Serii telescopice

Termenul „ serie telescopică ” este un termen informal pentru o serie

\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k}}

\ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} a_ {k}

ai căror termeni apar în formă

a_{k}=A_{k+1}-A_{k}

{\ displaystyle a_ {k} = A_ {k + 1} -A_ {k}}

a_ {k} = A _ {{k + 1}} - A_ {k}

în acest caz sumele parțiale pot fi exprimate ca diferența dintre primul și ultimul termen al secvenței $\{A_{k}\}$ ${\ displaystyle \ {A_ {k} \}}$ $\ {A_ {k} \}$ :

s_{n}=\sum _{k=1}^{n}(A_{k+1}-A_{k})=({\cancel {A_{2}}}-A_{1})+({\cancel {A_{3}}}-{\cancel {A_{2}}})+({\cancel {A_{4}}}-{\cancel {A_{3}}})+\cdots +({\cancel {A_{n}}}-{\cancel {A_{n-1}}})+(A_{n+1}-{\cancel {A_{n}}})=A_{n+1}-A_{1}\,,

{\ displaystyle s_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} (A_ {k + 1} -A_ {k}) = ({\ cancel {A_ {2}}} - A_ {1} ) + ({\ cancel {A_ {3}}} - {\ cancel {A_ {2}}}) + ({\ cancel {A_ {4}}} - {\ cancel {A_ {3}}}) + \ cdots + ({\ cancel {A_ {n}}} - {\ cancel {A_ {n-1}}}) + (A_ {n + 1} - {\ cancel {A_ {n}}}) = A_ {n + 1} -A_ {1} \ ,,}

{\ displaystyle s_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} (A_ {k + 1} -A_ {k}) = ({\ cancel {A_ {2}}} - A_ {1} ) + ({\ cancel {A_ {3}}} - {\ cancel {A_ {2}}}) + ({\ cancel {A_ {4}}} - {\ cancel {A_ {3}}}) + \ cdots + ({\ cancel {A_ {n}}} - {\ cancel {A_ {n-1}}}) + (A_ {n + 1} - {\ cancel {A_ {n}}}) = A_ {n + 1} -A_ {1} \ ,,}

iar calculul seriei se reduce la calculul limitei secvenței $\{A_{k}\}$ ${\ displaystyle \ {A_ {k} \}}$ $\ {A_ {k} \}$ , având în vedere că, în acest moment, este singura operație non-banală:

$\quad \lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }A_{n+1}-A_{1}=\ldots$ ${\ displaystyle \ quad \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} A_ {n + 1} -A_ {1} = \ ldots}$ ${\ displaystyle \ quad \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} A_ {n + 1} -A_ {1} = \ ldots}$

Exemple

Un exemplu tipic este seria Mengoli :

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}.

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k (k + 1)}}.}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k (k + 1)}}.}

Se poate arăta că suma acestei serii este $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ intr-adevar

{\frac {1}{k(k+1)}}=\left(-{\frac {1}{k+1}}\right)-\left(-{\frac {1}{k}}\right),

{\ displaystyle {\ frac {1} {k (k + 1)}} = \ left (- {\ frac {1} {k + 1}} \ right) - \ left (- {\ frac {1} { k}} \ dreapta),}

{\ displaystyle {\ frac {1} {k (k + 1)}} = \ left (- {\ frac {1} {k + 1}} \ right) - \ left (- {\ frac {1} { k}} \ dreapta),}

adică este o serie telescopică cu $A_{k}=-{\frac {1}{k}}$ ${\ displaystyle A_ {k} = - {\ frac {1} {k}}}$ $A_ {k} = - {\ frac 1k}$ prin urmare

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}=\lim _{n\to \infty }\left(-{\frac {1}{n+1}}\right)-(-1)=1.

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k (k + 1)}} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (- {\ frac { 1} {n + 1}} \ dreapta) - (- 1) = 1.}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k (k + 1)}} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (- {\ frac { 1} {n + 1}} \ dreapta) - (- 1) = 1.}

Un alt exemplu este seria geometrică :

\sum _{k=0}^{n}q^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1-q^{k+1}}{1-q}}-{\frac {1-q^{k}}{1-q}}\right)={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}},\quad {\text{per }}q\neq 1,

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} q ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ left ({\ frac {1-q ^ {k + 1}} {1-q}} - {\ frac {1-q ^ {k}} {1-q}} \ right) = {\ frac {1-q ^ {n + 1}} {1-q}}, \ quad {\ text {per}} q \ neq 1,}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} q ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ left ({\ frac {1-q ^ {k + 1}} {1-q}} - {\ frac {1-q ^ {k}} {1-q}} \ right) = {\ frac {1-q ^ {n + 1}} {1-q}}, \ quad {\ text {per}} q \ neq 1,}

\sum _{k=0}^{n}q^{k}=n+1,\quad {\text{per }}q=1,

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} q ^ {k} = n + 1, \ quad {\ text {per}} q = 1,}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} q ^ {k} = n + 1, \ quad {\ text {per}} q = 1,}

din care se arată imediat că dacă $\left|q\right|<1$ ${\ displaystyle \ left | q \ right | <1}$ $\ left | q \ right | <1$ seria converge la ${\frac {1}{1-q}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {1-q}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {1-q}}}$ .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică