + {\ frac {1} {x + 1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {3x + 1} {x ^ {2} -1}} = {\ frac {2} {x-1}} + {\ frac {1} {x + 1}}}$

sau

${\frac {5x^{2}+2x+7}{x^{3}+x^{2}+x+1}}={\frac {5}{x+1}}+{\frac {2}{x^{2}+1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {5x ^ {2} + 2x + 7} {x ^ {3} + x ^ {2} + x + 1}} = {\ frac {5} {x + 1}} + { \ frac {2} {x ^ {2} +1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {5x ^ {2} + 2x + 7} {x ^ {3} + x ^ {2} + x + 1}} = {\ frac {5} {x + 1}} + { \ frac {2} {x ^ {2} +1}}}$

în zicători generale $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ zerouri ale $Q(x)$ ${\ displaystyle Q (x)}$ $Q (x)$ luate cu multiplicitatea lor și $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ gradul de $Q(x)$ ${\ displaystyle Q (x)}$ $Q (x)$ în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ asa de

${\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {k_{1}}{x-q_{1}}}+{\frac {k_{2}}{x-q_{2}}}+{\frac {k_{3}}{x-q_{3}}}+...+{\frac {k_{u}}{x-q_{u}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}} = {\ frac {k_ {1}} {x-q_ {1}}} + {\ frac {k_ {2}} {x -q_ {2}}} + {\ frac {k_ {3}} {x-q_ {3}}} + ... + {\ frac {k_ {u}} {x-q_ {u}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}} = {\ frac {k_ {1}} {x-q_ {1}}} + {\ frac {k_ {2}} {x -q_ {2}}} + {\ frac {k_ {3}} {x-q_ {3}}} + ... + {\ frac {k_ {u}} {x-q_ {u}}}}$

unde coeficienții $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ sunt soluțiile ecuației

$P(x)=\sum _{n=1}^{u}\prod _{j\not =n}k_{n}\left(x-q_{j}\right)\forall x$ ${\ displaystyle P (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {u} \ prod _ {j \ not = n} k_ {n} \ left (x-q_ {j} \ right) \ forall x}$ ${\ displaystyle P (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {u} \ prod _ {j \ not = n} k_ {n} \ left (x-q_ {j} \ right) \ forall x}$

Este deosebit de interesant de observat că suma tuturor coeficienților de ordinul 1 trebuie să fie egală cu:

$\lim _{x\to \infty }x{\frac {P(x)}{Q(x)}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} x {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} x {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}$

Descompunerea în fracții parțiale este foarte utilă pentru derivarea unor integrale nedeterminate . De exemplu pentru a găsi integralul nedefinit al $(x-3)/(x^{2}-1)$ ${\ displaystyle (x-3) / (x ^ {2} -1)}$ ${\ displaystyle (x-3) / (x ^ {2} -1)}$ operezi

$\int _{}{\frac {x-3}{x^{2}-1}}dx=\int _{}{\frac {2}{x+1}}dx-\int _{}{\frac {1}{x-1}}dx$ ${\ displaystyle \ int _ {} {\ frac {x-3} {x ^ {2} -1}} dx = \ int _ {} {\ frac {2} {x + 1}} dx- \ int _ {} {\ frac {1} {x-1}} dx}$ ${\ displaystyle \ int _ {} {\ frac {x-3} {x ^ {2} -1}} dx = \ int _ {} {\ frac {2} {x + 1}} dx- \ int _ {} {\ frac {1} {x-1}} dx}$

prin urmare

$\int _{}{\frac {x-3}{x^{2}-1}}dx=2\ln \left(x+1\right)-\ln \left(x-1\right)+c$ ${\ displaystyle \ int _ {} {\ frac {x-3} {x ^ {2} -1}} dx = 2 \ ln \ left (x + 1 \ right) - \ ln \ left (x-1 \ dreapta) + c}$ ${\ displaystyle \ int _ {} {\ frac {x-3} {x ^ {2} -1}} dx = 2 \ ln \ left (x + 1 \ right) - \ ln \ left (x-1 \ dreapta) + c}$

Exemple

${\dfrac {1}{x^{2}-1}}={\dfrac {A}{x-1}}+{\dfrac {B}{x+1}}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {1} {x ^ {2} -1}} = {\ dfrac {A} {x-1}} + {\ dfrac {B} {x + 1}}}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {1} {x ^ {2} -1}} = {\ dfrac {A} {x-1}} + {\ dfrac {B} {x + 1}}}$

Observăm că, înmulțind totul cu $x-1$ ${\ displaystyle x-1}$ ${\ displaystyle x-1}$ , noi obținem:

{\dfrac {1}{x+1}}=A+{\dfrac {B(x-1)}{x+1}}

{\ displaystyle {\ dfrac {1} {x + 1}} = A + {\ dfrac {B (x-1)} {x + 1}}}

{\ displaystyle {\ dfrac {1} {x + 1}} = A + {\ dfrac {B (x-1)} {x + 1}}}

De cand $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o constantă, va avea aceeași valoare pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ; în special, alegând $x=1$ ${\ displaystyle x = 1}$ $x = 1$ :

{\dfrac {1}{2}}=A

{\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}} = A}

{\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}} = A}

În mod similar, înmulțind totul cu $x+1$ ${\ displaystyle x + 1}$ ${\ displaystyle x + 1}$ :

{\dfrac {1}{x-1}}={\dfrac {A(x+1)}{x-1}}+B

{\ displaystyle {\ dfrac {1} {x-1}} = {\ dfrac {A (x + 1)} {x-1}} + B}

{\ displaystyle {\ dfrac {1} {x-1}} = {\ dfrac {A (x + 1)} {x-1}} + B}

și, prin urmare, ales $x=-1$ ${\ displaystyle x = -1}$ ${\ displaystyle x = -1}$ :

-{\dfrac {1}{2}}=B

{\ displaystyle - {\ dfrac {1} {2}} = B}

{\ displaystyle - {\ dfrac {1} {2}} = B}

Prin urmare:

{\dfrac {1}{x^{2}-1}}={\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {1}{x-1}}-{\dfrac {1}{x+1}}\right)

{\ displaystyle {\ dfrac {1} {x ^ {2} -1}} = {\ dfrac {1} {2}} \ left ({\ dfrac {1} {x-1}} - {\ dfrac { 1} {x + 1}} \ dreapta)}

{\ displaystyle {\ dfrac {1} {x ^ {2} -1}} = {\ dfrac {1} {2}} \ left ({\ dfrac {1} {x-1}} - {\ dfrac { 1} {x + 1}} \ dreapta)}

${\dfrac {1}{x\left(x^{2}+1\right)}}={\dfrac {A}{x}}+{\dfrac {Bx+C}{x^{2}+1}}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {1} {x \ left (x ^ {2} +1 \ right)}} = {\ dfrac {A} {x}} + {\ dfrac {Bx + C} {x ^ { 2} +1}}}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {1} {x \ left (x ^ {2} +1 \ right)}} = {\ dfrac {A} {x}} + {\ dfrac {Bx + C} {x ^ { 2} +1}}}$

Înmulțim totul cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și evaluăm în $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ :

1=A

{\ displaystyle 1 = A}

{\ displaystyle 1 = A}

În mod similar, înmulțim totul cu ${\dfrac {x^{2}+1}{x}}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {x ^ {2} +1} {x}}}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {x ^ {2} +1} {x}}}$ și facem limita pentru $x\to +\infty$ ${\ displaystyle x \ to + \ infty}$ ${\ displaystyle x \ to + \ infty}$ :

B=-\lim _{x\to +\infty }{\left(A{\dfrac {x^{2}+1}{x^{2}}}+{\frac {C}{x}}-{\dfrac {1}{x^{2}}}\right)}=-1

{\ displaystyle B = - \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ left (A {\ dfrac {x ^ {2} +1} {x ^ {2}}} + {\ frac {C} { x}} - {\ dfrac {1} {x ^ {2}}} \ right)} = - 1}

{\ displaystyle B = - \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ left (A {\ dfrac {x ^ {2} +1} {x ^ {2}}} + {\ frac {C} { x}} - {\ dfrac {1} {x ^ {2}}} \ right)} = - 1}

folosind faptul că $A=1$ ${\ displaystyle A = 1}$ ${\ displaystyle A = 1}$ . În cele din urmă, înmulțind totul cu $x^{2}+1$ ${\ displaystyle x ^ {2} +1}$ ${\ displaystyle x ^ {2} +1}$ și stabilirea limitei pentru $x\to +\infty$ ${\ displaystyle x \ to + \ infty}$ ${\ displaystyle x \ to + \ infty}$ :