Set direct
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În matematică , o mulțime directă este o mulțime A în care o relație binară reflexivă și tranzitivă ≤ astfel încât pentru fiecare pereche de elemente a și b în A , există un al treilea element c în A care satisface a ≤ c și b ≤ c .
Având în vedere două puncte a și b ne putem muta dintr - o în direcția b de a găsi un alt punct de „înainte“ c atât a și b. Continuând prin inducție, puteți construi o secvență a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ ... de puncte.
Aplicații
Conceptul unui întreg direct îl generalizează pe cel al unui întreg total ordonat . Ele sunt utilizate în topologie pentru a defini o rețea , generalizarea conceptului de succesiune și pentru a unifica diferitele noțiuni de limită tipice analizei .
Exemple
Printre exemplele de seturi directe, subliniem:
- Mulțimea numerelor naturale N cu ordinea obișnuită ≤ este o mulțime directă (la fel ca orice mulțime total ordonată ).
- Dacă x 0 este un număr real , putem converti setul R - { x 0 } într-un set direct setând a ≤ b dacă și numai dacă
| a - x 0 | ≥ | b - x 0 |. În acest caz, se spune că setul de numere reale a fost îndreptat spre x 0 . Această relație nu este o ordine parțială. - Dacă T este un spațiu topologic și x 0 este un punct în T , mulțimea tuturor vecinătăților sale de x 0 este o mulțime directă în raport cu relația definită de U ≤ V dacă și numai dacă U conține V.
- Pentru fiecare U : U ≤ U ; întrucât U se conține pe sine.
- Pentru orice U , V , W : dacă U ≤ V și V ≤ W , atunci U ≤ W ; deoarece dacă U conține V și V conține W, atunci U conține W.
- Pentru fiecare U , V : există mulțimea U ∩ V astfel încât U ≤ U ∩ V și V ≤ U ∩ V ; deoarece U ∩ V este conținut atât în U cât și în V.
- Într - un poset P, orice subset de tipul {a | a în P , a ≤ x }, cu x fiind un element prefixat al lui P , este direct.
Subseturi directe
Mulțimile directe nu satisfac neapărat proprietatea antisimetrică , prin urmare, în general, nu sunt mulțimi parțial ordonate . În ciuda acestui fapt, termenul este frecvent utilizat cu referire la poziții. În acest context, un subset A al unui set parțial ordonat ( P , ≤) se numește subset direct dacă și numai dacă
- A nu este gol ,
- pentru orice pereche de puncte a și b în A , există un punct c în A astfel încât a ≤ c și b ≤ c
unde ordonarea elementelor lui A este moștenită de la cea existentă în P. Din acest motiv, nu este necesar să se solicite în mod explicit reflexivitate și tranzitivitate.
Subseturile directe sunt utilizate în mod obișnuit în teoria domeniului , care studiază ordinele pe seturi care satisfac proprietatea limită superioară . În acest sens, noțiunea de subset direct ne permite să extindem conceptul de succesiune convergentă la mulțimi parțial ordonate.
