Teorema convergenței lui Vitali

În analiza funcțională și teoria măsurătorilor , teorema convergenței lui Vitali , numită după Giuseppe Vitali , este o generalizare a teoremei convergenței dominate de Henri Lebesgue , cea mai cunoscută. Este util atunci când nu este posibil să se găsească funcția „dominantă” pentru succesiunea funcțiilor luate în considerare (dacă în schimb este posibilă, teorema convergenței dominate urmează ca un caz particular).

Teorema

Este $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {F}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {F}}, \ mu)}$ un spațiu de măsurare cu măsură pozitivă. Dacă: ^[1]

$\mu (X)<\infty$ ${\ displaystyle \ mu (X) <\ infty}$ ${\ displaystyle \ mu (X) <\ infty}$
$\{f_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \}}$ $\ {f_ {n} \}$ este integrabil uniform
$f_{n}(x)\to f(x)$ ${\ displaystyle f_ {n} (x) \ to f (x)}$ ${\ displaystyle f_ {n} (x) \ to f (x)}$ aproape peste tot pentru $n\to \infty$ ${\ displaystyle n \ to \ infty}$ $n \ to \ infty$
$|f(x)|<\infty$ ${\ displaystyle | f (x) | <\ infty}$ ${\ displaystyle | f (x) | <\ infty}$ aproape peste tot

atunci apare:

$f\in L^{1}(\mu )$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {1} (\ mu)}$ $f \ în L ^ {1} (\ mu)$
$\lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|d\mu =0$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} | f_ {n} -f | d \ mu = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} | f_ {n} -f | d \ mu = 0}$

Și invers $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {F}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {F}}, \ mu)}$ un spațiu de măsurare cu măsură pozitivă. Dacă: ^[1]

$\mu (X)<\infty$ ${\ displaystyle \ mu (X) <\ infty}$ ${\ displaystyle \ mu (X) <\ infty}$
$f_{n}\in L^{1}(\mu )$ ${\ displaystyle f_ {n} \ în L ^ {1} (\ mu)}$ ${\ displaystyle f_ {n} \ în L ^ {1} (\ mu)}$
$\lim _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}d\mu$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {E} f_ {n} d \ mu}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {E} f_ {n} d \ mu}$ există pentru fiecare $E\in {\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle E \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle E \ in {\ mathcal {F}}}$

asa de $\{f_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \}}$ $\ {f_ {n} \}$ este integrabil uniform.

Demonstrație

Pentru a arăta asta $f\in L^{1}(\mu )$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {1} (\ mu)}$ $f \ în L ^ {1} (\ mu)$ se folosește lema lui Fatou :

\int _{X}|f|d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}|d\mu

{\ displaystyle \ int _ {X} | f | d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} | f_ {n} | d \ mu}

{\ displaystyle \ int _ {X} | f | d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} | f_ {n} | d \ mu}

Folosind o integrabilitate uniformă avem:

\int _{E}|f_{n}|d\mu <1

{\ displaystyle \ int _ {E} | f_ {n} | d \ mu <1}

{\ displaystyle \ int _ {E} | f_ {n} | d \ mu <1}

unde este $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este un set astfel încât $\mu (E)<\delta$ ${\ displaystyle \ mu (E) <\ delta}$ ${\ displaystyle \ mu (E) <\ delta}$ . Mai mult, prin teorema lui Egorov ${f_{n}}$ ${\ displaystyle {f_ {n}}}$ ${\ displaystyle {f_ {n}}}$ converge uniform în ansamblu $E^{C}$ ${\ displaystyle E ^ {C}}$ ${\ displaystyle E ^ {C}}$ . Avem:

\int _{E^{C}}|f_{n}-f_{p}|d\mu <1

{\ displaystyle \ int _ {E ^ {C}} | f_ {n} -f_ {p} | d \ mu <1}

{\ displaystyle \ int _ {E ^ {C}} | f_ {n} -f_ {p} | d \ mu <1}

Pentru o $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ suficient de mare și pentru fiecare $n>p$ ${\ displaystyle n> p}$ ${\ displaystyle n> p}$ . Datorită inegalității triunghiulare :

\int _{E^{C}}|f_{n}|d\mu \leq \int _{E^{C}}|f_{p}|d\mu +1=M

{\ displaystyle \ int _ {E ^ {C}} | f_ {n} | d \ mu \ leq \ int _ {E ^ {C}} | f_ {p} | d \ mu + 1 = M}

{\ displaystyle \ int _ {E ^ {C}} | f_ {n} | d \ mu \ leq \ int _ {E ^ {C}} | f_ {p} | d \ mu + 1 = M}

Prin aplicarea acestei limite pe partea dreaptă a lemei Fatou, obținem astfel $f\in L^{1}(\mu )$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {1} (\ mu)}$ $f \ în L ^ {1} (\ mu)$ .

Pentru a arăta asta $\lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|d\mu =0$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} | f_ {n} -f | d \ mu = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} | f_ {n} -f | d \ mu = 0}$ folosește faptul că:

\int _{X}|f-f_{n}|d\mu \leq \int _{E}|f|d\mu +\int _{E}|f_{n}|d\mu +\int _{E^{C}}|f-f_{n}|d\mu

{\ displaystyle \ int _ {X} | f-f_ {n} | d \ mu \ leq \ int _ {E} | f | d \ mu + \ int _ {E} | f_ {n} | d \ mu + \ int _ {E ^ {C}} | f-f_ {n} | d \ mu}

{\ displaystyle \ int _ {X} | f-f_ {n} | d \ mu \ leq \ int _ {E} | f | d \ mu + \ int _ {E} | f_ {n} | d \ mu + \ int _ {E ^ {C}} | f-f_ {n} | d \ mu}

unde este $E\in X$ ${\ displaystyle E \ în X}$ ${\ displaystyle E \ în X}$ Și $\mu (E)<\delta$ ${\ displaystyle \ mu (E) <\ delta}$ ${\ displaystyle \ mu (E) <\ delta}$ . Termenii din partea dreaptă sunt limitați, respectiv, de cele spuse mai sus, de integrabilitatea uniformă a $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ , și pentru teorema lui Egorov (pentru toți $n>N$ ${\ displaystyle n> N}$ ${\ displaystyle n> N}$ ).

Notă

^ ^a ^b Walter Rudin, Analiza reală și complexă , 1986, p. 133, ISBN 978-0-07-054234-1 .

Bibliografie

( EN ) Gerald B. Folland, Real analysis , Pure and Applied Mathematics (New York), Ediția a doua, New York, John Wiley & Sons Inc., 1999, pp. xvi + 386, ISBN 0-471-31716-0 .
( EN ) Jeffrey S. Rosenthal, O primă privire asupra teoriei probabilității riguroase , ediția a doua, Hackensack, NJ, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2006, pp. xvi + 219, ISBN 978-981-270-371-2 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Teorema convergenței Vitali , în PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[http://www.amazon.com/Complex-Analysis-International-Applied-Mathematics/dp/0070542341-1] Walter Rudin, Analiza reală și complexă , 1986, p. 133, ISBN 978-0-07-054234-1 .

[1]