Numărul lui Euler (teoria numerelor)

În matematică , și în special în teoria numerelor și combinatorică , numerele Euler E _n sunt componentele unei succesiuni de numere întregi care pot fi definite prin următoarea dezvoltare a seriei Maclaurin a funcției secante hiperbolice :

\mathrm {sech} (t)={\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}

{\ displaystyle \ mathrm {sech} (t) = {\ frac {1} {\ cosh t}} = {\ frac {2} {e ^ {t} + e ^ {- t}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {E_ {n}} {n!}} \ cdot t ^ {n}}

{\ displaystyle \ mathrm {sech} (t) = {\ frac {1} {\ cosh t}} = {\ frac {2} {e ^ {t} + e ^ {- t}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {E_ {n}} {n!}} \ cdot t ^ {n}}

unde cosh t denotă funcția de cosinus hiperbolic .

Numerele lui Euler cu indice impar sunt toate nule . Cei cu index egal ^[1] au semne alternative. Unele valori sunt:

Și ₀ = 1

Și ₂ = −1

Și ₄ = 5

Și ₆ = −61

Și ₈ = 1 385

Și ₁₀ = −50 521

E ₁₂ = 2 702 765

E ₁₄ = −199 360 981

E ₁₆ = 19 391 512 145

E ₁₈ = −2 404 879 675 441

Regula generală: dacă indicele este divizibil cu 4, atunci numărul Euler este pozitiv. Dacă nu, este negativ.

Unii autori reindexează secvența pentru a exclude termenii impari (toți nuli) și / sau schimba semnele pentru a avea toate semnele pozitive. Nu ne ținem de astfel de convenții aici.

Trebuie remarcat faptul că, începând de la E ₄ , toate numerele Euler cu semn pozitiv sunt divizibile cu 5. Cele cu semn negativ sunt în mare parte numere compuse (descompozibile în factori primi), dar unele sunt numere prime . În plus față de E ₄ = 5, singurul număr de prime pozitive ale lui Euler sunt prime, de exemplu, numerele E ₆ = −61 și E ₃₈ = −23 489 580 527 043 108 252 017 828 576 198 947 741 . ^[2]

Numerele lui Euler apar și în seria de expansiuni a secantei a lui Maclaurin . De asemenea, oferă valori speciale ale polinoamelor lui Euler și sunt legate de numărul permutațiilor alternative .

Trebuie reamintit că diverse alte entități numerice sunt asociate cu numele lui Euler:

numărul și ,
constanta Euler-Mascheroni ,
caracteristica Euler a topologiei algebrice și a combinatoriei poliedrelor ,
succesiunea cu doi indici a numerelor eulerian ,
numărul Euler (fizica) dinamicii fluidelor.

Notă

^ (EN) secvența A000364 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ Factorizarea numerelor Euler

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Euler Number , în MathWorld Wolfram Research.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 37200

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) secvența A000364 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[2] Factorizarea numerelor Euler

[1]

[2]