Adăugare pe părți

În matematică , adăugarea pe părți , numită și transformarea lui Abel (sau lema ), este o procedură care permite să scrie în alt mod suma (finită sau infinită) a produsului a două secvențe, permițând astfel să aibă o estimare a comportamentului a seriei în termeni de convergență .

Enunțul lemei

Lasa-i sa fie $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ Și $\{b_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ $\ {b_ {n} \}$ două secvențe , și așa să fie

A_{n}=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}}

{\ displaystyle A_ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {a_ {i}}}

{\ displaystyle A_ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {a_ {i}}}

suma parțială $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -thth din $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ , si intreaba $A_{-1}=0$ ${\ displaystyle A _ {- 1} = 0}$ ${\ displaystyle A _ {- 1} = 0}$ . Atunci egalitatea ^{[1] se menține} :

\sum _{i=m}^{n}{a_{i}b_{i}}=A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}+\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}(b_{i}-b_{i+1})}

{\ displaystyle \ sum _ {i = m} ^ {n} {a_ {i} b_ {i}} = A_ {n} b_ {n} -A_ {m-1} b_ {m} + \ sum _ { i = m} ^ {n-1} {A_ {i} (b_ {i} -b_ {i + 1})}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = m} ^ {n} {a_ {i} b_ {i}} = A_ {n} b_ {n} -A_ {m-1} b_ {m} + \ sum _ { i = m} ^ {n-1} {A_ {i} (b_ {i} -b_ {i + 1})}}

.

O formulare echivalentă poate fi exprimată cu operatorul diferenței directe $\Delta {b_{n}}:=b_{n+1}-b_{n}$ ${\ displaystyle \ Delta {b_ {n}}: = b_ {n + 1} -b_ {n}}$ ${\ displaystyle \ Delta {b_ {n}}: = b_ {n + 1} -b_ {n}}$ :

\sum _{i=m}^{n}{b_{i}\Delta {A_{i-1}}}=A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}-\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}\Delta {b_{i}}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = m} ^ {n} {b_ {i} \ Delta {A_ {i-1}}} = A_ {n} b_ {n} -A_ {m-1} b_ {m } - \ sum _ {i = m} ^ {n-1} {A_ {i} \ Delta {b_ {i}}}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = m} ^ {n} {b_ {i} \ Delta {A_ {i-1}}} = A_ {n} b_ {n} -A_ {m-1} b_ {m } - \ sum _ {i = m} ^ {n-1} {A_ {i} \ Delta {b_ {i}}}}

,

care evidențiază analogia dintre această formulă și cea a integrării pe părți :

\int _{a}^{b}{f(x)d(g(x))}=g(b)f(b)-g(a)f(a)-\int _{a}^{b}{g(x)d(f(x))}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {f (x) d (g (x))} = g (b) f (b) -g (a) f (a) - \ int _ {a } ^ {b} {g (x) d (f (x))}}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {f (x) d (g (x))} = g (b) f (b) -g (a) f (a) - \ int _ {a } ^ {b} {g (x) d (f (x))}}

.

Demonstrație

Dovada utilizează numai operații algebrice, ceea ce face formula valabilă în orice domeniu . Lema continuă să se mențină chiar și atunci când o secvență are elemente într-un spațiu vectorial de pe câmp ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ , iar celălalt în ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ .

Pentru definirea $\{A_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {A_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {A_ {n} \}}$ , avem ^[1] :

\sum _{i=m}^{n}{a_{i}b_{i}}=\sum _{i=m}^{n}{(A_{i}-A_{i-1})b_{i}}=\sum _{i=m}^{n}{A_{i}b_{i}}-\sum _{i=m-1}^{n-1}{A_{i}b_{i+1}}=

{\ displaystyle \ sum _ {i = m} ^ {n} {a_ {i} b_ {i}} = \ sum _ {i = m} ^ {n} {(A_ {i} -A_ {i-1 }) b_ {i}} = \ sum _ {i = m} ^ {n} {A_ {i} b_ {i}} - \ sum _ {i = m-1} ^ {n-1} {A_ { i} b_ {i + 1}} =}

{\ displaystyle \ sum _ {i = m} ^ {n} {a_ {i} b_ {i}} = \ sum _ {i = m} ^ {n} {(A_ {i} -A_ {i-1 }) b_ {i}} = \ sum _ {i = m} ^ {n} {A_ {i} b_ {i}} - \ sum _ {i = m-1} ^ {n-1} {A_ { i} b_ {i + 1}} =}

=\left(A_{n}b_{n}+\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}b_{i}}\right)-\left(\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}b_{i+1}}+A_{m-1}b_{m}\right)=A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}+\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}(b_{i}-b_{i+1})}

{\ displaystyle = \ left (A_ {n} b_ {n} + \ sum _ {i = m} ^ {n-1} {A_ {i} b_ {i}} \ right) - \ left (\ sum _ {i = m} ^ {n-1} {A_ {i} b_ {i + 1}} + A_ {m-1} b_ {m} \ right) = A_ {n} b_ {n} -A_ {m -1} b_ {m} + \ sum _ {i = m} ^ {n-1} {A_ {i} (b_ {i} -b_ {i + 1})}}

{\ displaystyle = \ left (A_ {n} b_ {n} + \ sum _ {i = m} ^ {n-1} {A_ {i} b_ {i}} \ right) - \ left (\ sum _ {i = m} ^ {n-1} {A_ {i} b_ {i + 1}} + A_ {m-1} b_ {m} \ right) = A_ {n} b_ {n} -A_ {m -1} b_ {m} + \ sum _ {i = m} ^ {n-1} {A_ {i} (b_ {i} -b_ {i + 1})}}

,

adică teza, QED

Teoreme derivate

Criteriul Dirichlet pentru serii

Același subiect în detaliu: criteriul Dirichlet (matematică) .

Lema lui Abel este folosită pentru a demonstra criteriul lui Dirichlet pentru convergența seriilor ^[2] .

Criteriul Leibniz pentru serii

Același subiect în detaliu: criteriul lui Leibniz .

Criteriul Leibniz poate fi demonstrat într-un mod elementar ca un corolar al criteriului Dirichlet.

Notă

^ ^a ^b Rudin , p. 70 .
^ Rudin , pagina 71

Bibliografie

( EN ) W. Rudin, Principiile analizei matematice , AA Arthur, SL Langman, 1976, p. 70, ISBN 0-07-054235-X .

Elemente conexe

[Rudin70-1] Rudin , p. 70 .

[2] Rudin , pagina 71

[1] se menține

[2]