Criteriul Descartes

Articol principal: Ecuația algebrică .

Criteriul lui Descartes , descris în cartea sa La Géométrie , este o regulă algebrică care determină numărul maxim de rădăcini reale pozitive și negative ale unui polinom cu coeficienți reali.

Regula lui Descartes

Să se dea un polinom cu coeficienți reali :

P(x)=a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\,\!

{\ displaystyle P (x) = a_ {n} x ^ {n} + \ ldots + a_ {1} x + a_ {0} \, \!}

P (x) = a_ {n} x ^ {n} + \ ldots + a_ {1} x + a_ {0} \, \!

cu coeficienți $a_{n},\ldots ,a_{0}$ ${\ displaystyle a_ {n}, \ ldots, a_ {0}}$ $a_ {n}, \ ldots, a_ {0}$ reale și nu toate nule. Regula lui Descartes afirmă că:

Numărul maxim de rădăcini reale pozitive ale unui polinom ^[1] este dat de numărul de variații ale semnului între coeficienți consecutivi, neglijând orice coeficienți nuli. Mai mult, rădăcinile sunt ordonate în modul descrescător de la cel corespunzător perechii de coeficienți la gradul maxim și imediat precedent până la cel corespunzător perechii de coeficienți liniari și de grad zero.

Informațiile referitoare la numărul rădăcinilor negative sunt deduse prin aplicarea aceleiași reguli polinomului transformat în rădăcini opuse, adică polinomului $P(-x)$ ${\ displaystyle P (-x)}$ $P (-x)$ . De fapt, are rădăcini opuse celor de $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ . Prin urmare: variațiile relative la coeficienții polinomului $P(-x)$ ${\ displaystyle P (-x)}$ $P (-x)$ oferă informații despre rădăcinile sale pozitive și, în consecință, despre rădăcinile negative ale $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ .

Dacă polinomul are toate rădăcinile ne- imaginare , numărul rădăcinilor pozitive este maxim. Criteriul Routh-Hurwitz se rafinează prin determinarea numărului efectiv de rădăcini cu partea reală pozitivă și negativă.

Exemplu

Polinomul $P(x)=x^{5}-13x^{3}+36x$ ${\ displaystyle P (x) = x ^ {5} -13x ^ {3} + 36x}$ $P (x) = x ^ {5} -13x ^ {3} + 36x$ are două variații de semn între coeficienții de grad $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ Și $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ și între coeficienții de grad $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ Și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Acest lucru indică faptul că pot exista $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ sau nici o rădăcină pozitivă.

Polinomul transformat cu rădăcini opuse este:

$P(-x)=-x^{5}+13x^{3}-36x$ ${\ displaystyle P (-x) = - x ^ {5} + 13x ^ {3} -36x}$ $P (-x) = - x ^ {5} + 13x ^ {3} -36x$

care are două variante de semn. Acest lucru indică faptul că polinomul $P(-x)$ ${\ displaystyle P (-x)}$ ${\ displaystyle P (-x)}$ poate avea două sau deloc rădăcini pozitive și, prin urmare, polinomul inițial poate avea două sau deloc rădăcini negative.

Rădăcinile polinomului $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ Sunt $0,-2,+2,-3,+3$ ${\ displaystyle 0, -2, + 2, -3, + 3}$ ${\ displaystyle 0, -2, + 2, -3, + 3}$ .

Rețineți că absența permanenței semnelor în polinomul inițial (0 permanențe) nu oferă absolut nicio informație despre numărul rădăcinilor negative (care, de fapt, se dovedește a fi egal cu $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ ).

Notă

^ pentru multiplicitatea lor

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Criteriul Descartes , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] tru multiplicitatea lor

[1]