Formula fracției continue a lui Euler

În teoria analitică a fracțiilor continuate generalizate , formula fracției continuate a lui Euler este o identitate care conectează o serie generică foarte generală cu o fracție continuată . Publicat pentru prima dată în 1748, a fost considerat inițial ca o simplă identitate pentru conectarea unei sume finite cu o fracție continuă finită în așa fel încât extinderea la cazul infinit a fost imediat evidentă. ^[1] Astăzi este mai apreciat ca un instrument util pentru abordarea analitică a problemei generale a convergenței pentru fracții continue infinite cu elemente complexe.

Formula originală

Euler a derivat formula conectând o sumă finită de produse cu o fracție continuă finită.

a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{1+a_{2}-{\cfrac {\ddots }{\ddots {\cfrac {a_{n-1}}{1+a_{n-1}-{\cfrac {a_{n}}{1+a_{n}}}}}}}}}}}}}\,

{\ displaystyle a_ {0} + a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + \ cdots + a_ {0} a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n } = {\ cfrac {a_ {0}} {1 - {\ cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - {\ cfrac {a_ {2}} {1 + a_ {2} - {\ cfrac {\ ddots} {\ ddots {\ cfrac {a_ {n-1}} {1 + a_ {n-1} - {\ cfrac {a_ {n}} {1 + a_ {n}}}}}} }}}}}}} \,}

{\ displaystyle a_ {0} + a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + \ cdots + a_ {0} a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n } = {\ cfrac {a_ {0}} {1 - {\ cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - {\ cfrac {a_ {2}} {1 + a_ {2} - {\ cfrac {\ ddots} {\ ddots {\ cfrac {a_ {n-1}} {1 + a_ {n-1} - {\ cfrac {a_ {n}} {1 + a_ {n}}}}}} }}}}}}} \,}

Identitatea poate fi ușor dovedită prin inducție pe n și, prin urmare, este aplicabilă limitei: dacă expresia din stânga este extinsă pentru a reprezenta o serie convergentă , atunci expresia din dreapta poate fi extinsă și pentru a reprezenta o fracție continuă infinită convergent.

Formula lui Euler

Dacă r _i sunt numere complexe și x este definit de

x=1+\sum _{i=1}^{\infty }r_{1}r_{2}\cdots r_{i}=1+\sum _{i=1}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{i}r_{j}\right)\,,

{\ displaystyle x = 1 + \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} r_ {1} r_ {2} \ cdots r_ {i} = 1 + \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {i} r_ {j} \ right) \ ,,}

{\ displaystyle x = 1 + \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} r_ {1} r_ {2} \ cdots r_ {i} = 1 + \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {i} r_ {j} \ right) \ ,,}

atunci această egalitate poate fi dovedită prin inducție

x={\cfrac {1}{1-{\cfrac {r_{1}}{1+r_{1}-{\cfrac {r_{2}}{1+r_{2}-{\cfrac {r_{3}}{1+r_{3}-\ddots }}}}}}}}\,

{\ displaystyle x = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {r_ {1}} {1 + r_ {1} - {\ cfrac {r_ {2}} {1 + r_ {2} - {\ cfrac {r_ {3}} {1 + r_ {3} - \ ddots}}}}}}}} \,}

{\ displaystyle x = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {r_ {1}} {1 + r_ {1} - {\ cfrac {r_ {2}} {1 + r_ {2} - {\ cfrac {r_ {3}} {1 + r_ {3} - \ ddots}}}}}}}} \,}

.

unde egalitatea trebuie înțeleasă ca echivalență, în sensul că n-a convergentă (adică n-a fracție continuă finită obținută prin trunchierea fracției continue infinite după n iterații) a fiecărei fracții continue este egală cu a n-a sumă parțială din seria scrisă mai sus. Prin urmare, dacă această serie este convergentă - sau uniform convergentă, când r _i sunt funcții ale unei variabile complexe z - atunci și fracțiile continue finite converg sau converg uniform. ^[2]

Demonstrație

Expresia $a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}$ ${\ displaystyle a_ {0} + a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} a_ {3}}$ ${\ displaystyle a_ {0} + a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} a_ {3}}$ poate fi rescris ca o fracție continuă.

{\begin{aligned}a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}&=a_{0}(a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1)\\[8pt]&={\cfrac {a_{0}}{\cfrac {1}{a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}}}\\[8pt]&={\cfrac {a_{0}}{{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}{a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}}-{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)}{a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}}}}={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)}{a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}}}}\\[8pt]&={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}}}}\\[8pt]&={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}+{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)+1}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}-{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}}}}}={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}}}}}\\[8pt]&={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)+1}{a_{3}+1}}}}}}}\\[8pt]&={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)}{a_{3}+1}}+{\cfrac {a_{3}+1}{a_{3}+1}}-{\cfrac {a_{3}}{a_{3}+1}}}}}}}}={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{1+a_{2}-{\cfrac {a_{3}}{1+a_{3}}}}}}}}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a_ {0} + a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} a_ { 3} & = a_ {0} (a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1) \\ [8pt] & = {\ cfrac {a_ {0}} {\ cfrac {1} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}}} \\ [8pt] & = {\ cfrac {a_ {0}} {{\ cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}} - {\ cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1)} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}} }} = {\ cfrac {a_ {0}} {1 - {\ cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1)} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}}}} \\ [8pt] & = {\ cfrac {a_ {0}} {1 - {\ cfrac {a_ {1}} {\ cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1} {a_ {2} (a_ {3} +1) +1}}}} \\ [8pt] & = { \ cfrac {a_ {0}} {1 - {\ cfrac {a_ {1}} {{\ cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1)} {a_ {2 } (a_ {3} +1) +1}} + {\ cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1) +1} {a_ {2} (a_ {3} +1) +1}} - {\ cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1)} {a_ {2} (a_ {3} +1) +1}}}}}} = {\ cfrac {a_ {0}} { 1 - {\ cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - {\ cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1)} {a_ {2} (a_ {3} +1) + 1}}}}}} \\ [8pt] & = {\ cfrac {a_ {0}} {1 - {\ cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - {\ cfrac {a_ {2 }} {\ cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1) +1} {a_ {3} +1}}}}}} \\ [8pt] & = {\ cfrac {a_ {0}} {1 - {\ cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - {\ cfrac {a_ {2}} {{\ cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1)} {a_ { 3} +1 }} + {\ cfrac {a_ {3} +1} {a_ {3} +1}} - {\ cfrac {a_ {3}} {a_ {3} +1}}}}}}} = {\ cfrac {a_ {0}} {1 - {\ cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - {\ cfrac {a_ {2}} {1 + a_ {2} - {\ cfrac {a_ { 3}} {1 + a_ {3}}}}}}}}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a_ {0} + a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} a_ { 3} & = a_ {0} (a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1) \\ [8pt] & = {\ cfrac {a_ {0}} {\ cfrac {1} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}}} \\ [8pt] & = {\ cfrac {a_ {0}} {{\ cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}} - {\ cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1)} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}} }} = {\ cfrac {a_ {0}} {1 - {\ cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1)} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}}}} \\ [8pt] & = {\ cfrac {a_ {0}} {1 - {\ cfrac {a_ {1}} {\ cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1} {a_ {2} (a_ {3} +1) +1}}}} \\ [8pt] & = { \ cfrac {a_ {0}} {1 - {\ cfrac {a_ {1}} {{\ cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1)} {a_ {2 } (a_ {3} +1) +1}} + {\ cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1) +1} {a_ {2} (a_ {3} +1) +1}} - {\ cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1)} {a_ {2} (a_ {3} +1) +1}}}}}} = {\ cfrac {a_ {0}} { 1 - {\ cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - {\ cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1)} {a_ {2} (a_ {3} +1) + 1}}}}}} \\ [8pt] & = {\ cfrac {a_ {0}} {1 - {\ cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - {\ cfrac {a_ {2 }} {\ cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1) +1} {a_ {3} +1}}}}}} \\ [8pt] & = {\ cfrac {a_ {0}} {1 - {\ cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - {\ cfrac {a_ {2}} {{\ cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1)} {a_ { 3} +1 }} + {\ cfrac {a_ {3} +1} {a_ {3} +1}} - {\ cfrac {a_ {3}} {a_ {3} +1}}}}}}} = {\ cfrac {a_ {0}} {1 - {\ cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - {\ cfrac {a_ {2}} {1 + a_ {2} - {\ cfrac {a_ { 3}} {1 + a_ {3}}}}}}}}} \ end {align}}}

Acest lucru poate fi aplicat unei secvențe de orice lungime și, prin urmare, poate fi aplicat și cazului infinit.

Exemple

Funcția exponențială

Funcția exponențială e ^z este o funcție întreagă exprimabilă ca o serie de puteri care converg uniform pe orice domeniu delimitat din planul complex.

e^{z}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{n}{\frac {z}{j}}\right)\,

{\ displaystyle e ^ {z} = 1 + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}} = 1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {z} {j}} \ right) \,}

{\ displaystyle e ^ {z} = 1 + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}} = 1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {z} {j}} \ right) \,}

Aplicarea formulei fracției Euler continuate este simplă:

e^{z}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {z}{1+z-{\cfrac {{\frac {1}{2}}z}{1+{\frac {1}{2}}z-{\cfrac {{\frac {1}{3}}z}{1+{\frac {1}{3}}z-{\cfrac {{\frac {1}{4}}z}{1+{\frac {1}{4}}z-\ddots }}}}}}}}}}.\,

{\ displaystyle e ^ {z} = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {z} {1 + z - {\ cfrac {{\ frac {1} {2}} z} {1 + {\ frac {1} {2}} z - {\ cfrac {{\ frac {1} {3}} z} {1 + {\ frac {1} {3}} z - {\ cfrac {{\ frac {1 } {4}} z} {1 + {\ frac {1} {4}} z- \ ddots}}}}}}}}}. \,}

{\ displaystyle e ^ {z} = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {z} {1 + z - {\ cfrac {{\ frac {1} {2}} z} {1 + {\ frac {1} {2}} z - {\ cfrac {{\ frac {1} {3}} z} {1 + {\ frac {1} {3}} z - {\ cfrac {{\ frac {1 } {4}} z} {1 + {\ frac {1} {4}} z- \ ddots}}}}}}}}}. \,}

Prin aplicarea unei transformări echivalente care constă în simplificarea fracțiilor, expresia din acest exemplu este simplificată în continuare

e^{z}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {z}{1+z-{\cfrac {z}{2+z-{\cfrac {2z}{3+z-{\cfrac {3z}{4+z-\ddots }}}}}}}}}}\,

{\ displaystyle e ^ {z} = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {z} {1 + z - {\ cfrac {z} {2 + z - {\ cfrac {2z} {3 + z - {\ cfrac {3z} {4 + z- \ ddots}}}}}}}}}}} \,}

{\ displaystyle e ^ {z} = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {z} {1 + z - {\ cfrac {z} {2 + z - {\ cfrac {2z} {3 + z - {\ cfrac {3z} {4 + z- \ ddots}}}}}}}}}}} \,}

după aceea, cu siguranță această fracție continuă converge uniform pe fiecare domeniu delimitat în planul complex, deoarece este echivalent cu seria de putere pentru și ^z .

Logaritmul natural

Se cunoaște seria Taylor pentru ramura principală a funcției logaritme naturale într-un vecinătate de z = 1:

\log(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}z^{n}}{n}}.\,

{\ displaystyle \ log (1 + z) = z - {\ frac {z ^ {2}} {2}} + {\ frac {z ^ {3}} {3}} - {\ frac {z ^ { 4}} {4}} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1} z ^ {n}} {n}}. \ ,}

{\ displaystyle \ log (1 + z) = z - {\ frac {z ^ {2}} {2}} + {\ frac {z ^ {3}} {3}} - {\ frac {z ^ { 4}} {4}} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1} z ^ {n}} {n}}. \ ,}

Această serie converge când | z | <1 și poate fi, de asemenea, exprimat ca o sumă de produse: ^[3]

\log(1+z)=z+(z)\left({\frac {-z}{2}}\right)+(z)\left({\frac {-z}{2}}\right)\left({\frac {-2z}{3}}\right)+(z)\left({\frac {-z}{2}}\right)\left({\frac {-2z}{3}}\right)\left({\frac {-3z}{4}}\right)+\cdots

{\ displaystyle \ log (1 + z) = z + (z) \ left ({\ frac {-z} {2}} \ right) + (z) \ left ({\ frac {-z} {2} } \ right) \ left ({\ frac {-2z} {3}} \ right) + (z) \ left ({\ frac {-z} {2}} \ right) \ left ({\ frac {- 2z} {3}} \ right) \ left ({\ frac {-3z} {4}} \ right) + \ cdots}

{\ displaystyle \ log (1 + z) = z + (z) \ left ({\ frac {-z} {2}} \ right) + (z) \ left ({\ frac {-z} {2} } \ right) \ left ({\ frac {-2z} {3}} \ right) + (z) \ left ({\ frac {-z} {2}} \ right) \ left ({\ frac {- 2z} {3}} \ right) \ left ({\ frac {-3z} {4}} \ right) + \ cdots}

Aplicând formula fracției continue a lui Euler la această expresie pe care o avem

\log(1+z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {\frac {-z}{2}}{1+{\frac {-z}{2}}-{\cfrac {\frac {-2z}{3}}{1+{\frac {-2z}{3}}-{\cfrac {\frac {-3z}{4}}{1+{\frac {-3z}{4}}-\ddots }}}}}}}}

{\ displaystyle \ log (1 + z) = {\ cfrac {z} {1 - {\ cfrac {\ frac {-z} {2}} {1 + {\ frac {-z} {2}} - { \ cfrac {\ frac {-2z} {3}} {1 + {\ frac {-2z} {3}} - {\ cfrac {\ frac {-3z} {4}} {1 + {\ frac {- 3z} {4}} - \ ddots}}}}}}}}}

{\ displaystyle \ log (1 + z) = {\ cfrac {z} {1 - {\ cfrac {\ frac {-z} {2}} {1 + {\ frac {-z} {2}} - { \ cfrac {\ frac {-2z} {3}} {1 + {\ frac {-2z} {3}} - {\ cfrac {\ frac {-3z} {4}} {1 + {\ frac {- 3z} {4}} - \ ddots}}}}}}}}}

și apoi aplicând o transformare echivalentă pentru a simplifica toate rezultatele fracțiilor

\log(1+z)={\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{2-z+{\cfrac {2^{2}z}{3-2z+{\cfrac {3^{2}z}{4-3z+\ddots }}}}}}}}

{\ displaystyle \ log (1 + z) = {\ cfrac {z} {1 + {\ cfrac {z} {2-z + {\ cfrac {2 ^ {2} z} {3-2z + {\ cfrac {3 ^ {2} z} {4-3z + \ ddots}}}}}}}}}

{\ displaystyle \ log (1 + z) = {\ cfrac {z} {1 + {\ cfrac {z} {2-z + {\ cfrac {2 ^ {2} z} {3-2z + {\ cfrac {3 ^ {2} z} {4-3z + \ ddots}}}}}}}}}

Această fracție continuă converge când | z | <1 deoarece este echivalent cu seria din care a fost obținut. ^[3]

Funcțiile trigonometrice

Seria Taylor a funcției sinus converge pe întregul plan complex și poate fi exprimată ca suma produselor.

{\begin{aligned}\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots \\[8pt]&=x+(x)\left({\frac {-x^{2}}{2\cdot 3}}\right)+(x)\left({\frac {-x^{2}}{2\cdot 3}}\right)\left({\frac {-x^{2}}{4\cdot 5}}\right)+(x)\left({\frac {-x^{2}}{2\cdot 3}}\right)\left({\frac {-x^{2}}{4\cdot 5}}\right)\left({\frac {-x^{2}}{6\cdot 7}}\right)+\cdots \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sin x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1} & = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ Frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7} } {7!}} + {\ Frac {x ^ {9}} {9!}} - \ cdots \\ [8pt] & = x + (x) \ left ({\ frac {-x ^ {2} } {2 \ cdot 3}} \ right) + (x) \ left ({\ frac {-x ^ {2}} {2 \ cdot 3}} \ right) \ left ({\ frac {-x ^ { 2}} {4 \ cdot 5}} \ right) + (x) \ left ({\ frac {-x ^ {2}} {2 \ cdot 3}} \ right) \ left ({\ frac {-x ^ {2}} {4 \ cdot 5}} \ right) \ left ({\ frac {-x ^ {2}} {6 \ cdot 7}} \ right) + \ cdots \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sin x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1} & = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ Frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7} } {7!}} + {\ Frac {x ^ {9}} {9!}} - \ cdots \\ [8pt] & = x + (x) \ left ({\ frac {-x ^ {2} } {2 \ cdot 3}} \ right) + (x) \ left ({\ frac {-x ^ {2}} {2 \ cdot 3}} \ right) \ left ({\ frac {-x ^ { 2}} {4 \ cdot 5}} \ right) + (x) \ left ({\ frac {-x ^ {2}} {2 \ cdot 3}} \ right) \ left ({\ frac {-x ^ {2}} {4 \ cdot 5}} \ right) \ left ({\ frac {-x ^ {2}} {6 \ cdot 7}} \ right) + \ cdots \ end {align}}}

Se poate aplica formula fracției continue a lui Euler

{\cfrac {x}{1-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{2\cdot 3}}{1+{\frac {-x^{2}}{2\cdot 3}}-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{4\cdot 5}}{1+{\frac {-x^{2}}{4\cdot 5}}-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{6\cdot 7}}{1+{\frac {-x^{2}}{6\cdot 7}}-\ddots }}}}}}}}

{\ displaystyle {\ cfrac {x} {1 - {\ cfrac {\ frac {-x ^ {2}} {2 \ cdot 3}} {1 + {\ frac {-x ^ {2}} {2 \ cdot 3}} - {\ cfrac {\ frac {-x ^ {2}} {4 \ cdot 5}} {1 + {\ frac {-x ^ {2}} {4 \ cdot 5}} - {\ cfrac {\ frac {-x ^ {2}} {6 \ cdot 7}} {1 + {\ frac {-x ^ {2}} {6 \ cdot 7}} - \ ddots}}}}}} }}

{\ displaystyle {\ cfrac {x} {1 - {\ cfrac {\ frac {-x ^ {2}} {2 \ cdot 3}} {1 + {\ frac {-x ^ {2}} {2 \ cdot 3}} - {\ cfrac {\ frac {-x ^ {2}} {4 \ cdot 5}} {1 + {\ frac {-x ^ {2}} {4 \ cdot 5}} - {\ cfrac {\ frac {-x ^ {2}} {6 \ cdot 7}} {1 + {\ frac {-x ^ {2}} {6 \ cdot 7}} - \ ddots}}}}}} }}

O transformare echivalentă poate fi apoi utilizată pentru a simplifica numitorii:

\sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.

{\ displaystyle \ sin x = {\ cfrac {x} {1 + {\ cfrac {x ^ {2}} {2 \ cdot 3-x ^ {2} + {\ cfrac {2 \ cdot 3x ^ {2} } {4 \ cdot 5-x ^ {2} + {\ cfrac {4 \ cdot 5x ^ {2}} {6 \ cdot 7-x ^ {2} + \ ddots}}}}}}}}}

{\ displaystyle \ sin x = {\ cfrac {x} {1 + {\ cfrac {x ^ {2}} {2 \ cdot 3-x ^ {2} + {\ cfrac {2 \ cdot 3x ^ {2} } {4 \ cdot 5-x ^ {2} + {\ cfrac {4 \ cdot 5x ^ {2}} {6 \ cdot 7-x ^ {2} + \ ddots}}}}}}}}}

Același raționament poate fi aplicat funcției cosinusului :

{\begin{aligned}\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \\[8pt]&=1+{\frac {-x^{2}}{2}}+\left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\left({\frac {-x^{2}}{3\cdot 4}}\right)+\left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\left({\frac {-x^{2}}{3\cdot 4}}\right)\left({\frac {-x^{2}}{5\cdot 6}}\right)+\cdots \\[8pt]&={\cfrac {1}{1-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{2}}{1+{\frac {-x^{2}}{2}}-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{3\cdot 4}}{1+{\frac {-x^{2}}{3\cdot 4}}-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{5\cdot 6}}{1+{\frac {-x^{2}}{5\cdot 6}}-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ cos x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} x ^ {2n } & = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ Frac {x ^ {4}} {4!}} - {\ frac {x ^ {6}} {6! }} + {\ frac {x ^ {8}} {8!}} - \ cdots \\ [8pt] & = 1 + {\ frac {-x ^ {2}} {2}} + \ left ({ \ frac {-x ^ {2}} {2}} \ right) \ left ({\ frac {-x ^ {2}} {3 \ cdot 4}} \ right) + \ left ({\ frac {- x ^ {2}} {2}} \ right) \ left ({\ frac {-x ^ {2}} {3 \ cdot 4}} \ right) \ left ({\ frac {-x ^ {2} } {5 \ cdot 6}} \ right) + \ cdots \\ [8pt] & = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {\ frac {-x ^ {2}} {2}} {1 + {\ frac {-x ^ {2}} {2}} - {\ cfrac {\ frac {-x ^ {2}} {3 \ cdot 4}} {1 + {\ frac {-x ^ {2 }} {3 \ cdot 4}} - {\ cfrac {\ frac {-x ^ {2}} {5 \ cdot 6}} {1 + {\ frac {-x ^ {2}} {5 \ cdot 6 }} - \ ddots}}}}}}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ cos x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} x ^ {2n } & = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ Frac {x ^ {4}} {4!}} - {\ frac {x ^ {6}} {6! }} + {\ frac {x ^ {8}} {8!}} - \ cdots \\ [8pt] & = 1 + {\ frac {-x ^ {2}} {2}} + \ left ({ \ frac {-x ^ {2}} {2}} \ right) \ left ({\ frac {-x ^ {2}} {3 \ cdot 4}} \ right) + \ left ({\ frac {- x ^ {2}} {2}} \ right) \ left ({\ frac {-x ^ {2}} {3 \ cdot 4}} \ right) \ left ({\ frac {-x ^ {2} } {5 \ cdot 6}} \ right) + \ cdots \\ [8pt] & = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {\ frac {-x ^ {2}} {2}} {1 + {\ frac {-x ^ {2}} {2}} - {\ cfrac {\ frac {-x ^ {2}} {3 \ cdot 4}} {1 + {\ frac {-x ^ {2 }} {3 \ cdot 4}} - {\ cfrac {\ frac {-x ^ {2}} {5 \ cdot 6}} {1 + {\ frac {-x ^ {2}} {5 \ cdot 6 }} - \ ddots}}}}}}} \ end {align}}}

de la care

\cos x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{2-x^{2}+{\cfrac {2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.

{\ displaystyle \ cos x = {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {x ^ {2}} {2-x ^ {2} + {\ cfrac {2x ^ {2}} {3 \ cdot 4 -x ^ {2} + {\ cfrac {3 \ cdot 4x ^ {2}} {5 \ cdot 6-x ^ {2} + \ ddots}}}}}}}}.}

{\ displaystyle \ cos x = {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {x ^ {2}} {2-x ^ {2} + {\ cfrac {2x ^ {2}} {3 \ cdot 4 -x ^ {2} + {\ cfrac {3 \ cdot 4x ^ {2}} {5 \ cdot 6-x ^ {2} + \ ddots}}}}}}}}.}

Funcțiile trigonometrice inverse

Funcțiile trigonometrice inverse pot fi reprezentate ca fracții continue.

{\begin{aligned}\sin ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&=x+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\[8pt]&=x+x\left({\frac {x^{2}}{2\cdot 3}}\right)+x\left({\frac {x^{2}}{2\cdot 3}}\right)\left({\frac {(3x)^{2}}{4\cdot 5}}\right)+x\left({\frac {x^{2}}{2\cdot 3}}\right)\left({\frac {(3x)^{2}}{4\cdot 5}}\right)\left({\frac {(5x)^{2}}{6\cdot 7}}\right)+\cdots \\[8pt]&={\cfrac {x}{1-{\cfrac {\frac {x^{2}}{2\cdot 3}}{1+{\frac {x^{2}}{2\cdot 3}}-{\cfrac {\frac {(3x)^{2}}{4\cdot 5}}{1+{\frac {(3x)^{2}}{4\cdot 5}}-{\cfrac {\frac {(5x)^{2}}{6\cdot 7}}{1+{\frac {(5x)^{2}}{6\cdot 7}}-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sin ^ {- 1} x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!} } \ cdot {\ frac {x ^ {2n + 1}} {2n + 1}} & = x + \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) {\ frac {x ^ {3} } {3}} + \ left ({\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ right) {\ frac {x ^ {5}} {5}} + \ left ({\ frac { 1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ right) {\ frac {x ^ {7}} {7}} + \ cdots \\ [8pt] & = x + x \ left ({\ frac {x ^ {2}} {2 \ cdot 3}} \ right) + x \ left ({\ frac {x ^ {2}} {2 \ cdot 3}} \ right) \ left ({ \ frac {(3x) ^ {2}} {4 \ cdot 5}} \ right) + x \ left ({\ frac {x ^ {2}} {2 \ cdot 3}} \ right) \ left ({ \ frac {(3x) ^ {2}} {4 \ cdot 5}} \ right) \ left ({\ frac {(5x) ^ {2}} {6 \ cdot 7}} \ right) + \ cdots \ \ [8pt] & = {\ cfrac {x} {1 - {\ cfrac {\ frac {x ^ {2}} {2 \ cdot 3}} {1 + {\ frac {x ^ {2}} {2 \ cdot 3}} - {\ cfrac {\ frac {(3x) ^ {2}} {4 \ cdot 5}} {1 + {\ frac {(3x) ^ {2}} {4 \ cdot 5}} - {\ cfrac {\ frac {(5x) ^ {2}} {6 \ cdot 7}} {1 + {\ frac {(5x) ^ {2}} {6 \ cdot 7}} - \ ddots}} }}}}}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sin ^ {- 1} x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!} } \ cdot {\ frac {x ^ {2n + 1}} {2n + 1}} & = x + \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) {\ frac {x ^ {3} } {3}} + \ left ({\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ right) {\ frac {x ^ {5}} {5}} + \ left ({\ frac { 1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ right) {\ frac {x ^ {7}} {7}} + \ cdots \\ [8pt] & = x + x \ left ({\ frac {x ^ {2}} {2 \ cdot 3}} \ right) + x \ left ({\ frac {x ^ {2}} {2 \ cdot 3}} \ right) \ left ({ \ frac {(3x) ^ {2}} {4 \ cdot 5}} \ right) + x \ left ({\ frac {x ^ {2}} {2 \ cdot 3}} \ right) \ left ({ \ frac {(3x) ^ {2}} {4 \ cdot 5}} \ right) \ left ({\ frac {(5x) ^ {2}} {6 \ cdot 7}} \ right) + \ cdots \ \ [8pt] & = {\ cfrac {x} {1 - {\ cfrac {\ frac {x ^ {2}} {2 \ cdot 3}} {1 + {\ frac {x ^ {2}} {2 \ cdot 3}} - {\ cfrac {\ frac {(3x) ^ {2}} {4 \ cdot 5}} {1 + {\ frac {(3x) ^ {2}} {4 \ cdot 5}} - {\ cfrac {\ frac {(5x) ^ {2}} {6 \ cdot 7}} {1 + {\ frac {(5x) ^ {2}} {6 \ cdot 7}} - \ ddots}} }}}}}} \ end {align}}}

Cu o transformare echivalentă se obține

\sin ^{-1}x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3(3x)^{2}}{4\cdot 5+(3x)^{2}-{\cfrac {4\cdot 5(5x^{2})}{6\cdot 7+(5x^{2})-\ddots }}}}}}}}.

{\ displaystyle \ sin ^ {- 1} x = {\ cfrac {x} {1 - {\ cfrac {x ^ {2}} {2 \ cdot 3 + x ^ {2} - {\ cfrac {2 \ cdot 3 (3x) ^ {2}} {4 \ cdot 5+ (3x) ^ {2} - {\ cfrac {4 \ cdot 5 (5x ^ {2})} {6 \ cdot 7+ (5x ^ {2 }) - \ ddots}}}}}}}}.}

{\ displaystyle \ sin ^ {- 1} x = {\ cfrac {x} {1 - {\ cfrac {x ^ {2}} {2 \ cdot 3 + x ^ {2} - {\ cfrac {2 \ cdot 3 (3x) ^ {2}} {4 \ cdot 5+ (3x) ^ {2} - {\ cfrac {4 \ cdot 5 (5x ^ {2})} {6 \ cdot 7+ (5x ^ {2 }) - \ ddots}}}}}}}}.}

Fracția continuată pentru funcția arctangentă este simplă:

{\begin{aligned}\tan ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\[8pt]&=x+x\left({\frac {-x^{2}}{3}}\right)+x\left({\frac {-x^{2}}{3}}\right)\left({\frac {-3x^{2}}{5}}\right)+x\left({\frac {-x^{2}}{3}}\right)\left({\frac {-3x^{2}}{5}}\right)\left({\frac {-5x^{2}}{7}}\right)+\cdots \\[8pt]&={\cfrac {x}{1-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{3}}{1+{\frac {-x^{2}}{3}}-{\cfrac {\frac {-3x^{2}}{5}}{1+{\frac {-3x^{2}}{5}}-{\cfrac {\frac {-5x^{2}}{7}}{1+{\frac {-5x^{2}}{7}}-\ddots }}}}}}}}\\[8pt]&={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{3-x^{2}+{\cfrac {(3x)^{2}}{5-3x^{2}+{\cfrac {(5x)^{2}}{7-5x^{2}+\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ tan ^ {- 1} x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n + 1} } {2n + 1}} & = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {x ^ {5}} {5}} - {\ frac {x ^ {7} } {7}} + \ cdots \\ [8pt] & = x + x \ left ({\ frac {-x ^ {2}} {3}} \ right) + x \ left ({\ frac {-x ^ {2}} {3}} \ right) \ left ({\ frac {-3x ^ {2}} {5}} \ right) + x \ left ({\ frac {-x ^ {2}} { 3}} \ right) \ left ({\ frac {-3x ^ {2}} {5}} \ right) \ left ({\ frac {-5x ^ {2}} {7}} \ right) + \ cdots \\ [8pt] & = {\ cfrac {x} {1 - {\ cfrac {\ frac {-x ^ {2}} {3}} {1 + {\ frac {-x ^ {2}} { 3}} - {\ cfrac {\ frac {-3x ^ {2}} {5}} {1 + {\ frac {-3x ^ {2}} {5}} - {\ cfrac {\ frac {-5x ^ {2}} {7}} {1 + {\ frac {-5x ^ {2}} {7}} - \ ddots}}}}}}}} \\ [8pt] & = {\ cfrac {x } {1 + {\ cfrac {x ^ {2}} {3-x ^ {2} + {\ cfrac {(3x) ^ {2}} {5-3x ^ {2} + {\ cfrac {(5x ) ^ {2}} {7-5x ^ {2} + \ ddots}}}}}}}}. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ tan ^ {- 1} x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n + 1} } {2n + 1}} & = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {x ^ {5}} {5}} - {\ frac {x ^ {7} } {7}} + \ cdots \\ [8pt] & = x + x \ left ({\ frac {-x ^ {2}} {3}} \ right) + x \ left ({\ frac {-x ^ {2}} {3}} \ right) \ left ({\ frac {-3x ^ {2}} {5}} \ right) + x \ left ({\ frac {-x ^ {2}} { 3}} \ right) \ left ({\ frac {-3x ^ {2}} {5}} \ right) \ left ({\ frac {-5x ^ {2}} {7}} \ right) + \ cdots \\ [8pt] & = {\ cfrac {x} {1 - {\ cfrac {\ frac {-x ^ {2}} {3}} {1 + {\ frac {-x ^ {2}} { 3}} - {\ cfrac {\ frac {-3x ^ {2}} {5}} {1 + {\ frac {-3x ^ {2}} {5}} - {\ cfrac {\ frac {-5x ^ {2}} {7}} {1 + {\ frac {-5x ^ {2}} {7}} - \ ddots}}}}}}}} \\ [8pt] & = {\ cfrac {x } {1 + {\ cfrac {x ^ {2}} {3-x ^ {2} + {\ cfrac {(3x) ^ {2}} {5-3x ^ {2} + {\ cfrac {(5x ) ^ {2}} {7-5x ^ {2} + \ ddots}}}}}}}}. \ End {align}}}

O fracție continuată pentru π

Putem folosi exemplele anterioare prin implicarea funcției arctangente pentru a construi o reprezentare ca o fracție continuă a lui π . Într-adevăr, putem observa asta

\tan ^{-1}(1)={\frac {\pi }{4}},

{\ displaystyle \ tan ^ {- 1} (1) = {\ frac {\ pi} {4}},}

{\ displaystyle \ tan ^ {- 1} (1) = {\ frac {\ pi} {4}},}

Apoi, punând x = 1 în rezultatul anterior, obținem imediat

\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}.\,

{\ displaystyle \ pi = {\ cfrac {4} {1 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {2 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {2 + {\ cfrac {5 ^ {2} } {2 + {\ cfrac {7 ^ {2}} {2+ \ ddots}}}}}}}}}}. \,}

{\ displaystyle \ pi = {\ cfrac {4} {1 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {2 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {2 + {\ cfrac {5 ^ {2} } {2 + {\ cfrac {7 ^ {2}} {2+ \ ddots}}}}}}}}}}. \,}

Funcțiile hiperbolice

Amintind relația dintre funcțiile hiperbolice și funcțiile trigonometrice,

\sin ix=i\sinh x

{\ displaystyle \ sin ix = i \ sinh x}

{\ displaystyle \ sin ix = i \ sinh x}

\cos ix=\cosh x,

{\ displaystyle \ cos ix = \ cosh x,}

{\ displaystyle \ cos ix = \ cosh x,}

și a fi $i^{2}=-1,$ ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1,}$ ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1,}$ următoarele fracții continue se obțin cu ușurință din cele scrise mai sus:

\sinh x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}

{\ displaystyle \ sinh x = {\ cfrac {x} {1 - {\ cfrac {x ^ {2}} {2 \ cdot 3 + x ^ {2} - {\ cfrac {2 \ cdot 3x ^ {2} } {4 \ cdot 5 + x ^ {2} - {\ cfrac {4 \ cdot 5x ^ {2}} {6 \ cdot 7 + x ^ {2} - \ ddots}}}}}}}}}

{\ displaystyle \ sinh x = {\ cfrac {x} {1 - {\ cfrac {x ^ {2}} {2 \ cdot 3 + x ^ {2} - {\ cfrac {2 \ cdot 3x ^ {2} } {4 \ cdot 5 + x ^ {2} - {\ cfrac {4 \ cdot 5x ^ {2}} {6 \ cdot 7 + x ^ {2} - \ ddots}}}}}}}}}

\cosh x={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{2+x^{2}-{\cfrac {2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}.

{\ displaystyle \ cosh x = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {x ^ {2}} {2 + x ^ {2} - {\ cfrac {2x ^ {2}} {3 \ cdot 4 + x ^ {2} - {\ cfrac {3 \ cdot 4x ^ {2}} {5 \ cdot 6 + x ^ {2} - \ ddots}}}}}}}}.}

{\ displaystyle \ cosh x = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {x ^ {2}} {2 + x ^ {2} - {\ cfrac {2x ^ {2}} {3 \ cdot 4 + x ^ {2} - {\ cfrac {3 \ cdot 4x ^ {2}} {5 \ cdot 6 + x ^ {2} - \ ddots}}}}}}}}.}

Funcțiile hiperbolice inverse

Funcțiile hiperbolice inverse sunt legate de funcțiile trigonometrice inverse într-un mod similar cu modul în care sunt funcțiile hiperbolice și funcțiile trigonometrice,

\sin ^{-1}ix=i\sinh ^{-1}x

{\ displaystyle \ sin ^ {- 1} ix = i \ sinh ^ {- 1} x}

{\ displaystyle \ sin ^ {- 1} ix = i \ sinh ^ {- 1} x}

\tan ^{-1}ix=i\tanh ^{-1}x,

{\ displaystyle \ tan ^ {- 1} ix = i \ tanh ^ {- 1} x,}

{\ displaystyle \ tan ^ {- 1} ix = i \ tanh ^ {- 1} x,}

și următoarele fracții continue sunt ușor de obținut:

\sinh ^{-1}x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3(3x)^{2}}{4\cdot 5-(3x)^{2}+{\cfrac {4\cdot 5(5x^{2})}{6\cdot 7-(5x^{2})+\ddots }}}}}}}}

{\ displaystyle \ sinh ^ {- 1} x = {\ cfrac {x} {1 + {\ cfrac {x ^ {2}} {2 \ cdot 3-x ^ {2} + {\ cfrac {2 \ cdot 3 (3x) ^ {2}} {4 \ cdot 5- (3x) ^ {2} + {\ cfrac {4 \ cdot 5 (5x ^ {2})} {6 \ cdot 7- (5x ^ {2 }) + \ ddots}}}}}}}}}}

{\ displaystyle \ sinh ^ {- 1} x = {\ cfrac {x} {1 + {\ cfrac {x ^ {2}} {2 \ cdot 3-x ^ {2} + {\ cfrac {2 \ cdot 3 (3x) ^ {2}} {4 \ cdot 5- (3x) ^ {2} + {\ cfrac {4 \ cdot 5 (5x ^ {2})} {6 \ cdot 7- (5x ^ {2 }) + \ ddots}}}}}}}}}}

\tanh ^{-1}x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3+x^{2}-{\cfrac {(3x)^{2}}{5+3x^{2}-{\cfrac {(5x)^{2}}{7+5x^{2}-\ddots }}}}}}}}.

{\ displaystyle \ tanh ^ {- 1} x = {\ cfrac {x} {1 - {\ cfrac {x ^ {2}} {3 + x ^ {2} - {\ cfrac {(3x) ^ {2 }} {5 + 3x ^ {2} - {\ cfrac {(5x) ^ {2}} {7 + 5x ^ {2} - \ ddots}}}}}}}}.}

{\ displaystyle \ tanh ^ {- 1} x = {\ cfrac {x} {1 - {\ cfrac {x ^ {2}} {3 + x ^ {2} - {\ cfrac {(3x) ^ {2 }} {5 + 3x ^ {2} - {\ cfrac {(5x) ^ {2}} {7 + 5x ^ {2} - \ ddots}}}}}}}}.}

Notă

^ Leonhard Euler , 18 ani , în Introductio in analysin infinitorum , I, 1748.
^ Zidul 1948, p. 17
^ ^a ^b Această serie converge pentru | z | <1, pentru criteriul Abel (aplicat seriei de jurnale (1 - z )).

Bibliografie

HS Wall, Teoria analitică a fracțiilor continuate , D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; retipărit (1973) de Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8 .

Elemente conexe

Fracție continuă

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Leonhard Euler , 18 ani , în Introductio in analysin infinitorum , I, 1748.

[2] Zidul 1948, p. 17

[Abel-3] Această serie converge pentru | z | <1, pentru criteriul Abel (aplicat seriei de jurnale (1 - z )).

[1]

[2]

[3]