Algebra Lie mincinoasă

În matematică , o algebră Lie ${\mathfrak {g}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ se spune că poate fi rezolvat dacă seria derivată, definită ca

{\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...

{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ geq [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}] \ geq [[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]] \ geq [[[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], [{\ mathfrak {g}}, { \ mathfrak {g}}]], [[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]]] geq. ..}

{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ geq [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}] \ geq [[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]] \ geq [[[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], [{\ mathfrak {g}}, { \ mathfrak {g}}]], [[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]]] geq. ..}

devine 0 după un număr finit de pase.

Fiecare algebră Lie nilpotentă este rezolvabilă, dar inversul nu este adevărat. Idealul maxim rezolvabil se numește radical .

Proprietate

Este ${\mathfrak {g}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ o algebră Lie de dimensiune finită pe un câmp cu caracteristica 0. Atunci sunt echivalente:

${\mathfrak {g}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ este rezolvabil
$\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {g}})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {g}})}$ , reprezentarea adăugată a ${\mathfrak {g}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ , este rezolvabil.
Există o succesiune finită de idealuri ${\mathfrak {a}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i}}$ din ${\mathfrak {g}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ astfel încât:
${\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {a}} _ {0} \ supset {\ mathfrak {a}} _ {1} \ supset ... {\ mathfrak {a}} _ {r } = 0}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {a}} _ {0} \ supset {\ mathfrak {a}} _ {1} \ supset ... {\ mathfrak {a}} _ {r } = 0}$ unde este $[{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}$ ${\ displaystyle [{\ mathfrak {a}} _ {i}, {\ mathfrak {a}} _ {i}] \ subset {\ mathfrak {a}} _ {i + 1}}$ ${\ displaystyle [{\ mathfrak {a}} _ {i}, {\ mathfrak {a}} _ {i}] \ subset {\ mathfrak {a}} _ {i + 1}}$ pentru fiecare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ .
$[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ ${\ displaystyle [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$ ${\ displaystyle [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$ este nilpotent.

Teorema lui Lie afirmă că dacă $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un spațiu vectorial cu dimensiuni finite pe un câmp închis algebric cu caracteristica 0 și ${\mathfrak {g}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ este o algebră Lie solubilă pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , atunci există o bază a $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pentru care toate matricile elementelor din ${\mathfrak {g}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ sunt triunghiulare superioare.

Bibliografie

Humphreys, James E. Introducere în algebrele minciunii și teoria reprezentării . Texte postuniversitare în matematică, 9. Springer-Verlag, New York, 1972. ISBN 0-387-90053-5

Elemente conexe

Criteriul lui Cartan

Controlul autorității	GND ( DE ) 4382957-0

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică