Funcția Čebyšëv

În matematică , funcția Čebyšëv poate fi una dintre cele două funcții strâns legate. Prima funcție a lui Čebyšëv $\vartheta (x)$ ${\ displaystyle \ vartheta (x)}$ ${\ displaystyle \ vartheta (x)}$ sau $\theta (x)$ ${\ displaystyle \ theta (x)}$ $\ taxa)$ este dat de

\vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p

{\ displaystyle \ vartheta (x) = \ sum _ {p \ leq x} \ log p}

{\ displaystyle \ vartheta (x) = \ sum _ {p \ leq x} \ log p}

cu suma extinsă la toate numerele prime $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ care sunt minori egali cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

A doua funcție a lui Čebyšëv $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi (x)$ este definit în mod similar, cu suma extinsă la toate puterile numerelor prime mai mici decât $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$

\psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,

{\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {k \ in \ mathbb {N}} \ sum _ {p ^ {k} \ leq x} \ log p = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) = \ sum _ {p \ leq x} \ left \ lfloor \ log _ {p} x \ right \ rfloor \ log p,}

{\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {k \ in \ mathbb {N}} \ sum _ {p ^ {k} \ leq x} \ log p = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) = \ sum _ {p \ leq x} \ left \ lfloor \ log _ {p} x \ right \ rfloor \ log p,}

unde este $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ este funcția von Mangoldt . Funcțiile lui Čebyšëv, în special cele din urmă $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi (x)$ , sunt adesea folosite în dovezi legate de numere prime , deoarece este mai ușor să lucrați cu ele decât cu funcția enumerativă a primilor , $\pi (x)$ ${\ displaystyle \ pi (x)}$ $\ pi (x)$ (A se vedea formula exactă, de mai jos.). Ambele funcții Čebyšëv sunt asimptotice a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , o relație valabilă și în teorema numărului prim .

Ambele funcții sunt numite în onoarea lui Pafnutij L'vovič Čebyšëv .

Relaţii

A doua funcție Chebyshev poate fi văzută ca o relație cu prima, scriind-o ca

\psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p

{\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {p \ leq x} k \ log p}

{\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {p \ leq x} k \ log p}

unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este întregul unic astfel încât $p^{k}\leq x$ ${\ displaystyle p ^ {k} \ leq x}$ ${\ displaystyle p ^ {k} \ leq x}$ Și ${\displaystyle x<semantics><mrow class=$ ${\ displaystyle x <p ^ {k + 1}}$ ${\ displaystyle x <p ^ {k + 1}}$ . Valorile $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ sunt date OEIS : ^{[ link rupt ]} . O relație mai directă este dată de

\psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right).

{\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ vartheta \ left (x ^ {\ frac {1} {n}} \ right).}

{\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ vartheta \ left (x ^ {\ frac {1} {n}} \ right).}

Rețineți că această din urmă sumă are un număr finit și termeni diferiți de zero, cum ar fi

\vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right)=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x\ ={\frac {\log x}{\log 2}}.

{\ displaystyle \ vartheta \ left (x ^ {\ frac {1} {n}} \ right) = 0 \ quad {\ text {for}} \ quad n> \ log _ {2} x \ = {\ frac {\ log x} {\ log 2}}.}

{\ displaystyle \ vartheta \ left (x ^ {\ frac {1} {n}} \ right) = 0 \ quad {\ text {for}} \ quad n> \ log _ {2} x \ = {\ frac {\ log x} {\ log 2}}.}

A doua funcție Chebyshev este logaritmul celui mai mic multiplu comun al întregilor de la 1 la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

\operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.

{\ displaystyle \ operatorname {lcm} (1,2, \ dots, n) = e ^ {\ psi (n)}.}

{\ displaystyle \ operatorname {lcm} (1,2, \ dots, n) = e ^ {\ psi (n)}.}

Valorile $lcm(1,2,...,n)$ ${\ displaystyle lcm (1,2, ..., n)}$ ${\ displaystyle lcm (1,2, ..., n)}$ pentru variabilele întregi $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ sunt date OEIS : ^{[ link rupt ]} .

Asimptote și limite

Sunt cunoscute următoarele limite pentru funcția Chebyshev: ^[1] ^[2] (în aceste formule $p_{k}$ ${\ displaystyle p_ {k}}$ $p_ {k}$ si $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ numărul prim $p_{1}=2$ ${\ displaystyle p_ {1} = 2}$ ${\ displaystyle p_ {1} = 2}$ , $p_{2}=3$ ${\ displaystyle p_ {2} = 3}$ ${\ displaystyle p_ {2} = 3}$ , etc.)

{\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2.050735}{\ln k}}\right)&&{\text{per }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2}{\ln k}}\right)&&{\text{per }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788{\frac {x}{\ln x}}&&{\text{per }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409{\frac {x}{\ln x}}&&{\text{per }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{per }}x\geq 121.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta (p_ {k}) & \ geq k \ left (\ ln k + \ ln \ ln k-1 + {\ frac {\ ln \ ln k-2.050735} {\ ln k}} \ right) && {\ text {per}} k \ geq 10 ^ {11}, \\ [8px] \ vartheta (p_ {k}) & \ leq k \ left (\ ln k + \ ln \ ln k-1 + {\ frac {\ ln \ ln k-2} {\ ln k}} \ right) && {\ text {per}} k \ geq 198, \\ [8px] | \ vartheta (x ) - x | & \ leq 0.006788 {\ frac {x} {\ ln x}} && {\ text {per}} x \ geq 10 \, 544 \, 111, \\ [8px] | \ psi (x) -x | & \ leq 0.006409 {\ frac {x} {\ ln x}} && {\ text {per}} x \ geq e ^ {22}, \\ [8px] 0.9999 {\ sqrt {x}} & <\ psi (x) - \ vartheta (x) <1.00007 {\ sqrt {x}} + 1.78 {\ sqrt [{3}] {x}} && {\ text {per}} x \ geq 121. \ end {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta (p_ {k}) & \ geq k \ left (\ ln k + \ ln \ ln k-1 + {\ frac {\ ln \ ln k-2.050735} {\ ln k}} \ right) && {\ text {per}} k \ geq 10 ^ {11}, \\ [8px] \ vartheta (p_ {k}) & \ leq k \ left (\ ln k + \ ln \ ln k-1 + {\ frac {\ ln \ ln k-2} {\ ln k}} \ right) && {\ text {per}} k \ geq 198, \\ [8px] | \ vartheta (x ) - x | & \ leq 0.006788 {\ frac {x} {\ ln x}} && {\ text {per}} x \ geq 10 \, 544 \, 111, \\ [8px] | \ psi (x) -x | & \ leq 0.006409 {\ frac {x} {\ ln x}} && {\ text {per}} x \ geq e ^ {22}, \\ [8px] 0.9999 {\ sqrt {x}} & <\ psi (x) - \ vartheta (x) <1.00007 {\ sqrt {x}} + 1.78 {\ sqrt [{3}] {x}} && {\ text {per}} x \ geq 121. \ end {aliniat}}}

Mai mult, sub ipoteza Riemann ,

{\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)\\|\psi (x)-x|&=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} | \ vartheta (x) -x | & = O \ left (x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon} \ right) \\ | \ psi ( x) -x | & = O \ left (x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon} \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} | \ vartheta (x) -x | & = O \ left (x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon} \ right) \\ | \ psi ( x) -x | & = O \ left (x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon} \ right) \ end {align}}}

pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$

Limitele superioare există pentru ambele $\vartheta (x)$ ${\ displaystyle \ vartheta (x)}$ ${\ displaystyle \ vartheta (x)}$ Și $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi (x)$ astfel încât, ^[3] ^[2]

{\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta (x) & <1.000028x \\\ psi (x) & <1.03883x \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta (x) & <1.000028x \\\ psi (x) & <1.03883x \ end {align}}}

pentru fiecare $x>0$ ${\ displaystyle x> 0}$ $x> 0$ .

OEIS oferă o explicație a constantei 1.03883: ^{[ link rupt ]} .

Formula exactă

În 1895, Hans Carl Friedrich von Mangoldt a dovedit ^[4] o formulă explicită pentru $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi (x)$ ca o sumă a zerourilor non-banale ale funcției zeta Riemann :

\psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).

{\ displaystyle \ psi _ {0} (x) = x- \ sum _ {\ rho} {\ frac {x ^ {\ rho}} {\ rho}} - {\ frac {\ zeta '(0)} {\ zeta (0)}} - {\ tfrac {1} {2}} \ log (1-x ^ {- 2}).}

{\ displaystyle \ psi _ {0} (x) = x- \ sum _ {\ rho} {\ frac {x ^ {\ rho}} {\ rho}} - {\ frac {\ zeta '(0)} {\ zeta (0)}} - {\ tfrac {1} {2}} \ log (1-x ^ {- 2}).}

(Valoarea numerică a ${\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ zeta '(0)} {\ zeta (0)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ zeta '(0)} {\ zeta (0)}}}$ Și $log(2\pi )$ ${\ displaystyle log (2 \ pi)}$ ${\ displaystyle log (2 \ pi)}$ .) Aici $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ presupune valorile zerourilor non-banale ale funcției zeta Rieann și $\psi _{0}$ ${\ displaystyle \ psi _ {0}}$ $\ psi_0$ e la fel $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ , cu excepția faptului că discontinuitatea sa sare (puterile celei dintâi) își asumă valoarea la jumătatea distanței dintre varusul stâng și cel drept:

\psi _{0}(x)={\tfrac {1}{2}}\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{altrimenti.}}\end{cases}}

{\ displaystyle \ psi _ {0} (x) = {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) + \ sum _ {n <x} \ Lambda (n) \ right) = {\ begin {cases} \ psi (x) - {\ tfrac {1} {2}} \ Lambda (x) & x = 2,3,4,5,7,8, 9, 11,13,16, \ dots \\ [5px] \ psi (x) și {\ mbox {altfel.}} \ End {cases}}}

{\ displaystyle \ psi _ {0} (x) = {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) + \ sum _ {n <x} \ Lambda (n) \ right) = {\ begin {cases} \ psi (x) - {\ tfrac {1} {2}} \ Lambda (x) & x = 2,3,4,5,7,8, 9, 11,13,16, \ dots \\ [5px] \ psi (x) și {\ mbox {altfel.}} \ End {cases}}}

Din seria Taylor pentru logaritm , ultimul termen din formula explicită poate fi înțeles ca o însumare a ${\frac {x^{\omega }}{\omega }}$ ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {\ omega}} {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {\ omega}} {\ omega}}}$ a zerourilor non-banale ale funcției zeta Riemann, $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ = −2, −4, −6, ..., adică

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {- 2k}} {- 2k}} = {\ tfrac {1} {2}} \ log \ left (1- x ^ {- 2} \ dreapta).}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {- 2k}} {- 2k}} = {\ tfrac {1} {2}} \ log \ left (1- x ^ {- 2} \ dreapta).}

corespunde polului simplu al funcției zeta din 1. Fiind un pol în loc de zero, reprezintă semnul opus al termenului În mod similar, primul termen, $x={\frac {x^{1}}{1}}$ ${\ displaystyle x = {\ frac {x ^ {1}} {1}}}$ ${\ displaystyle x = {\ frac {x ^ {1}} {1}}}$ , corespunde polului simplu al funcției zeta din 1. Fiind un pol în loc de zero, reprezintă semnul opus al termenului

Proprietate

O teoremă datorată lui Erhard Schmidt afirmă că pentru unele constante pozitive explicite $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , există numere naturale infinite $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ astfel încât

\psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}

{\ displaystyle \ psi (x) -x <-K {\ sqrt {x}}}

{\ displaystyle \ psi (x) -x <-K {\ sqrt {x}}}

și numere naturale infinite $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ astfel încât

\psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.

{\ displaystyle \ psi (x) -x> K {\ sqrt {x}}.}

{\ displaystyle \ psi (x) -x> K {\ sqrt {x}}.}

^[5] ^[6]

În notație $sau$ ${\ displaystyle o}$ $sau$ -mici , ai putea scrie cele de mai sus ca.

\psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\right).

{\ displaystyle \ psi (x) -x \ neq sau \ left ({\ sqrt {x}} \ right).}

{\ displaystyle \ psi (x) -x \ neq sau \ left ({\ sqrt {x}} \ right).}

Hardy și Littlewood ^{[6] au} dovedit că

\psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\log \log \log x\right).

{\ displaystyle \ psi (x) -x \ neq sau \ left ({\ sqrt {x}} \ log \ log \ log x \ right).}

{\ displaystyle \ psi (x) -x \ neq sau \ left ({\ sqrt {x}} \ log \ log \ log x \ right).}

Relațiile cu primorialul

Prima funcție Chebyshev este logaritmul primar al lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , referit ca $x\#$ ${\ displaystyle x \ #}$ ${\ displaystyle x \ #}$ :

\vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).

{\ displaystyle \ vartheta (x) = \ sum _ {p \ leq x} \ log p = \ log \ prod _ {p \ leq x} p = \ log \ left (x \ # \ right).}

{\ displaystyle \ vartheta (x) = \ sum _ {p \ leq x} \ log p = \ log \ prod _ {p \ leq x} p = \ log \ left (x \ # \ right).}

Acest lucru demonstrează că primalul $x\#$ ${\ displaystyle x \ #}$ ${\ displaystyle x \ #}$ este asimptotic egal cu $e^{(1+o(1))x}$ ${\ displaystyle e ^ {(1 + o (1)) x}}$ ${\ displaystyle e ^ {(1 + o (1)) x}}$ , unde este " $sau$ ${\ displaystyle o}$ $sau$ "este notația $sau$ ${\ displaystyle o}$ $sau$ -mic (vezi notația $sau$ ${\ displaystyle o}$ $sau$ -mic ) și împreună cu teorema numărului prim determină comportamentul asimptotic al $p_{n}\#$ ${\ displaystyle p_ {n} \ #}$ ${\ displaystyle p_ {n} \ #}$ .

Relația cu funcția enumerativă a numerelor prime

Funcția Chebyshev poate fi legată de funcția enumerativă a numerelor prime după cum urmează. Noi definim

\Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.

{\ displaystyle \ Pi (x) = \ sum _ {n \ leq x} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ log n}}.}

{\ displaystyle \ Pi (x) = \ sum _ {n \ leq x} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ log n}}.}

Prin urmare

\Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.

{\ displaystyle \ Pi (x) = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) \ int _ {n} ^ {x} {\ frac {dt} {t \ log ^ {2} t}} + {\ frac {1} {\ log x}} \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {\ psi (t) \, dt } {t \ log ^ {2} t}} + {\ frac {\ psi (x)} {\ log x}}.}

{\ displaystyle \ Pi (x) = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) \ int _ {n} ^ {x} {\ frac {dt} {t \ log ^ {2} t}} + {\ frac {1} {\ log x}} \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {\ psi (t) \, dt } {t \ log ^ {2} t}} + {\ frac {\ psi (x)} {\ log x}}.}

Trecerea de la $\Pi$ ${\ displaystyle \ Pi}$ $\ Pi$ la funcția enumerativă a numerelor prime , $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ , este dat de ecuație

\Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\right)+\cdots

{\ displaystyle \ Pi (x) = \ pi (x) + {\ tfrac {1} {2}} \ pi \ left ({\ sqrt {x}} \ right) + {\ tfrac {1} {3} } \ pi \ left ({\ sqrt [{3}] {x}} \ right) + \ cdots}

{\ displaystyle \ Pi (x) = \ pi (x) + {\ tfrac {1} {2}} \ pi \ left ({\ sqrt {x}} \ right) + {\ tfrac {1} {3} } \ pi \ left ({\ sqrt [{3}] {x}} \ right) + \ cdots}

Cu siguranţă $\pi (x)\leq x$ ${\ displaystyle \ pi (x) \ leq x}$ ${\ displaystyle \ pi (x) \ leq x}$ , prin urmare, din motive de aproximare, ultima relație poate fi reformulată ca

\pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\right).

{\ displaystyle \ pi (x) = \ Pi (x) + O \ left ({\ sqrt {x}} \ right).}

{\ displaystyle \ pi (x) = \ Pi (x) + O \ left ({\ sqrt {x}} \ right).}

Ipoteza Riemann

Ipoteza Riemann afirmă că toate zerourile non-banale ale funcției zeta au o parte reală 1/2. În acest caz, $|z^{p}|={\sqrt {x}}$ ${\ displaystyle | z ^ {p} | = {\ sqrt {x}}}$ ${\ displaystyle | z ^ {p} | = {\ sqrt {x}}}$ , și se poate arăta că

\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\left({\sqrt {x}}\log ^{2}x\right).

{\ displaystyle \ sum _ {\ rho} {\ frac {x ^ {\ rho}} {\ rho}} = O \ left ({\ sqrt {x}} \ log ^ {2} x \ right).}

{\ displaystyle \ sum _ {\ rho} {\ frac {x ^ {\ rho}} {\ rho}} = O \ left ({\ sqrt {x}} \ log ^ {2} x \ right).}

Cele de mai sus implică faptul că

\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left({\sqrt {x}}\log x\right).

{\ displaystyle \ pi (x) = \ operatorname {li} (x) + O \ left ({\ sqrt {x}} \ log x \ right).}

{\ displaystyle \ pi (x) = \ operatorname {li} (x) + O \ left ({\ sqrt {x}} \ log x \ right).}

Dovezi bune că ipoteza ar putea fi adevărată provin din faptul propus de Alain Connes și colab, că dacă diferențiem formula lui von Mangoldt cu privire la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ noi obținem $x=e^{u}$ ${\ displaystyle x = e ^ {u}}$ ${\ displaystyle x = e ^ {u}}$ . Prin manipularea acestuia, obținem formula de urmărire pentru exponențialul operatorului hamiltonian satisfăcător

\left.\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+i{\hat {H}}\right)\right|n\geq \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+iE_{n}\right)=0,

{\ displaystyle \ left. \ zeta \ left ({\ tfrac {1} {2}} + i {\ hat {H}} \ right) \ right | n \ geq \ zeta \ left ({\ tfrac {1} {2}} + iE_ {n} \ right) = 0,}

{\ displaystyle \ left. \ zeta \ left ({\ tfrac {1} {2}} + i {\ hat {H}} \ right) \ right | n \ geq \ zeta \ left ({\ tfrac {1} {2}} + iE_ {n} \ right) = 0,}

Și

\sum _{n}e^{iuE_{n}}=Z(u)=e^{\frac {u}{2}}-e^{-{\frac {u}{2}}}{\frac {d\psi _{0}}{du}}-{\frac {e^{\frac {u}{2}}}{e^{3u}-e^{u}}}=\operatorname {Tr} \left(e^{iu{\hat {H}}}\right),

{\ displaystyle \ sum _ {n} e ^ {iuE_ {n}} = Z (u) = e ^ {\ frac {u} {2}} - e ^ {- {\ frac {u} {2}} } {\ frac {d \ psi _ {0}} {du}} - {\ frac {e ^ {\ frac {u} {2}}} {e ^ {3u} -e ^ {u}}} = \ operatorname {Tr} \ left (e ^ {iu {\ hat {H}}} \ right),}

{\ displaystyle \ sum _ {n} e ^ {iuE_ {n}} = Z (u) = e ^ {\ frac {u} {2}} - e ^ {- {\ frac {u} {2}} } {\ frac {d \ psi _ {0}} {du}} - {\ frac {e ^ {\ frac {u} {2}}} {e ^ {3u} -e ^ {u}}} = \ operatorname {Tr} \ left (e ^ {iu {\ hat {H}}} \ right),}

unde suma trigonometrică poate fi considerată urma operatorului ( mecanica statistică ) $e^{iu{\hat {H}}}$ ${\ displaystyle e ^ {iu {\ hat {H}}}}$ ${\ displaystyle e ^ {iu {\ hat {H}}}}$ , ceea ce este adevărat numai dacă $p={\frac {1}{2}}+iE(n)$ ${\ displaystyle p = {\ frac {1} {2}} + iE (n)}$ ${\ displaystyle p = {\ frac {1} {2}} + iE (n)}$ .

Folosind abordarea semiclasică potențialul $H=T+V$ ${\ displaystyle H = T + V}$ ${\ displaystyle H = T + V}$ satisface:

{\frac {Z(u)u^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}\sim \int _{-\infty }^{\infty }e^{i\left(uV(x)+{\frac {\pi }{4}}\right)}\,dx

{\ displaystyle {\ frac {Z (u) u ^ {\ frac {1} {2}}} {\ sqrt {\ pi}}} \ sim \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i \ left (uV (x) + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} \, dx}

{\ displaystyle {\ frac {Z (u) u ^ {\ frac {1} {2}}} {\ sqrt {\ pi}}} \ sim \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i \ left (uV (x) + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} \, dx}

cu $Z(u)\to 0$ ${\ displaystyle Z (u) \ to 0}$ ${\ displaystyle Z (u) \ to 0}$ ca $u\to \infty$ ${\ displaystyle u \ to \ infty}$ ${\ displaystyle u \ to \ infty}$ .

soluția acestei ecuații integrale neliniare poate fi obținută (printre altele) ca.

V^{-1}(x)\approx {\sqrt {4\pi }}\cdot {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}N(x)

{\ displaystyle V ^ {- 1} (x) \ approx {\ sqrt {4 \ pi}} \ cdot {\ frac {d ^ {\ frac {1} {2}}} {dx ^ {\ frac {1 } {2}}}} N (x)}

{\ displaystyle V ^ {- 1} (x) \ approx {\ sqrt {4 \ pi}} \ cdot {\ frac {d ^ {\ frac {1} {2}}} {dx ^ {\ frac {1 } {2}}}} N (x)}

pentru a obține inversul potențialului:

\pi N(E)=\operatorname {Arg} \xi \left({\tfrac {1}{2}}+iE\right).

{\ displaystyle \ pi N (E) = \ operatorname {Arg} \ xi \ left ({\ tfrac {1} {2}} + iE \ right).}

{\ displaystyle \ pi N (E) = \ operatorname {Arg} \ xi \ left ({\ tfrac {1} {2}} + iE \ right).}

Funcție netedă

Funcția netedă este definită ca

\psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.

{\ displaystyle \ psi _ {1} (x) = \ int _ {0} ^ {x} \ psi (t) \, dt.}

{\ displaystyle \ psi _ {1} (x) = \ int _ {0} ^ {x} \ psi (t) \, dt.}

Se poate dovedi că

\psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.

{\ displaystyle \ psi _ {1} (x) \ sim {\ frac {x ^ {2}} {2}}.}

{\ displaystyle \ psi _ {1} (x) \ sim {\ frac {x ^ {2}} {2}}.}

Variante ale formulei

Funcția Chebyshev evaluată în $x=e^{t}$ ${\ displaystyle x = e ^ {t}}$ ${\ displaystyle x = e ^ {t}}$ reduce la minimum funcționalitatea

J[f]=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(s)\zeta '(s+c)}{\zeta (s+c)(s+c)}}\,ds-\int _{0}^{\infty }\!\!\!\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(s)f(t)\,ds\,dt,

{\ displaystyle J [f] = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {f (s) \ zeta '(s + c)} {\ zeta (s + c) (s + c)} } \, ds- \ int _ {0} ^ {\ infty} \! \! \! \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (s) f (t) \, ds \, dt,}

{\ displaystyle J [f] = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {f (s) \ zeta '(s + c)} {\ zeta (s + c) (s + c)} } \, ds- \ int _ {0} ^ {\ infty} \! \! \! \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (s) f (t) \, ds \, dt,}

asa de

f(t)=\psi \left(e^{t}\right)e^{-ct}\quad {\text{per }}c>0.

{\ displaystyle f (t) = \ psi \ left (e ^ {t} \ right) și ^ {- ct} \ quad {\ text {per}} c> 0.}

{\ displaystyle f (t) = \ psi \ left (e ^ {t} \ right) și ^ {- ct} \ quad {\ text {per}} c> 0.}

Notă

^ Pierre Dusart, „Limite mai clare pentru $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ , $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ , $p_{k}$ ${\ displaystyle p_ {k}}$ $p_ {k}$ ", Rapport de recherche nr. 1998-06, Université de Limoges. O versiune prescurtată a apărut ca" The $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ primul este mai mare decât $k(\ln k+\ln \ln k-1)$ ${\ displaystyle k (\ ln k + \ ln \ ln k-1)}$ ${\ displaystyle k (\ ln k + \ ln \ ln k-1)}$ pentru $k\geq 2$ ${\ displaystyle k \ geq 2}$ ${\ displaystyle k \ geq 2}$ ", Matematica calculului , Vol. 68, Nr. 225 (1999), pp. 411-415.
^ ^a ^b Pierre Dusart , „Estimări ale unor funcții asupra primilor fără RH”. arXiv : 1002.0442
^ Rosser și Schoenfeld Lowell , formule aproximative pentru unele funcții ale numerelor prime. , Illinois J. Math. , vol. 6, 1962, pp. 64-94 ..
^ Davenport, Harold (2000). În teoria numărului multiplicativ . Springer. p. 104. ISBN 0-387-95097-4 . Căutare carte Google.
^ Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen, 57 (1903), pp. 195–204.
^ ^a ^b G .H. Hardy și JE Littlewood, „Contribuții la teoria funcției Zeta Riemann și teoria distribuției primelor”, Acta Mathematica, 41 (1916) pp. 119–196.

Bibliografie

Tom M. Apostol (1976), Introducere în teoria numerelor analitice , Texte de licență în matematică, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , MR 0434929 , Zbl 0335.10001

linkuri externe

Funcțiile Weisstein, Eric W. Chebyshev . MathWorld .
„Funcția sumatorie Mangoldt” . PlanetMath .
„Funcții Chebyshev” . PlanetMath .
Formula explicită a lui Riemann , cu imagini și videoclipuri

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Pierre Dusart, „Limite mai clare pentru $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ , $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ , $p_{k}$ ${\ displaystyle p_ {k}}$ $p_ {k}$ ", Rapport de recherche nr. 1998-06, Université de Limoges. O versiune prescurtată a apărut ca" The $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ primul este mai mare decât $k(\ln k+\ln \ln k-1)$ ${\ displaystyle k (\ ln k + \ ln \ ln k-1)}$ ${\ displaystyle k (\ ln k + \ ln \ ln k-1)}$ pentru $k\geq 2$ ${\ displaystyle k \ geq 2}$ ${\ displaystyle k \ geq 2}$ ", Matematica calculului , Vol. 68, Nr. 225 (1999), pp. 411-415.

[Dusart2010-2] Pierre Dusart , „Estimări ale unor funcții asupra primilor fără RH”. arXiv : 1002.0442

[3] Rosser și Schoenfeld Lowell , formule aproximative pentru unele funcții ale numerelor prime. , Illinois J. Math. , vol. 6, 1962, pp. 64-94 ..

[4] Davenport, Harold (2000). În teoria numărului multiplicativ . Springer. p. 104. ISBN 0-387-95097-4 . Căutare carte Google.

[5] Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen, 57 (1903), pp. 195–204.

[Hard16-6] G .H. Hardy și JE Littlewood, „Contribuții la teoria funcției Zeta Riemann și teoria distribuției primelor”, Acta Mathematica, 41 (1916) pp. 119–196.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]