Funcția Q-exponențială

În matematica combinatorie și în studiul funcțiilor speciale, termenul q-exponențial este utilizat pentru doi q-analogi ai funcției exponențiale clasice.

Definiții

Să luăm în considerare următoarele funcții

e_{q}(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(q;q)_{n}}}=\prod _{n=0}^{\infty }(1-zq^{n})^{-1}={\frac {1}{(z;q)_{\infty }}}

{\ displaystyle e_ {q} (z): = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {(q; q) _ {n}}} = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} (1-zq ^ {n}) ^ {- 1} = {\ frac {1} {(z; q) _ {\ infty}}}}

{\ displaystyle e_ {q} (z): = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {(q; q) _ {n}}} = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} (1-zq ^ {n}) ^ {- 1} = {\ frac {1} {(z; q) _ {\ infty}}}}

Și

E_{q}(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n \choose 2}z^{n}}{(q;q)_{n}}}=\prod _{n=0}^{\infty }(1+q^{n}z)=(-z;q)_{\infty }

{\ displaystyle E_ {q} (z): = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n \ choose 2} z ^ {n}} {(q; q) _ {n}}} = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} (1 + q ^ {n} z) = (- z; q) _ {\ infty}}

{\ displaystyle E_ {q} (z): = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n \ choose 2} z ^ {n}} {(q; q) _ {n}}} = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} (1 + q ^ {n} z) = (- z; q) _ {\ infty}}

.

unde este

(z;q)_{n}:=(1-z)(1-zq)\cdots (1-zq^{n-1})

{\ displaystyle (z; q) _ {n}: = (1-z) (1-zq) \ cdots (1-zq ^ {n-1})}

{\ displaystyle (z; q) _ {n}: = (1-z) (1-zq) \ cdots (1-zq ^ {n-1})}

este factorul q în creștere . Că prima funcție constituie un q-analog al exponențialului obișnuit rezultă din proprietate

\left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}e_{q}(z)=e_{q}(z)

{\ displaystyle \ left ({\ frac {d} {dz}} \ right) _ {q} e_ {q} (z) = e_ {q} (z)}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {d} {dz}} \ right) _ {q} e_ {q} (z) = e_ {q} (z)}

unde operatorul de derivare din stânga este derivata q . Identitatea precedentă este ușor verificată luând în considerare derivata q a monomiului

\left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}=z^{n-1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=[n]_{q}z^{n-1}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {d} {dz}} \ right) _ {q} z ^ {n} = z ^ {n-1} {\ frac {1-q ^ {n}} {1 -q}} = [n] _ {q} z ^ {n-1}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {d} {dz}} \ right) _ {q} z ^ {n} = z ^ {n-1} {\ frac {1-q ^ {n}} {1 -q}} = [n] _ {q} z ^ {n-1}}

.

Aici $[n]_{q}$ ${\ displaystyle [n] _ {q}}$ ${\ displaystyle [n] _ {q}}$ denotă paranteză q .

Proprietate

Pentru q real cu $q<1$ ${\ displaystyle q <1}$ ${\ displaystyle q <1}$ functia $e_{q}(z)$ ${\ displaystyle e_ {q} (z)}$ ${\ displaystyle e_ {q} (z)}$ este o funcție întreagă a lui z .

Expresie hipergeometrică

În ceea ce privește seria q hipergeometrică , prima funcție q-exponențială $e_{q}(t)$ ${\ displaystyle e_ {q} (t)}$ ${\ displaystyle e_ {q} (t)}$ se exprimă prin

e_{q}(z)=\;_{1}\phi _{0}(0;q,z)

{\ displaystyle e_ {q} (z) = \; _ {1} \ phi _ {0} (0; q, z)}

{\ displaystyle e_ {q} (z) = \; _ {1} \ phi _ {0} (0; q, z)}

.

Există o expresie similară pentru a doua funcție în ceea ce privește seria q hipergeometrică generalizată .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică