Seria Mercator

În matematică , seria Mercator sau seria Newton-Mercator înseamnă seria Taylor a funcției logaritme naturale .

Este dat de formula

\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\ldots

{\ displaystyle \ ln (1 + x) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} x ^ {n} = x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3}} - {\ frac {x ^ {4}} {4}} + \ ldots}

{\ displaystyle \ ln (1 + x) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} x ^ {n} = x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3}} - {\ frac {x ^ {4}} {4}} + \ ldots}

,

expresie valabilă pentru $-1<x\leq 1$ ${\ displaystyle -1 <x \ leq 1}$ ${\ displaystyle -1 <x \ leq 1}$ .

Această serie a fost descoperită independent de Isaac Newton , Nicolaus Mercator și Gregorio di San Vincenzo .

A fost publicat pentru prima dată în 1668 în tratatul Logarithmo-technica al lui Nicolaus Mercator.

Derivare

Seria poate fi derivată prin diferențierea repetată a funcției logaritmice naturale începând cu

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln x = {\ frac {1} {x}}.}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln x = {\ frac {1} {x}}.}

Alternativ, putem începe cu egalitatea ( seria geometrică ):

1+t+t^{2}+\ldots +t^{n-1}={\frac {1-t^{n}}{1-t}}\quad |t|<1,

{\ displaystyle 1 + t + t ^ {2} + \ ldots + t ^ {n-1} = {\ frac {1-t ^ {n}} {1-t}} \ quad | t | <1, }

{\ displaystyle 1 + t + t ^ {2} + \ ldots + t ^ {n-1} = {\ frac {1-t ^ {n}} {1-t}} \ quad | t | <1, }

care oferă, pentru un motiv întemeiat $-1<-t<1$ ${\ displaystyle -1 <-t <1}$ ${\ displaystyle -1 <-t <1}$ si pentru $n\to +\infty$ ${\ displaystyle n \ to + \ infty}$ $n \ to + \ infty$ :

{\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-t^{3}+\cdots

{\ displaystyle {\ frac {1} {1 + t}} = 1-t + t ^ {2} -t ^ {3} + \ cdots}

{\ displaystyle {\ frac {1} {1 + t}} = 1-t + t ^ {2} -t ^ {3} + \ cdots}

Integrăm membrii din $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

\int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}(1-t+t^{2}-t^{3}+\cdots )\,dt,

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {1 + t}} = \ int _ {0} ^ {x} (1-t + t ^ {2} -t ^ { 3} + \ cdots) \, dt,}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {1 + t}} = \ int _ {0} ^ {x} (1-t + t ^ {2} -t ^ { 3} + \ cdots) \, dt,}

și realizăm aceste integrale: prima este valabilă imediat

\int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}{\frac {(1+t)^{\prime }}{1+t}}\,dt=\ln {(x+1)},

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {1 + t}} = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {(1 + t) ^ {\ prime} } {1 + t}} \, dt = \ ln {(x + 1)},}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {1 + t}} = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {(1 + t) ^ {\ prime} } {1 + t}} \, dt = \ ln {(x + 1)},}

pentru al doilea, deoarece seria converge uniform pentru $|x|<1$ ${\ displaystyle | x | <1}$ $| x | <1$ , putem integra termen cu termen :

\int _{0}^{x}{(1-t+t^{2}-t^{3}+\cdots )\,dt}=\int _{0}^{x}{dt}\ -\ \int _{0}^{x}{tdt}\ +\ \int _{0}^{x}{t^{2}dt}\ -\ \int _{0}^{x}{t^{3}dt}\ +\ \cdots =x\ -\ {\frac {x^{2}}{2}}\ +\ {\frac {x^{3}}{3}}\ -\ {\frac {x^{4}}{4}}\ +\ \cdots

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} {(1-t + t ^ {2} -t ^ {3} + \ cdots) \, dt} = \ int _ {0} ^ {x} { dt} \ - \ \ int _ {0} ^ {x} {tdt} \ + \ \ int _ {0} ^ {x} {t ^ {2} dt} \ - \ \ int _ {0} ^ { x} {t ^ {3} dt} \ + \ \ cdots = x \ - \ {\ frac {x ^ {2}} {2}} \ + \ {\ frac {x ^ {3}} {3} } \ - \ {\ frac {x ^ {4}} {4}} \ + \ \ cdots}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} {(1-t + t ^ {2} -t ^ {3} + \ cdots) \, dt} = \ int _ {0} ^ {x} { dt} \ - \ \ int _ {0} ^ {x} {tdt} \ + \ \ int _ {0} ^ {x} {t ^ {2} dt} \ - \ \ int _ {0} ^ { x} {t ^ {3} dt} \ + \ \ cdots = x \ - \ {\ frac {x ^ {2}} {2}} \ + \ {\ frac {x ^ {3}} {3} } \ - \ {\ frac {x ^ {4}} {4}} \ + \ \ cdots}

Așa că avem:

x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots =\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k-1}x^{k}}{k}}=\ln(1+x)\quad {\mbox{ per }}|x|<1.

{\ displaystyle x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3}} - {\ frac {x ^ {4}} {4}} + \ cdots = \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {k-1} x ^ {k}} {k}} = \ ln (1 + x) \ quad {\ mbox {per}} | x | <1.}

{\ displaystyle x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3}} - {\ frac {x ^ {4}} {4}} + \ cdots = \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {k-1} x ^ {k}} {k}} = \ ln (1 + x) \ quad {\ mbox {per}} | x | <1.}

Caz special

Prin plasare $x=1$ ${\ displaystyle x = 1}$ $x = 1$ , seria Mercator este redusă la așa-numita serie armonică cu semne alternante

\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2.

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {k + 1}} {k}} = \ ln 2.}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {k + 1}} {k}} = \ ln 2.}

De fapt, se întâmplă că seria

\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k-1}x^{k}}{k}},

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {k-1} x ^ {k}} {k}},}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {k-1} x ^ {k}} {k}},}

converge uniform în acest punct $x=1$ ${\ displaystyle x = 1}$ $x = 1$ ( după criteriul lui Leibniz ) și, prin urmare, fiind suma funcțiilor continue în acel punct (polinoame), este continuă acolo. Apoi seria și funcția $\ln {(1+x)}$ ${\ displaystyle \ ln {(1 + x)}}$ ${\ displaystyle \ ln {(1 + x)}}$ admite aceeași limită pentru $x\rightarrow 1^{-}$ ${\ displaystyle x \ rightarrow 1 ^ {-}}$ ${\ displaystyle x \ rightarrow 1 ^ {-}}$ , acesta este:

\lim _{x\to 1^{-}}{\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k-1}x^{k}}{k}}}=\lim _{x\to 1^{-}}{\ln {(1+x)}}=\ln {2}.

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 1 ^ {-}} {\ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {k-1} x ^ {k} } {k}}} = \ lim _ {x \ to 1 ^ {-}} {\ ln {(1 + x)}} = \ ln {2}.}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 1 ^ {-}} {\ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {k-1} x ^ {k} } {k}}} = \ lim _ {x \ to 1 ^ {-}} {\ ln {(1 + x)}} = \ ln {2}.}

Acest lucru poate fi, de asemenea, considerat un caz special referitor la $z=1$ ${\ displaystyle z = 1}$ ${\ displaystyle z = 1}$ a funcției Dirichlet eta $\eta (z)$ ${\ displaystyle \ eta (z)}$ ${\ displaystyle \ eta (z)}$ .

Bibliografie

( EN ) Seria Mercator în MathWorld
( SV ) Eriksson, Larsson, Wahde (2002): Matematisk analys med tillämpningar , partea 3, Göteborg, p. 10.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică