Teorema numărului prim

În teoria numerelor , teorema numerelor prime descrie distribuția asimptotică a numerelor prime , oferind o descriere aproximativă a modului în care sunt distribuite numerele prime.

Afirmație

Pentru fiecare număr real pozitiv x , definiți funcția:

\pi (x)\,:=\,{\text{ numero di primi minori o uguali a }}x

{\ displaystyle \ pi (x) \ ,: = \, {\ text {număr de numere prime mai mici sau egale cu}} x}

\ pi (x) \ ,: = \, {\ text {număr de numere prime mai mici sau egale cu}} x

Teorema numărului primar afirmă că:

\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}},

{\ displaystyle \ pi (x) \ sim {\ frac {x} {\ ln (x)}},}

\ pi (x) \ sim {\ frac {x} {\ ln (x)}},

unde ln ( x ) este logaritmul natural al lui x . Această notație înseamnă doar că limita coeficientului celor două funcții π ( x ) și x / ln ( x ) pentru x care tinde spre infinit este 1 (vezi estimarea asimptotică ); aceasta nu înseamnă că limita diferenței dintre cele două funcții, pentru x care tinde spre infinit, este 0.

Comparație între funcțiile π ( x ), x / ln x și Li ( x )

O aproximare și mai bună și o estimare pentru termenul de eroare sunt date de formula:

\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-{\frac {1}{15}}{\sqrt {\ln(x)}}}\right)\quad {\mbox{ per }}\quad x\rightarrow \infty

{\ displaystyle \ pi (x) = {\ rm {Li}} (x) + O \ left (xe ^ {- {\ frac {1} {15}} {\ sqrt {\ ln (x)}}} \ right) \ quad {\ mbox {per}} \ quad x \ rightarrow \ infty}

\ pi (x) = {{\ rm {Li}}} (x) + O \ left (xe ^ {{- {\ frac {1} {15}} {\ sqrt {\ ln (x)}}} } \ right) \ quad {\ mbox {per}} \ quad x \ rightarrow \ infty

unde a fost utilizată notația O mare , iar Li ( x ) denotă funcția logaritmului integral .

Ca o consecință a teoremei numărului prim, putem obține o expresie asimptotică pentru al n - lea număr prim p ( n ):

p(n)\sim n\ln(n).

{\ displaystyle p (n) \ sim n \ ln (n).}

p (n) \ sim n \ ln (n).

În mod echivalent, diferența dintre al nouălea prim și următorul este asimptotică pentru:

p(n+1)-p(n)\sim \ln(n).

{\ displaystyle p (n + 1) -p (n) \ sim \ ln (n).}

p (n + 1) -p (n) \ sim \ ln (n).

Următorul este un tabel care compară cele trei funcții π ( x ), x / ln ( x ) și Li ( x ).

X	π ( x )	π ( x ) - x / ln x	π ( x ) / ( x / ln x )	Li ( x ) - π ( x )	π ( x ) / Li ( x )	x / π ( x )
10	4	−0,3	0,921	2.2	0,64516129	2.500
10 ²	25	3.3	1.151	5.1	0,830564784	4.000
10 ³	168	23	1.161	10	0,943820225	5.952
10 ⁴	1 229	143	1.132	17	0.98635634	8.137
10 ⁵	9 592	906	1.104	38	0,996053998	10.425
10 ⁶	78 498	6 116	1,084	130	0,998346645	12,740
10 ⁷	664 579	44 158	1,071	339	0,999490163	15.047
10 ⁸	5 761 455	332 774	1,061	754	0,999869147	17.357
10 ⁹	50 847 534	2 592 592	1,054	1.701	0,999966548	19,667
10 ¹⁰	455 052 511	20 758 029	1,048	3 104	0,999993179	21,975
10 ¹¹	4 118 054 813	169 923 159	1,043	11 588	0,999993179	24.283
10 ¹²	37 607 912 018	1 416 705 193	1,039	38 263	0,999997186	26.590
10 ¹³	346 065 536 839	11 992 858 452	1,034	108 971	0,999998983	28,896
10 ¹⁴	3 204 941 750 802	102 838 308 636	1,033	314 890	0,999999685	31.202
10 ¹⁵	29 844 570 422 669	891 604 962 452	1,031	1 052 619	0,999999902	33.507
10 ¹⁶	279 238 341 033 925	7 804 289 844 393	1,029	3 214 632	0,999999965	35,812
10 ¹⁷	2 623 557 157 654 233	68 883 734 693 281	1,027	7 956 589	0,999999988	38.116
10 ¹⁸	24 739 954 287 740 860	612 483 070 893 536	1,025	21 949 555	0,999999997	40.420
10 ¹⁹	234 057 667 276 344 607	5 481 624 169 369 960	1,024	99 877 775	0,999999999	42,725
10 ²⁰	2 220 819 602 560 918 840	49 347 193 044 659 701	1,023	222 744 644	1.000000000	45.028
10 ²¹	21 127 269 486 018 730 000	446 579 871 578 168 707	1,022	597 394 254	1.000000000	47,332
10 ²²	201 467 286 689 315 900 000	4 060 704 006 019 620 994	1,021	1 932 355 208	1.000000000	49,636
10 ²³	1 925 320 391 606 818 000 000	37 083 513 766 592 670 000	1,020	7 236 148 412	1.000000000	51.939

Istoria teoremei

Această teoremă a fost conjecturată pentru prima dată de Legendre în 1798 și a fost repropusă câțiva ani mai târziu de Gauss în forma echivalentă.

\pi (x)\approx {\rm {Li}}(x).

{\ displaystyle \ pi (x) \ approx {\ rm {Li}} (x).}

\ pi (x) \ approx {{\ rm {Li}}} (x).

Primul rezultat în direcția dovedirii acestei conjecturi a fost dovedit de Chebyshev care în 1848 a arătat că, dacă π ( x ) ln ( x ) / x converge la o limită pentru x care are tendința la infinit, limita trebuie să fie 1. Doi ani mai târziu, Chebyshev el însuși a dovedit că există două constante 0 < a <1 < b astfel încât

a{\frac {x}{\ln(x)}}<\pi (x)<b{\frac {x}{\ln(x)}}

{\ displaystyle a {\ frac {x} {\ ln (x)}} <\ pi (x) <b {\ frac {x} {\ ln (x)}}}

a {\ frac {x} {\ ln (x)}} <\ pi (x) <b {\ frac {x} {\ ln (x)}}

pentru x suficient de mare. Dovezile matematicianului rus se bazează pe formula produsului Euler care afirmă că

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-x}}},

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {x}}} = \ prod _ {p} {\ frac {1} {1-p ^ {- X}}},}

\ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {x}}} = \ prod _ {{p}} {\ frac {1} {1-p ^ { {-X}}}},

pentru x > 1. În 1859 matematicianul german Bernhard Riemann a publicat un articol în care considera că acest produs nu mai este pentru o variabilă reală x , ci pentru o variabilă complexă s cu o parte reală mai mare de 1, definind astfel funcția

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}},

{\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = \ prod _ {p} {\ frac {1} { 1-p ^ {- s}}},}

\ zeta (s) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = \ prod _ {{p}} {\ frac {1} {1-p ^ {{- s}}}},

care a devenit cunoscută sub numele de funcția zeta Riemann . Deși Riemann nu reușește să demonstreze teorema numărului prim, rezultatele obținute de acesta, cum ar fi ecuația funcțională pentru funcția zeta Riemann, și noul punct de vedere pe care îl introduce vor fi fundamentale pentru dovada ulterioară. La aproximativ patruzeci de ani după opera lui Riemann, în 1896 , Hadamard și de la Vallée Poussin au reușit în mod independent să demonstreze teorema numărului prim. Ambele dovezi folosesc metode de analiză complexe și se bazează în principal pe dovada că funcția zeta Riemann nu are zerouri în linia Re ( s ) = 1.

Legătura dintre teorema numărului prim și funcția zeta Riemann este foarte profundă. Mai precis, orice rezultat al absenței zerourilor în banda 1/2 <Re (s) <1 are ca urmare rezultate asupra bunătății aproximării lui π ( x ) cu li (x). Un exemplu în acest sens este dat de rezultatul demonstrat de Helge von Koch în 1901 . De fapt, el a demonstrat că dacă nu există zerouri în acea bandă, atunci

\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln(x)\right)

{\ displaystyle \ pi (x) = {\ rm {Li}} (x) + O \ left ({\ sqrt {x}} \ ln (x) \ right)}

\ pi (x) = {{\ rm {Li}}} (x) + O \ left ({\ sqrt x} \ ln (x) \ right)

^[1]

Cu alte cuvinte, veridicitatea ipotezei Riemann implică o estimare mult mai bună a erorii prezente în teorema numerelor prime decât cele disponibile în prezent și, fundamental, și cea mai bună estimare posibilă.

Problema „profunzimii”

Sunt disponibile așa-numitele „dovezi elementare” ale teoremei, adică dovezi care nu utilizează metode de analiză complexe . Primul dintre acestea a fost furnizat parțial în mod independent de Paul Erdős și Atle Selberg în 1949 ; anterior, unii experți în domeniu credeau că nu se putea găsi o dovadă similară. Cu alte cuvinte, sa afirmat, în special de GH Hardy , că analiza complexă a fost implicată în mod necesar în teoremă, ducând la conceptul de profunzime a teoremelor. Metodele cu numai variabile reale au fost considerate inadecvate. Acesta nu era un concept logic și riguros (și într-adevăr nu poate fi), ci se baza mai degrabă pe opinia că trebuie să existe o ierarhie similară a tehnicilor ( din motive estetice , probabil, în cazul lui Hardy). Formularea acestei credințe a fost mai degrabă zdruncinată de o dovadă a teoremei bazată pe teorema tauberiană a lui Wiener , deși acest lucru poate fi eludat prin atribuirea aceleiași „adâncimi” echivalente metodelor complexe teoremei Wiener.

Munca lui Selberg - Erdős a adus efectiv în joc întregul concept, arătând că metodele elementare din punct de vedere tehnic (cu alte cuvinte combinatorii ) au fost mai incisive decât s-ar fi așteptat. Dezvoltările ulterioare ale metodelor de sită au arătat că acestea joacă un rol bine definit în teoria numerelor prime.

Notă

^ În acest caz, viceversa este, de asemenea, adevărată, adică, dacă această ecuație este adevărată, atunci și ipoteza Riemann este adevărată.

Bibliografie

( EN ) Tom M. Apostol, Introducere în teoria numerelor analitice , Springer-Verlag, New York, 1976, ISBN 0-387-90163-9 .
( EN ) EC Titchmarsh (Autor), DR Heath-Brown (Editor), The Theory of the Riemann Zeta-Function , Oxford Science Publications, 1986, ISBN 0-19-853369-1 .
(EN) Harold M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Courier Dover Publications, 2001, ISBN 0-486-41740-9 .
(EN) Albert Edward Ingham, The Distribution of Prime Numbers, New York, Cambridge Mathematical Library, 1932, ISBN 0-521-39789-8 .

linkuri externe

( EN ) Teorema numerelor prime , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] În acest caz, viceversa este, de asemenea, adevărată, adică, dacă această ecuație este adevărată, atunci și ipoteza Riemann este adevărată.

[1]

V · D · M Teoria numerelor
Cele mai utilizate numere	Natural · Întreg · Par și impar
Principii generale	Principiul inducției · Principiul unei bune ordonări · Relația de echivalență
Secvențe de numere întregi	Factorial · Fibonacci · Număr de catalană · Număr Perrin · Număr de Euler · Secvență Mian-Chowla · Succesiunea lui Thue-Morse
Caracteristicile numerelor prime	Primul număr · lema lui Euclid · Teorema infinitate de numere prime · ciurul Eratostene · teste primality · Teorema fundamentală a aritmeticii · Total acoperire mine · Bézout Identitate · MCD · mcm · algoritmul lui Euclid · Teorema de Prime Numbers
Funcții aritmetice	Funcție multiplicativă · funcție aditivă · convoluție Dirichlet · funcția Euler Euler · funcția Möbius · funcția tau pe pozitiv · funcția sigmoidă · funcția Liouville · funcția Mertens
Aritmetica modulară	Teorema a restului chinez · teorema lui Fermat mici · teorema lui Euler · Criterii de divizibilitate · teorema lui Fermat pe sume de două pătrate · Wilson Teorema · reciprocitatea pătratică
Conjecturi	Conjectura lui Goldbach · Conjectura Polignac · Guess abc · conjectura primelor gemene · Conjectura lui Legendre · Noua conjectură Mersenne · Conjectura Collatz · Ipoteza Riemann
Alte	Problema lui Waring
Principalii teoreticieni	Fibonacci · Fermat · Gauss · Euler · Legendre · Riemann · Dirichlet
Disciplinele conexe	Teoria algebrică a numerelor · Teoria analitică a numerelor · Criptografie · Teoria computațională a numerelor