Aproape homomorfism

Un cvasi-omomorfism este o aplicație din $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ în sine care poate fi considerată o generalizare a homomorfismelor .

Definiție

O functie $f:\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ longrightarrow \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ longrightarrow \ mathbb {Z}}$ spunem aproape homomorfism dacă $\exists k\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ există k \ în \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ există k \ în \ mathbb {N}}$ astfel încât $\forall n,m\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ forall n, m \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ forall n, m \ in \ mathbb {Z}}$ :

|f(n+m)-f(n)-f(m)|\leq k.

{\ displaystyle | f (n + m) -f (n) -f (m) | \ leq k.}

{\ displaystyle | f (n + m) -f (n) -f (m) | \ leq k.}

Desigur, dacă k = 0 există un homomorfism.

Proprietate

Este $f:\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ longrightarrow \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ longrightarrow \ mathbb {Z}}$ un aproape homomorfism cu constantă $k\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ $k \ in \ mathbb {N}$ :

$\forall n,m\in \mathbb {Z} :|f(m\cdot n)-m\cdot f(n)|\leq (|m|+1)\cdot k$ ${\ displaystyle \ forall n, m \ in \ mathbb {Z}: | f (m \ cdot n) -m \ cdot f (n) | \ leq (| m | +1) \ cdot k}$ ${\ displaystyle \ forall n, m \ in \ mathbb {Z}: | f (m \ cdot n) -m \ cdot f (n) | \ leq (| m | +1) \ cdot k}$ ;
$\forall n,m\in \mathbb {Z} :|n\cdot f(m)-m\cdot f(n)|\leq (|n|+|m|+2)\cdot k$ ${\ displaystyle \ forall n, m \ in \ mathbb {Z}: | n \ cdot f (m) -m \ cdot f (n) | \ leq (| n | + | m | +2) \ cdot k}$ ${\ displaystyle \ forall n, m \ in \ mathbb {Z}: | n \ cdot f (m) -m \ cdot f (n) | \ leq (| n | + | m | +2) \ cdot k}$ ;
O secvență Cauchy corespunde fiecărui aproape homomorfism și invers. ^[1]

Clase de echivalență

O relație între cvasi-omomorfisme poate fi definită după cum urmează:

Lasa-i sa fie

f, g

{\ displaystyle f, g}

f, g

aproape homomorfisme,

f\sim g\leftrightarrow \forall n\in \mathbb {Z} ,\exists k\in \mathbb {N}

{\ displaystyle f \ sim g \ leftrightarrow \ forall n \ in \ mathbb {Z}, \ există k \ in \ mathbb {N}}

{\ displaystyle f \ sim g \ leftrightarrow \ forall n \ in \ mathbb {Z}, \ există k \ in \ mathbb {N}}

astfel încât

|f(n)-g(n)|\leq k.

{\ displaystyle | f (n) -g (n) | \ leq k.}

{\ displaystyle | f (n) -g (n) | \ leq k.}

Se arată cu ușurință că $\sim$ ${\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ este o relație de echivalență . De asemenea, se arată că la fiecare clasă de echivalență a cvasi-homomorfismelor $[f]_{\sim }$ ${\ displaystyle [f] _ {\ sim}}$ ${\ displaystyle [f] _ {\ sim}}$ corespunde unei clase de secvențe Cauchy $[a_{n}]$ ${\ displaystyle [a_ {n}]}$ ${\ displaystyle [a_ {n}]}$ . Cu acest rezultat se dovedește că este posibil să se construiască mulțimea numerelor reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ începând de la $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ folosind clase de cvasi-omomorfisme ^[1] .

Notă

^ ^a ^b http://web.science.mq.edu.au/~street/EffR.pdf The Efficient Real Numbers, de James Douglas, Rony Kirollos, Ben Odgers, Ross Street și Nguyen Hanh Vo, Universitatea Macquarie februarie 2004

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[web.science.mq.edu.au-1] ttp://web.science.mq.edu.au/~street/EffR.pdf The Efficient Real Numbers, de James Douglas, Rony Kirollos, Ben Odgers, Ross Street și Nguyen Hanh Vo, Universitatea Macquarie februarie 2004

[1]