Polinom trigonometric

În matematică , un polinom trigonometric este o combinație liniară finită de funcții $\sin(nx)$ ${\ displaystyle \ sin (nx)}$ $\ sin (nx)$ Și $\cos(nx)$ ${\ displaystyle \ cos (nx)}$ $\ cos (nx)$ pentru unele valori ale $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ numere întregi pozitive. O serie Fourier trunchiată este un polinom trigonometric.

Polinoamele trigonometrice sunt utilizate, de exemplu, în interpolare trigonometrică utilizată pentru interpolare funcțiilor periodice și în transformata Fourier discretă .

Termenul de polinom trigonometric derivă din analogia utilizării funcțiilor $\sin(nx)$ ${\ displaystyle \ sin (nx)}$ $\ sin (nx)$ Și $\cos(nx)$ ${\ displaystyle \ cos (nx)}$ $\ cos (nx)$ la o bază de monomii pentru polinoame .

Definiție formală

O functie $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ a formei

T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+i\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} ),

{\ displaystyle T (x) = a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} \ cos (nx) + i \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ { n} \ sin (nx) \ qquad (x \ in \ mathbb {R}),}

T (x) = a_ {0} + \ sum _ {{n = 1}} ^ {N} a_ {n} \ cos (nx) + i \ sum _ {{n = 1}} ^ {N} b_ {n} \ sin (nx) \ qquad (x \ in \ mathbb {R}),

cu $a_{n},b_{n}\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ in \ mathbb {C}}$ pentru $n=0,\ldots ,N$ ${\ displaystyle n = 0, \ ldots, N}$ $n = 0, \ ldots, N$ și cel puțin unul dintre $a_{N}$ ${\ displaystyle a_ {N}}$ $a_ {N}$ Și $b_{N}$ ${\ displaystyle b_ {N}}$ $b_ {N}$ non-zero, se numește polinom trigonometric complex de grad $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ . Folosind formula lui Euler, polinomul poate fi rescris ca

T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\qquad (x\in \mathbb {R} ).

{\ displaystyle T (x) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} c_ {n} și ^ {inx} \ qquad (x \ in \ mathbb {R}).}

T (x) = \ sum _ {{n = -N}} ^ {N} c_ {n} și ^ {{inx}} \ qquad (x \ in \ mathbb {R}).

În mod similar, dacă $a_{n},b_{n}\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ in \ mathbb {R}}$ $a_ {n}, b_ {n} \ în \ mathbb {R}$ pentru $n=0,\ldots ,N$ ${\ displaystyle n = 0, \ ldots, N}$ $n = 0, \ ldots, N$ și cel puțin unul dintre $a_{N}$ ${\ displaystyle a_ {N}}$ $a_ {N}$ Și $b_{N}$ ${\ displaystyle b_ {N}}$ $b_ {N}$ diferit de zero, funcția

t(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} ),

{\ displaystyle t (x) = a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} \ cos (nx) + \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n } \ sin (nx) \ qquad (x \ in \ mathbb {R}),}

t (x) = a_ {0} + \ sum _ {{n = 1}} ^ {N} a_ {n} \ cos (nx) + \ sum _ {{n = 1}} ^ {N} b_ { n} \ sin (nx) \ qquad (x \ in \ mathbb {R}),

se numește adevăratul polinom trigonometric de grad $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ .

Proprietate

Un polinom trigonometric de grad $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ poate fi considerat ca o funcție periodică pe linia reală cu punct $2\pi N$ ${\ displaystyle 2 \ pi N}$ $2 \ pi N$ sau ca o funcție (non-periodică) pe cercul unității .

Un polinom trigonometric care nu este identic zero de grad $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ are cel mult $2N$ ${\ displaystyle 2N}$ $2N$ rădăcini în fiecare interval $[a,a+2\pi )$ ${\ displaystyle [a, a + 2 \ pi)}$ $[a, a + 2 \ pi)$ pentru fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ real .

Setul de polinoame trigonometrice este dens în spațiul funcțiilor continue pe cercul unitar cu norma uniformă . Acesta este un caz special al teoremei Stone-Weierstrass . Mai precis: pentru fiecare funcție continuă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un polinom trigonometric $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ astfel încât $|f(x)-T(x)|<\varepsilon$ ${\ displaystyle | f (x) -T (x) | <\ varepsilon}$ $| f (x) -T (x) | <\ varepsilon$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Teorema lui Fejér afirmă că media aritmetică a sumelor parțiale ale seriei Fourier a unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ converge lin către $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Bibliografie

( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , New York, McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică