Ecuația lui Hill (matematică)

În matematică , ecuația lui Hill este o ecuație diferențială de ordinul doi , introdusă de George William Hill în 1886, care are forma:

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + f (t) y = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + f (t) y = 0}

unde este $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ este o funcție periodică . ^[1]

Dacă perioada este $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ ecuația poate fi rescrisă folosind seria Fourier a $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ :

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + \ left (\ theta _ {0} +2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ theta _ {n} \ cos (2nt) + \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ phi _ {m} \ sin (2mt) \ right) y = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + \ left (\ theta _ {0} +2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ theta _ {n} \ cos (2nt) + \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ phi _ {m} \ sin (2mt) \ right) y = 0}

Există cazuri speciale importante ale acestei ecuații; în special ecuația diferențială Mathieu , ecuația Meissner și ecuația diferențială Whittaker-Hill :

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+[A+B\cos(2x)+C\cos(2x)]y=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + [A + B \ cos (2x) + C \ cos (2x)] y = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + [A + B \ cos (2x) + C \ cos (2x)] y = 0}

În funcție de comportamentul $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ soluțiile ecuației Hill pot fi limitate sau pot crește exponențial ^[2], ceea ce face ecuația deosebit de semnificativă în studiul ecuațiilor diferențiale periodice. Forma exactă a soluțiilor este descrisă de teoria lui Floquet .

Notă

^ W. Magnus și S. Winkler, ecuația lui Hill , New York-Londra-Sydney, Interscience Publishers John Wiley & Sons, 1966.
^ Gerald Teschl, Ecuații diferențiale ordinare și sisteme dinamice , Providence , American Mathematical Society , 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 .

Bibliografie

( EN ) GW Hill , din partea mișcării perigelui lunar care este o funcție a mișcărilor medii ale Soarelui și Lunii , în Acta Math. , vol. 8, nr. 1, 1886, pp. 1-36, DOI : 10.1007 / BF02417081 .
( FR ) Riesz, F Les systèmes d'équations linéaires à une infinité d'inconnues (Paris, Gauthier-Villars, 1913).
( EN ) Whittaker, ET și Watson GN Course of Modern Analysis p. 406 (Cambridge University Press, 1915).

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Yu.V. Komlenko, ecuația Hill , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Ecuația diferențială a lui Hill în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Eric W. Weisstein, Whittaker-Hill Differential Equation în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) Magnus, W; Shenitzer, ecuația lui Abe Hill. Partea I. Teoria generală (1957)
( EN ) Magnus, W; Winkler, ecuația lui S Hill. II: Transformări, aproximare, exemple (1961)
(EN) Magnus, W. Determinanți infiniti în teoria ecuațiilor lui Mathieu și Hill Pacific J. Math. Volumul 5, Supliment. 2 (1955), 941-951.
( EN ) Mori RE Soluții și soluții aproximative la ecuația lui Hill și la ecuația Mathieu. ^{[ link rupt ]} (1957)

Controlul autorității	LCCN ( EN ) sh85060834

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] W. Magnus și S. Winkler, ecuația lui Hill , New York-Londra-Sydney, Interscience Publishers John Wiley & Sons, 1966.

[2] Gerald Teschl, Ecuații diferențiale ordinare și sisteme dinamice , Providence , American Mathematical Society , 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 .

[1]

[2],