extensie transcendent

În matematică , mai ales în domeniul teoriei , o extensie transcendent (sau extensia transcendent) este o extensie a câmpurilor care nu este algebric , adică o extensie $F\subseteq K$ ${\ Displaystyle F \ subseteq K}$ $F \ subseteq K$ astfel încât în domeniu $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ există cel puțin un element de transcendente α pe $F.,$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle F}$ adică, nu este rădăcina oricărui polinom cu coeficienți în $F. .$ ${\ displaystyle F.}$ ${\ displaystyle F.}$

Un exemplu tipic de extensie transcendente este $F\subseteq F(X)$ ${\ Displaystyle F \ subseteq F (X)}$ ${\ Displaystyle F \ subseteq F (X)}$ , unde este $F(X)$ ${\ Displaystyle F (X)}$ ${\ Displaystyle F (X)}$ este domeniul funcțiilor raționale cu coeficienți în $F.;$ ${\ F displaystyle;}$ ${\ F displaystyle;}$ Alte exemple sunt extensii $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ subseteq \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ subseteq \ mathbb {R}}$ Și $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {C}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ subseteq \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ subseteq \ mathbb {C}}$ .

Independența algebrică și gradul de transcendență

Deoarece un element $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ transcendent asupra $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ nu este o soluție de orice polinom cu coeficienți $F.,$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle F}$ gradul de extindere $F\subseteq F(\alpha )$ ${\ Displaystyle F \ subseteq F (\ alpha)}$ ${\ Displaystyle F \ subseteq F (\ alpha)}$ este infinit; în consecință, gradul de orice extensie transcendent este infinit, iar acest instrument nu poate fi folosit pentru a le studia. În locul său, se introduce noțiunea de gradul de transcendență, obținută prin înlocuirea conceptului de independență liniară cu cea a independenței algebrică : un set $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ se spune să fie independent algebric pe un câmp $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ în cazul în care nu există nici un non-zero, polinomul $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ în mai multe variabile, astfel încât $P(s_{1},\ldots ,s_{n})=0$ ${\ Displaystyle P (s_ {1}, \ ldots, s_ {n}) = 0}$ ${\ Displaystyle P (s_ {1}, \ ldots, s_ {n}) = 0}$ pentru elementele $s_{1},\ldots ,s_{n}$ ${\ Displaystyle s_ {1}, \ ldots, s_ {n}}$ ${\ Displaystyle s_ {1}, \ ldots, s_ {n}}$ în $S. .$ ${\ Displaystyle S.}$ ${\ Displaystyle S.}$ În mod similar la bază definiția în algebra liniară avem definiția de bază a transcendentei unei extinderi $F\subseteq K$ ${\ Displaystyle F \ subseteq K}$ $F \ subseteq K$ : Este un subset $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ din $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ astfel încât $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este independent algebric de $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ Și $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este algebrică pe $F(T).$ ${\ Displaystyle F (T).}$ ${\ Displaystyle F (T).}$

Acest paralelism între extensiile algebra și transcendente liniare nu se limitează la definiții, dar , de asemenea , se extinde la multe dintre proprietățile bazelor: fiecare extensie transcendent are o bază de transcendență (chiar dacă este necesar , să -și asume Zorn lema să - l dovedească) și fiecare set de elemente algebric independente pot fi completate pe bază de transcendere prin adăugarea altor elemente la ea. În special, cele două baze de transcendență trebuie să aibă aceeași cardinalitatea: aceasta se numește gradul de transcendență $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ pe $F.,$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle F}$ și este analog cu noțiunea de dimensiune a unui spațiu vectorial .

Din definiția rezultă imediat că, dacă $F\subseteq K\subseteq L$ ${\ Displaystyle F \ subseteq K \ subseteq L}$ ${\ Displaystyle F \ subseteq K \ subseteq L}$ și $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este algebrică pe $K.,$ ${\ displaystyle K,}$ ${\ displaystyle K,}$ asa de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ acestea au același grad de transcendență pe $F.;$ ${\ F displaystyle;}$ ${\ F displaystyle;}$ în special, o extensie algebrică are un grad de transcendență.

Spre deosebire de gradul de extindere, care este multiplicativ (adică, dacă $F\subseteq K\subseteq L$ ${\ Displaystyle F \ subseteq K \ subseteq L}$ ${\ Displaystyle F \ subseteq K \ subseteq L}$ asa de $[L:F]=[K:F]\cdot [L:K]$ ${\ Displaystyle [L: F] = [K: F] \ cdot [L: K]}$ ${\ Displaystyle [L: F] = [K: F] \ cdot [L: K]}$ ), Gradul de transcendență este aditiv, adică gradul de transcendenta $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ pe $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este egală cu suma gradelor de transcendere a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ pe $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ și de $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ pe $K. .$ ${\ displaystyle K.}$ ${\ displaystyle K.}$

Extensiile Purely transcendente

O extensie generată de elemente algebric independente se spune ca pur transcendente. O extensie pur transcendentă $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este izomorf cu un câmp $F(X)$ ${\ Displaystyle F (X)}$ ${\ Displaystyle F (X)}$ de funcții raționale , în cazul în care $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ indică un set de nedeterminate independente; gradul său de transcendență este dată de cardinalitatea de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Sau prin numărul nedeterminat. De exemplu, extinderea $F\subseteq F(X)$ ${\ Displaystyle F \ subseteq F (X)}$ ${\ Displaystyle F \ subseteq F (X)}$ este pur transcendentă cu un grad de transcendență $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , Și $F\subseteq F(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ${\ Displaystyle F \ subseteq F (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$ ${\ Displaystyle F \ subseteq F (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$ are grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Nu toate extensiile transcendente $F\subseteq K$ ${\ Displaystyle F \ subseteq K}$ $F \ subseteq K$ acestea sunt pur transcendente. Acest lucru este valabil doar în cazul în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este o extensie intermediară între $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ Și $F(X)$ ${\ Displaystyle F (X)}$ ${\ Displaystyle F (X)}$ ( Lüroth e teorema , în special $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este o simplă extensie a $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ ), Dar nu pentru grade mai mari de transcendență; În cazul în care $F\subseteq K\subseteq F(X,Y)$ ${\ Displaystyle F \ subseteq K \ subseteq F (X, Y)}$ ${\ Displaystyle F \ subseteq K \ subseteq F (X, Y)}$ , Rezultatul este încă valabil în cazul în care se presupune că $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este algebric închis și $F(X,Y)$ ${\ Displaystyle F (X, Y)}$ ${\ Displaystyle F (X, Y)}$ este un finit și separabile extinderea $K. .$ ${\ displaystyle K.}$ ${\ displaystyle K.}$

Bibliografie

Stefania Gabelli, Teoria ecuațiilor și teoria lui Galois , Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică