Nilpotent Lie Algebra

În matematică , o algebră Lie ${\mathfrak {g}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ se spune că este nilpotent dacă seria sa descendentă centrală, definită ca

{\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>\cdots

{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}> [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]> [[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], {\ mathfrak {g}}]> [[[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], {\ mathfrak {g}}], {\ mathfrak {g}}]> \ cdots}

{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}> [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]> [[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], {\ mathfrak {g}}]> [[[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], {\ mathfrak {g}}], {\ mathfrak {g}}]> \ cdots}

devine 0 după un anumit număr finit de pase. Echivalent, ${\mathfrak {g}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ se spune nilpotente dacă

\operatorname {ad} (x_{1})\operatorname {ad} (x_{2})\operatorname {ad} (x_{3})...\operatorname {ad} (x_{r})=0,

{\ displaystyle \ operatorname {ad} (x_ {1}) \ operatorname {ad} (x_ {2}) \ operatorname {ad} (x_ {3}) ... \ operatorname {ad} (x_ {r}) = 0,}

{\ displaystyle \ operatorname {ad} (x_ {1}) \ operatorname {ad} (x_ {2}) \ operatorname {ad} (x_ {3}) ... \ operatorname {ad} (x_ {r}) = 0,}

pentru fiecare succesiune de elemente $x_{i}\in {\mathfrak {g}}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ in {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ in {\ mathfrak {g}}}$ suficient de lung, unde $\operatorname {ad} (x_{i})$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad} (x_ {i})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad} (x_ {i})}$ indică endomorfismul adăugat asociat cu $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ .

Consecința acestui fapt este că $\operatorname {ad} (x)$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad} (x)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad} (x)}$ este nilpotent (ca operator liniar) pentru fiecare $x\in {\mathfrak {g}}$ ${\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}$ . Teorema lui Engel arată că și conversația este adevărată. Mai mult, forma Killing a unei algebre Lie nilpotente este identică nulă.

Fiecare algebră nilpotentă este rezolvabilă . Acest fapt este adesea folosit pentru a demonstra că o anumită algebră este rezolvabilă, deoarece dovedirea nulității este mai simplă. Conversa nu este în general adevărată.

O algebră Lie este nilpotentă dacă și numai dacă coeficientul său față de un ideal care conține centrul lui ${\mathfrak {g}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ este, de asemenea, nilpotent.

Bibliografie

Humphreys, James E. Introducere în algebrele minciunii și teoria reprezentării . Texte postuniversitare în matematică, 9. Springer-Verlag, New York, 1972. ISBN 0-387-90053-5
W. Fulton și J. Harris , Teoria reprezentării. Un prim curs , Texte absolvite în matematică , vol. 129, New York, Springer-Verlag, 1991, ISBN 978-0-387-97527-6 , MR 1153249 .
James E. Humphreys, Introducere în algebrele minciunii și teoria reprezentării , Texte absolvite în matematică, vol. 9, New York, Springer-Verlag, 1972, ISBN 0-387-90053-5 .
AW Knapp , Lie grupuri dincolo de o introducere , Progres în matematică, vol. 120, 2nd, Boston · Basel · Berlin, Birkhäuser, 2002, ISBN 0-8176-4259-5 .

Controlul autorității	GND ( DE ) 4354815-5

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică