Număr complex
Un număr complex este definit ca un număr al formularului , cu Și numere reale e o soluție a ecuației numită unitate imaginară . Numerele complexe sunt folosite în toate domeniile matematicii , în multe domenii ale fizicii (notoriu în mecanica cuantică ), precum și în inginerie (în special în electronică , telecomunicații și inginerie electrică ) pentru utilitatea lor în reprezentarea undelor electromagnetice și a curenților electrici în timp . sinusoidală .
În matematică, numerele complexe formează un câmp (precum și o algebră bidimensională reală ) și sunt vizualizate în general ca puncte pe un plan , numit plan complex . Cea mai importantă proprietate a numerelor complexe se bazează pe teorema fundamentală a algebrei , conform căreia orice ecuație polinomială de grad are soluții complexe, nu neapărat distincte.
Introducere informală
Unitatea imaginară
De-a lungul secolelor, seturile de numere s-au extins treptat, probabil pentru a răspunde nevoii de a rezolva ecuații și probleme mereu noi. [1]
Numerele complexe sunt o extensie a numerelor reale , create inițial pentru a vă permite să găsiți toate soluțiile ecuațiilor polinomiale . De exemplu, ecuația
nu are soluții în mulțimea numerelor reale, deoarece în acest set nu există numere al căror pătrat este negativ.
Valoarea este apoi definită , numită unitate imaginară , care are următoarea proprietate:
Numerele complexe sunt formate din două părți, o parte reală și o parte imaginară și sunt reprezentate de următoarea expresie:
unde este Și sunt numere reale, este unitatea imaginară.
Legile sumei algebrice și ale produsului în numere complexe se aplică făcând matematica în modul obișnuit și știind asta .
Deoarece numerele reale corespund punctelor unei drepte , numerele complexe corespund punctelor planului , numite plan complex (sau Argand-Gauss ): numărului complex se asociază punctul de coordonate cartezian .
Ecuații cu coeficienți reali cu soluții nereale
Folosind relația toate ecuațiile de gradul II pot fi rezolvate
cu , inclusiv cele care nu au soluții reale, deoarece au un discriminant negativ:
Soluțiile sunt determinate de formula soluției ecuației
că, în cazul în care discriminantul este negativ, are loc după cum urmează:
De exemplu:
Mai general, este adevărat că dacă un număr complex este soluția unei ecuații cu coeficienți reali, atunci conjugatul său complex este, de asemenea, soluția aceleiași ecuații. Deci, în cazul unei ecuații de grad impar, va exista întotdeauna cel puțin un număr real între soluții.
fundal
Numerele complexe au avut o geneză de lungă durată. Au început să fie folosite formal în secolul al XVI-lea în formulele pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul III și IV ale Tartaglia . Primii care au reușit să atribuie soluții ecuațiilor cubice au fost Scipione del Ferro , Bombelli și, de asemenea, Niccolò Tartaglia , acesta din urmă, după multe insistențe, i-a transmis rezultatele lui Girolamo Cardano cu promisiunea de a nu le dezvălui. Cardano, după ce a verificat acuratețea soluțiilor lui Tartaglia, nu și-a respectat promisiunea și a publicat rezultatele, citând însă autorul, în nota sa Ars Magna din 1545. Tartaglia a avut numeroase prietenii între inchizitori și mai târziu Cardano a avut probleme legate de justiția timp, mulți dintre ei provenind din acuzații de erezie. În prezent, apariția rădăcinilor numerelor negative este atribuită în principal lui Tartaglia, în timp ce în cele mai puține pagini dedicate lui Cardano nu există nicio urmă a contribuției sale probabile importante la această reprezentare numerică.
Numerele complexe inițial nu au fost considerate ca „numere” ci doar ca dispozitive algebrice utile pentru rezolvarea ecuațiilor. De fapt, erau numere „care nu ar trebui să existe”: Descartes în secolul al XVII-lea le numea „numere imaginare”. Abraham de Moivre și Euler în secolul al XVIII-lea au început să ofere numere complexe cu o bază teoretică, până când au luat cetățenia deplină în lumea matematică cu lucrările lui Gauss . În același timp, a fost afirmată interpretarea numerelor complexe ca puncte ale avionului.
Terminologie
În matematică, multe obiecte și teoreme depind de alegerea unui set numeric de bază: de multe ori alegerea este între numere reale și numere complexe. Adjectivul „complex” este folosit aici pentru a specifica acest set de bază. De exemplu, sunt definite matrici complexe, polinoame complexe, spații vectoriale complexe și algebră Lie complexă . Există, de asemenea, teorema complexă a lui Sylvester și teorema spectrală complexă .
Definiție modernă
În mod formal, un număr complex poate fi definit ca o pereche ordonată de numere reale . Prin urmare, definim suma și produsul a două numere complexe după cum urmează:
Cu aceste două operații, setul de numere complexe se dovedește a fi un câmp , care este indicat cu .
Numărul complex se identifică cu numărul real , în timp ce numărul se numește unitate imaginară și este descrisă prin scrisoare . Elementul 1 este elementul neutru pentru multiplicare, în timp ce se verifică că:
Orice număr complex este ușor scris ca o combinație liniară după cum urmează:
Numerele Și ele sunt partea reală și partea imaginară a respectivului . Această reprezentare a numerelor complexe facilitează efectuarea operațiunilor de adunare și de produs. De exemplu:
Definiții alternative
Folosind instrumentele teoriei câmpurilor , câmpul numerelor complexe poate fi definit ca închiderea algebrică a câmpului numerelor reale.
Folosind instrumentele teoriei inelului , acesta poate fi, de asemenea, introdus ca inel coeficient al inelului polinomilor reali cu o singură variabilă prin idealul generat de polinom :
Acesta este de fapt un câmp de ce este ireductibil . Rădăcina polinomului este unitatea imaginară , deci inelul coeficient este izomorf pentru .
Geometrie
Un număr complex poate fi văzut ca un punct al planului cartezian , numit în acest caz planul Gaussian . O astfel de reprezentare se numește diagramă Argand-Gauss . În figură vedem că
fiind Și funcții trigonometrice .
Formulele inverse sunt:
- pentru
- pentru
Folosind formula lui Euler , putem exprima ca
prin intermediul funcției exponențiale . Aici este modulul (sau valoarea absolută sau norma ) e (numită anomalie ) este argumentul . Argumentul este determinat de dacă este destinat în interval , altfel este definit doar până la sume cu pentru unele întregi .
Operații cu numere complexe
Modul și distanță
Valoarea absolută (modulo) are următoarele proprietăți:
- de sine
valabil pentru toate numerele complexe Și .
Prima proprietate este o versiune a inegalității triunghiulare .
Distanța dintre două puncte ale planului complex este dată pur și simplu de
Căsătorit
Conjugatul complex al numărului complex este definit ca
De asemenea, este denumită uneori . Planul general se obține din prin simetrie față de axa reală. Se aplică următoarele proprietăți:
Reciproc
Cunoașterea valorii absolute și conjugatul unui număr complex este posibil să se calculeze reciprocitatea acestuia prin formula:
Adică dacă noi obținem
Suma algebrică
Relațiile merită
Suma a două numere complexe este echivalentă cu suma obișnuită dintre vectori în planul complex.
Produs
Merita
În realitate, produsul este doar rezultatul unui produs foarte normal de binomii. Folosind reprezentarea
și proprietățile funcției exponențiale , produsul a două numere complexe
ia forma cea mai lină
Cu alte cuvinte, în produsul a două numere complexe, argumentele sunt adăugate și modulele înmulțite.
Această declarație vă permite să demonstrați regula semnelor produsului : . De fapt, dacă considerăm că argumentul unui număr real negativ este de 180º, înmulțind două dintre aceste numere împreună obținem un număr cu argumentul 360 ° și deci 0 ° care este argumentul unui număr real pozitiv.
O înmulțire cu un număr complex poate fi văzută ca o rotație simultană și omotitate . Înmulțiți un vector sau echivalent un număr complex cu elementul produce o rotație de 90 °, în sens invers acelor de ceasornic, a numărului complex de pornire. Evident multiplicarea cu și apoi din nou pentru produce o rotație de 180 °; acest lucru este logic din moment ce .
Relaţie
Relația dintre două numere complexe Și este dat de:
Folosind reprezentarea
raportul a două numere complexe este
Puteri
Reprezentând fiecare număr complex ca
puterea este ușor de descris -alea
pentru fiecare întreg . Cu o notație ușor diferită:
Formula De Moivre se obține:
Mai mult, fiecare număr complex are exact rădăcini -th: în special, nu există o modalitate unică de a defini rădăcina pătrată a unui număr complex.
Exponențială
Funcția exponențială complexă este definit folosind seria și instrumentele de calcul infinitesimal , după cum urmează:
În special, dacă primesti
folosind formula lui Euler .
Logaritm
Logaritmul natural a unui număr complex este prin definiție un număr complex astfel încât
De sine
logaritmul este orice număr complex de tipul
unde este este orice număr întreg . Din moment ce valoarea este arbitrar, un număr complex are o infinitate de logaritmi distincti, care diferă prin multipli întregi ai lui .
De sine poti sa scrii
În acest caz, dacă este real (adică dacă ) dintre valorile infinite există una reală, care corespunde logaritmului obișnuit al unui număr real pozitiv.
Exemple
Să presupunem că dorim să găsim numerele complexe z astfel încât
Prima posibilitate este de a întreba și să egaleze partea reală a la partea reală a conjugatului de și în mod similar pentru părțile imaginare respective. Urmând această cale, obținem două ecuații:
din care se obțin 7 soluții:
Alternativ, poate fi utilizată reprezentarea polară
și să se potrivească standardelor și argumentelor și conjugatul lui , obținând aici și două ecuații:
cu . Evident, veți obține aceleași soluții, de exemplu
Unele proprietăți
Pierderea sortării
Spre deosebire de numerele reale, numerele complexe nu pot fi sortate într-un mod care este compatibil cu operațiile aritmetice. Adică, nu este posibil să se definească o ordine astfel încât
așa cum se întâmplă cu numerele reale. Deci, nu are sens să întrebăm de exemplu dacă este mai mare sau mai mic decât și nici studiază inegalitățile în domeniul complex. De fapt, în fiecare câmp ordonat toate pătratele trebuie să fie mai mari sau egale cu zero: prin construcția unității imaginare, în schimb .
Acest lucru nu trebuie confundat cu a spune că setul de numere complexe nu poate fi complet bine ordonat. De fapt, numerele complexe au, de exemplu, o ordonare în termeni de ordine lexicografică și, prin urmare, constituie un set ordonabil (ca orice set din ZFC având în vedere axioma de alegere ), dar nu formează un câmp ordonat (din motivul de mai sus ) și nici o structură algebrică care poate fi ordonată în raport cu metrica indusă de o normă .
Avion cartezian
La desenarea unei funcții în plan cartezian a cărei gamă conține numere din setul imaginar, acele numere nu pot fi reprezentate de o pereche de coordonate , de când este complexul nu poate fi ordonat în raport cu linia dreaptă .
Spațiul vectorilor reali
Întregul este simultan un spațiu vectorial complex unidimensional (ca toate câmpurile) și un spațiu vectorial bidimensional. Ca un spațiu vectorial cu dimensiuni finite reale, acesta este, de asemenea, un spațiu complet normat , adică un spațiu Banach și, mai ales, un spațiu Hilbert .
Soluții ale ecuațiilor polinomiale
O rădăcină complexă a unui polinom un coeficient real este un număr complex astfel încât . Teorema fundamentală a algebrei afirmă că orice polinom de grad are exact soluții complexe, numărate cu multiplicitate. Acest rezultat indică faptul că numerele complexe sunt (spre deosebire de reali) un câmp închis algebric .
Analiza complexă
Studiul funcțiilor cu variabile complexe se numește analiză complexă și este utilizat pe scară largă în matematica aplicată și teoria numerelor , precum și în alte ramuri ale matematicii, fizicii și ingineriei. Adesea, cele mai simple dovezi pentru analiza reală sau pentru enunțurile teoriei parelor folosesc tehnici complexe de analiză (a se vedea teorema numărului prim pentru un exemplu). Spre deosebire de funcțiile reale, care sunt reprezentate în mod obișnuit ca grafice bidimensionale, funcțiile complexe au grafice cu patru dimensiuni și sunt adesea reprezentate ca grafice colorate în care culoarea compensează dimensiunea lipsă (a se vedea, de exemplu, articolul Imagini conforme ). Animațiile pot fi, de asemenea, utilizate pentru a arăta transformarea dinamică a funcției complexe a planului complex.
Aplicații
În matematică
Numerele complexe sunt prezente în toată matematica și sunt protagoniștii unor sectoare întregi, cum ar fi analiza complexă sau geometria algebrică . Aici enumerăm doar câteva aplicații ale numerelor complexe în domeniile matematicii în care acestea nu joacă un rol dominant.
- Teoria numerelor : Teoria analitică a numerelor folosește analize complexe pentru a aborda problemele întregi . Câteva exemple sunt teorema numărului prim și ipoteza Riemann aferentă.
- Integrale necorespunzătoare : Unele integrale necorespunzătoare pot fi ușor rezolvate cu teorema reziduală a analizei complexe.
- Ecuații diferențiale : ecuațiile diferențiale liniare cu coeficienți constanți sunt rezolvate prin găsirea rădăcinilor complexe ale unui polinom asociat cu ecuația.
- Fractale : Unele fractale sunt definite prin numere complexe, de exemplu mulțimea Mandelbrot și mulțimea Julia .
În fizică
- Dinamica fluidelor : în dinamica fluidelor se utilizează numere complexe pentru a descrie fluxul potențial în 2 dimensiuni.
- Mecanica cuantică : câmpul numerelor complexe este o componentă esențială a mecanicii cuantice, deoarece teoria este dezvoltată într-un spațiu Hilbert cu dimensiuni infinite derivat din C. Unitatea imaginară apare și în ecuația lui Schrödinger .
- Relativitatea : în relativitatea generală și relativitatea specială, unele formule ale spațiului metric devin mai simple dacă se presupune că variabila timpului este o variabilă imaginară.
Inginerie
Numerele complexe sunt folosite pentru a rezolva ecuațiile diferențiale asociate cu mișcarea vibratorie a sistemelor mecanice. Ele sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în electrotehnică, în special pentru a reprezenta schimbarea de fază dintre reactanță și rezistență.
Analiza semnalului
Numerele complexe sunt utilizate în analiza semnalelor și în toate câmpurile în care sunt tratate semnale care variază sinusoidal în timp, sau chiar pur și simplu periodice. Valoarea absolută a | z | este interpretat ca amplitudinea semnalului în timp ce argumentul lui z este interpretat ca fază . Numerele complexe fac posibilă și analiza Fourier , ceea ce face posibilă descompunerea unui semnal generic invariant în timp într-o sumă de sinusoide infinite: fiecare sinusoid este scris ca un singur număr complex.
unde este este pulsația sinusoidului și z amplitudinea sa.
Elettrotecnica ed elettronica
Nell' ingegneria elettrica ed elettronica vengono utilizzati per indicare la tensione e la corrente . L'analisi dei componenti resistivi , capacitivi e induttivi è stata unificata con l'introduzione dei numeri complessi, che riassumono tutte e tre queste componenti in una sola entità detta impedenza , semplificando notevolmente i calcoli. Possono esprimere delle relazioni che tengono conto delle frequenze e di come i componenti varino il loro comportamento al variare della frequenza. In questo tipo di calcoli si usa tradizionalmente la lettera j per indicare l'unità immaginaria, dato che la i è riservata alla corrente: i primi trattati di elettrotecnica, all'inizio del XX secolo , stabilivano j = -i , cioè l'unità immaginaria nelle formule usate per l'elettrotecnica era il negativo di quella usata dai matematici. L'uso è stato mantenuto nel tempo, e questo dettaglio, sia pure ignoto ai più, è parzialmente vero anche oggi. Anche se, la stragrande maggioranza delle volte, nella letteratura tecnica con j oramai si intende l'unità immaginaria stessa, per cui j = i .
Generalizzazioni ed estensioni
Il processo di estensione del campo R dei numeri reali al campo C dei numeri complessi è noto come costruzione di Cayley-Dickson . Esso può essere portato oltre a dimensioni più elevate, ottenendo i quaternioni H , gli ottetti (o ottonioni ) O ei sedenioni , i quali costituiscono, rispettivamente, delle algebre a 4 , 8 , 16 dimensioni sul campo dei numeri reali . In questo contesto, i numeri complessi sono stati chiamati binarioni . [2]
Le algebre prodotte da questo processo sono note come algebre di Cayley-Dickson e, poiché estendono i numeri complessi, vanno a costituire una famiglia dell'insieme dei cosiddetti numeri ipercomplessi , il quale, tuttavia, include anche la famiglia delle algebre di Clifford .
Note
- ^ ( EN ) WS Anglin e J. Lambek, The Heritage of Thales , Springer, 2012, p. 3.
- ^ ( EN ) Kevin McCrimmon, A Taste of Jordan Algebras , Universitext, Springer, 2004, ISBN 0-387-95447-3 . MR 2014924 p. 64
Bibliografia
- ( EN ) Lars Ahlfors , Complex Analysis , 3rd, McGraw-Hill, 1979, ISBN 978-0-07-000657-7 .
- ( EN ) E. Freitag, R. Busam, Complex Analysis ; Springer-Verlag (2005).
- ( EN ) P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors , Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-59916-4 .
- ( EN ) Paul J. Nahin, An Imaginary Tale ; Princeton University Press; ISBN 0-691-02795-1 (hardcover, 1998). Una semplice introduzione ai numeri complessi e all'analisi complessa.
- ( EN ) Tristan Needham, Visual Complex Analysis ; Clarendon Press; ISBN 0-19-853447-7 (hardcover, 1997). Storia dei numeri complessi e dell'analisi complessa con un'utile interpretazione geometrica.
Voci correlate
- Parte reale
- Parte immaginaria
- Complesso coniugato
- Inverso di un numero complesso
- Formula di De Moivre
- Identità di Eulero
- Piano complesso
- Radice dell'unità
- Rappresentazione dei numeri complessi
- Storia dei numeri complessi
- Teorema fondamentale dell'algebra
- Leonhard Euler
- Caspar Wessel
- Jean-Robert Argand
- Carl Friedrich Gauss
- Analisi complessa
- Geometria complessa
- Fasore
- Numero ipercomplesso
- Quaternione
- Ottetto (matematica)
- Sedenione
- Costruzione di Cayley-Dickson
- Algebra di Clifford
- Numero complesso iperbolico
- Numero duale
Altri progetti
- Wikiversità contiene risorse su numero complesso
- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su numero complesso
Collegamenti esterni
- ( EN ) Numero complesso , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
- ( AR , EN , ES , FR ) Dimensions: a math film. Film introduttivo sui numeri complessi (capitoli 5 e 6).
- Numeri Complessi . Una lezione interattiva
- I numeri complessi . Note da lezioni alle superiori. Con GeoGebra.
Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 6845 · LCCN ( EN ) sh85093211 · GND ( DE ) 4128698-4 · BNF ( FR ) cb11981946j (data) · NDL ( EN , JA ) 00563643 |
---|