Criteriul lui Cartan

În matematică , criteriul lui Cartan este o condiție care, dacă este satisfăcută, dovedește că o algebră Lie este rezolvabilă . Aceasta implică, de asemenea, existența unui criteriu pentru a demonstra că o algebră Lie este semisimplă. Se bazează pe noțiunea de formă a lui Killing și a fost introdusă de Élie Cartan în 1894.

Criteriul Cartan pentru solvabilitate

Criteriul prevede că:

Este

{\mathfrak {g}}

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ o algebră Lie formată din endomorfisme sau subalgebră a algebrei liniare generale

GL(V)

${\ displaystyle GL (V)}$ $GL (V)$ definit pe un spațiu vectorial

V.

${\ displaystyle V}$ $V.$ de mărime finită, pe un câmp

F.

${\ displaystyle F}$ $F.$ de zero caracteristică. Atunci

{\mathfrak {g}}

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ este rezolvabil dacă și numai dacă pentru fiecare

a\in {\mathfrak {g}},b\in [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}].

${\ displaystyle a \ in {\ mathfrak {g}}, b \ in [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$ ${\ displaystyle a \ in {\ mathfrak {g}}, b \ in [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}].}$ da ai

Tr(ab)=0

${\ displaystyle Tr (ab) = 0}$ ${\ displaystyle Tr (ab) = 0}$ .

Aplicând criteriul lui Cartan la reprezentarea adăugată , se obține un rezultat mai general:

Este

{\mathfrak {g}}

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ o algebră Lie de dimensiune finită pe un câmp

F.

${\ displaystyle F}$ $F.$ de zero caracteristică. Atunci

{\mathfrak {g}}

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ este rezolvabil dacă și numai dacă

K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0

${\ displaystyle K ({\ mathfrak {g}}, [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]) = 0}$ ${\ displaystyle K ({\ mathfrak {g}}, [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]) = 0}$ , unde este

K.

${\ displaystyle K}$ $K.$ este forma Killing a

{\mathfrak {g}}

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$