Identitatea lui Newton

În matematică , identitățile lui Newton , numite și formule Newton - Girard , descriu relațiile care leagă polinoame simetrice elementare cu alte polinoame simetrice obținute prin adăugarea de puteri. Ele pot fi, de asemenea, interpretate ca relații care leagă coeficienții unui polinom monic cu rădăcinile sale, mai precis, cu suma rădăcinilor, suma pătratelor rădăcinilor etc. ^[1] Au fost descoperite de Isaac Newton în jurul anului 1666 ; probabil că nu știa de o lucrare anterioară a lui Albert Girard din 1629 . Aceste identități au aplicații imediate în multe domenii ale matematicii , inclusiv teoria Galois , teoria invariantă , teoria grupurilor , combinatorica și chiar dincolo de aceasta, cum ar fi în relativitatea generală .

Enunț în forma referitoare la polinoamele simetrice elementare

De sine $x_{1},...,x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {1}, ..., x_ {n}}$ $x_ {1}, ..., x_ {n}$ sunt variabile, să definim, pentru $k\geq 1$ ${\ displaystyle k \ geq 1}$ $k \ geq 1$ , polinomul $p_{k}(x_{1},...,x_{n})$ ${\ displaystyle p_ {k} (x_ {1}, ..., x_ {n})}$ ${\ displaystyle p_ {k} (x_ {1}, ..., x_ {n})}$ ca suma a $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -puterile a $x_{1},...,x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {1}, ..., x_ {n}}$ $x_ {1}, ..., x_ {n}$ , acesta este:

p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=x_{1}^{k}+\cdots +x_{n}^{k}.

{\ displaystyle p_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum \ nolimits _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {k} = x_ {1} ^ {k} + \ cdots + x_ {n} ^ {k}.}

{\ displaystyle p_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum \ nolimits _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {k} = x_ {1} ^ {k} + \ cdots + x_ {n} ^ {k}.}

Pentru k ≥ 0 fie e _k ( x ₁ , ..., x _n ) polinoamele simetrice elementare, adică suma tuturor produselor posibile ale k variabile distincte:

{\begin{aligned}e_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=1,\\e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n},\\e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j},\\\dots \\e_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}x_{2}\cdots x_{n},\\e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0,\quad {\text{per}}\ k>n.\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} e_ {0} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = 1, \\ e_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} ) & = x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}, \\ e_ {2} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = \ textstyle \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} x_ {i} x_ {j}, \\\ dots \\ e_ {n} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = x_ {1} x_ { 2} \ cdots x_ {n}, \\ e_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = 0, \ quad {\ text {per}} \ k> n. \\\ sfârșit {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} e_ {0} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = 1, \\ e_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} ) & = x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}, \\ e_ {2} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = \ textstyle \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} x_ {i} x_ {j}, \\\ dots \\ e_ {n} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = x_ {1} x_ { 2} \ cdots x_ {n}, \\ e_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = 0, \ quad {\ text {per}} \ k> n. \\\ sfârșit {aliniat}}}

Identitățile lui Newton pot fi apoi declarate ca:

ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),

{\ displaystyle ke_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {i = 1} ^ {k} (- 1) ^ {i-1} e_ {ki} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) p_ {i} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}),}

{\ displaystyle ke_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {i = 1} ^ {k} (- 1) ^ {i-1} e_ {ki} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) p_ {i} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}),}

pentru toate k ≥ 1. În special, pentru primele valori ale lui k :

{\begin{aligned}e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\2e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})-p_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\3e_{3}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})-e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})+p_{3}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} e_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = p_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), \\ 2e_ {2} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = e_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) p_ {1} (x_ {1}, \ ldots , x_ {n}) - p_ {2} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), \\ 3e_ {3} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = e_ { 2} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) p_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) - e_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ { n}) p_ {2} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) + p_ {3} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}). \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} e_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = p_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), \\ 2e_ {2} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = e_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) p_ {1} (x_ {1}, \ ldots , x_ {n}) - p_ {2} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), \\ 3e_ {3} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = e_ { 2} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) p_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) - e_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ { n}) p_ {2} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) + p_ {3} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}). \\\ end {align}}}

Cazul rădăcinilor unui polinom

Luați în considerare un polinom de grad n cu exact n rădăcini în inelul în care lucrăm:

p(\lambda )=\prod _{\alpha =1}^{n}\left(\lambda -x_{\alpha }\right)=\sum _{j=0}^{n}a_{j}\lambda ^{j}

{\ displaystyle p (\ lambda) = \ prod _ {\ alpha = 1} ^ {n} \ left (\ lambda -x _ {\ alpha} \ right) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} a_ {j} \ lambda ^ {j}}

{\ displaystyle p (\ lambda) = \ prod _ {\ alpha = 1} ^ {n} \ left (\ lambda -x _ {\ alpha} \ right) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} a_ {j} \ lambda ^ {j}}

unde este $x_{\alpha }$ ${\ displaystyle x _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle x _ {\ alpha}}$ sunt rădăcinile și $a_{j}$ ${\ displaystyle a_ {j}}$ ${\ displaystyle a_ {j}}$ sunt coeficienții .

Definim suma puterilor

t_{j}=\sum _{\alpha =1}^{n}x_{\alpha }^{j}

{\ displaystyle t_ {j} = \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {n} x _ {\ alpha} ^ {j}}

{\ displaystyle t_ {j} = \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {n} x _ {\ alpha} ^ {j}}

Apoi identitățile lui Newton oferă:

t_{1}=a_{1}

{\ displaystyle t_ {1} = a_ {1}}

{\ displaystyle t_ {1} = a_ {1}}

t_{2}=a_{1}t_{1}-2a_{2}

{\ displaystyle t_ {2} = a_ {1} t_ {1} -2a_ {2}}

{\ displaystyle t_ {2} = a_ {1} t_ {1} -2a_ {2}}

t_{3}=a_{1}t_{2}-a_{2}t_{1}+3a_{3}

{\ displaystyle t_ {3} = a_ {1} t_ {2} -a_ {2} t_ {1} + 3a_ {3}}

{\ displaystyle t_ {3} = a_ {1} t_ {2} -a_ {2} t_ {1} + 3a_ {3}}

t_{4}=a_{1}t_{3}-a_{2}t_{2}+a_{3}t_{1}-4a_{4}

{\ displaystyle t_ {4} = a_ {1} t_ {3} -a_ {2} t_ {2} + a_ {3} t_ {1} -4a_ {4}}

{\ displaystyle t_ {4} = a_ {1} t_ {3} -a_ {2} t_ {2} + a_ {3} t_ {1} -4a_ {4}}

t_{5}=a_{1}t_{4}-a_{2}t_{3}+a_{3}t_{2}-a_{4}t_{1}+5a_{5}

{\ displaystyle t_ {5} = a_ {1} t_ {4} -a_ {2} t_ {3} + a_ {3} t_ {2} -a_ {4} t_ {1} + 5a_ {5}}

{\ displaystyle t_ {5} = a_ {1} t_ {4} -a_ {2} t_ {3} + a_ {3} t_ {2} -a_ {4} t_ {1} + 5a_ {5}}

Din aceste relații putem obține cu ușurință formule utile care exprimă suma puterilor în termeni de coeficienți:

t_{1}=a_{1}

{\ displaystyle t_ {1} = a_ {1}}

{\ displaystyle t_ {1} = a_ {1}}

t_{2}=a_{1}^{2}-2a_{2}

{\ displaystyle t_ {2} = a_ {1} ^ {2} -2a_ {2}}

{\ displaystyle t_ {2} = a_ {1} ^ {2} -2a_ {2}}

t_{3}=a_{1}^{3}-3a_{1}a_{2}+3a_{3}

{\ displaystyle t_ {3} = a_ {1} ^ {3} -3a_ {1} a_ {2} + 3a_ {3}}

{\ displaystyle t_ {3} = a_ {1} ^ {3} -3a_ {1} a_ {2} + 3a_ {3}}

t_{4}=a_{1}^{4}-4a_{1}^{2}a_{2}+4a_{1}a_{3}+2a_{2}^{2}-4a_{4}

{\ displaystyle t_ {4} = a_ {1} ^ {4} -4a_ {1} ^ {2} a_ {2} + 4a_ {1} a_ {3} + 2a_ {2} ^ {2} -4a_ { 4}}

{\ displaystyle t_ {4} = a_ {1} ^ {4} -4a_ {1} ^ {2} a_ {2} + 4a_ {1} a_ {3} + 2a_ {2} ^ {2} -4a_ { 4}}

t_{5}=a_{1}^{5}-5a_{1}^{3}a_{2}+5a_{1}^{2}a_{3}+5a_{1}a_{2}^{2}-5a_{1}a_{4}-5a_{2}a_{3}+5a_{5}

{\ displaystyle t_ {5} = a_ {1} ^ {5} -5a_ {1} ^ {3} a_ {2} + 5a_ {1} ^ {2} a_ {3} + 5a_ {1} a_ {2 } ^ {2} -5a_ {1} a_ {4} -5a_ {2} a_ {3} + 5a_ {5}}

{\ displaystyle t_ {5} = a_ {1} ^ {5} -5a_ {1} ^ {3} a_ {2} + 5a_ {1} ^ {2} a_ {3} + 5a_ {1} a_ {2 } ^ {2} -5a_ {1} a_ {4} -5a_ {2} a_ {3} + 5a_ {5}}

În cele din urmă putem rezolva expresiile pentru a da coeficienții ca o sumă de puteri:

a_{1}=t_{1}

{\ displaystyle a_ {1} = t_ {1}}

{\ displaystyle a_ {1} = t_ {1}}

a_{2}={\frac {1}{2}}\left(t_{1}^{2}-t_{2}\right)

{\ displaystyle a_ {2} = {\ frac {1} {2}} \ left (t_ {1} ^ {2} -t_ {2} \ right)}

{\ displaystyle a_ {2} = {\ frac {1} {2}} \ left (t_ {1} ^ {2} -t_ {2} \ right)}

a_{3}={\frac {1}{6}}\left(t_{1}^{3}-3t_{1}t_{2}+2t_{3}\right)

{\ displaystyle a_ {3} = {\ frac {1} {6}} \ left (t_ {1} ^ {3} -3t_ {1} t_ {2} + 2t_ {3} \ right)}

{\ displaystyle a_ {3} = {\ frac {1} {6}} \ left (t_ {1} ^ {3} -3t_ {1} t_ {2} + 2t_ {3} \ right)}

a_{4}={\frac {1}{24}}\left(t_{1}^{4}-6t_{1}^{2}t_{2}+3t_{2}^{2}+8t_{1}t_{3}-6t_{4}\right)

{\ displaystyle a_ {4} = {\ frac {1} {24}} \ left (t_ {1} ^ {4} -6t_ {1} ^ {2} t_ {2} + 3t_ {2} ^ {2 } + 8t_ {1} t_ {3} -6t_ {4} \ right)}

{\ displaystyle a_ {4} = {\ frac {1} {24}} \ left (t_ {1} ^ {4} -6t_ {1} ^ {2} t_ {2} + 3t_ {2} ^ {2 } + 8t_ {1} t_ {3} -6t_ {4} \ right)}

a_{5}={\frac {1}{120}}\left(t_{1}^{5}-10t_{1}^{3}t_{2}+20t_{1}t_{2}^{2}+15t_{1}^{2}t_{3}-30t_{1}t_{4}-20t_{2}t_{3}+24t_{5}\right)

{\ displaystyle a_ {5} = {\ frac {1} {120}} \ left (t_ {1} ^ {5} -10t_ {1} ^ {3} t_ {2} + 20t_ {1} t_ {2 } ^ {2} + 15t_ {1} ^ {2} t_ {3} -30t_ {1} t_ {4} -20t_ {2} t_ {3} + 24t_ {5} \ right)}

{\ displaystyle a_ {5} = {\ frac {1} {120}} \ left (t_ {1} ^ {5} -10t_ {1} ^ {3} t_ {2} + 20t_ {1} t_ {2 } ^ {2} + 15t_ {1} ^ {2} t_ {3} -30t_ {1} t_ {4} -20t_ {2} t_ {3} + 24t_ {5} \ right)}

si asa mai departe.

Aplicație pentru calcularea polinomului caracteristic al unei matrice (sau a unui operator)

Dacă polinomul luat în considerare este polinomul caracteristic al unui operator liniar (sau al unei matrice ), atunci rădăcinile sale sunt valorile proprii ale operatorului (sau ale matricei).

Se întâmplă că în acest caz fiecare $t_{j}$ ${\ displaystyle t_ {j}}$ ${\ displaystyle t_ {j}}$ este urma puterii j- a matricei:

t_{j}={\rm {tr}}\,\left(A^{j}\right).

{\ displaystyle t_ {j} = {\ rm {tr}} \, \ left (A ^ {j} \ right).}

{\ displaystyle t_ {j} = {\ rm {tr}} \, \ left (A ^ {j} \ right).}

Identitățile lui Newton oferă astfel o metodă pentru calcularea polinomului caracteristic al unei matrice fără a utiliza determinantul, deoarece $a_{j}$ ${\ displaystyle a_ {j}}$ ${\ displaystyle a_ {j}}$ poate fi obținut în funcție de $t_{j}.$ ${\ displaystyle t_ {j}.}$ ${\ displaystyle t_ {j}.}$ Rețineți că, pentru a aplica această metodă, nu este necesar să se calculeze efectiv valorile proprii, ci doar suma lor, suma pătratelor etc. În special, valorile proprii s-ar putea să nu existe chiar în câmpul în care sunt luați în considerare coeficienții matricei (de exemplu, matricea ar putea avea coeficienți reali, dar cu valori proprii complexe), dar calculele care se efectuează sunt efectuate toate în câmpul coeficienților matricei.

Notă

^ IN Herstein , Topics in Algebra , Exercițiul 5.6.10; Dummit and Foote, Algebra abstractă, exercițiul 14.6.21

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] IN Herstein , Topics in Algebra , Exercițiul 5.6.10; Dummit and Foote, Algebra abstractă, exercițiul 14.6.21

[1]