Legea privind anularea produsului

În algebra elementară, legea nulității produsului afirmă că dacă două numere reale dau produsului zero atunci cel puțin unul dintre cei doi factori este zero . În formulă:

ab=0\Rightarrow a=0\lor b=0

{\ displaystyle ab = 0 \ Rightarrow a = 0 \ lor b = 0}

{\ displaystyle ab = 0 \ Rightarrow a = 0 \ lor b = 0}

Putem generaliza acest concept în algebră abstractă , în teoria inelelor , cu o afirmație aproape egală, unde zero va însemna zeroul inelului ^[1] . Un inel la care se aplică această lege se numește domeniul integrității .

Este posibil să se demonstreze că legea anulării produsului este cu siguranță verificată pe corpuri , în virtutea existenței elementului invers față de produs pentru fiecare element diferit de 0.

Demonstrație

Este absurd să presupunem că există câteva elemente $X, y$ ${\ displaystyle x, y}$ $X y$ aparținând unui corp $K.,$ ${\ displaystyle K,}$ ${\ displaystyle K,}$ ambele non-nule, astfel încât $x\cdot y=0$ ${\ displaystyle x \ cdot y = 0}$ ${\ displaystyle x \ cdot y = 0}$ .

Înmulțind ambele părți la stânga cu inversul lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și aplicând proprietățile corpurilor obținem:

x^{-1}\cdot x\cdot y=x^{-1}\cdot 0.

{\ displaystyle x ^ {- 1} \ cdot x \ cdot y = x ^ {- 1} \ cdot 0.}

{\ displaystyle x ^ {- 1} \ cdot x \ cdot y = x ^ {- 1} \ cdot 0.}

De vreme ce într-un corp

a\cdot 0=0,

{\ displaystyle a \ cdot 0 = 0,}

{\ displaystyle a \ cdot 0 = 0,}

intr-adevar

a\cdot 0=a\cdot (0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0

{\ displaystyle a \ cdot 0 = a \ cdot (0 + 0) = a \ cdot 0 + a \ cdot 0}

{\ displaystyle a \ cdot 0 = a \ cdot (0 + 0) = a \ cdot 0 + a \ cdot 0}

prin urmare, prin legea legii de anulare, cineva are

$a\cdot 0=0$ ${\ displaystyle a \ cdot 0 = 0}$ ${\ displaystyle a \ cdot 0 = 0}$

prin urmare

1\cdot y=0

{\ displaystyle 1 \ cdot y = 0}

{\ displaystyle 1 \ cdot y = 0}

y=0

{\ displaystyle y = 0}

{\ displaystyle y = 0}

ceea ce contrazice ipoteza că ambele elemente erau nenule.

Notă

^ Proprietatea inversă, care este aceea pentru fiecare element x produsul $x*0=0$ ${\ displaystyle x * 0 = 0}$ ${\ displaystyle x * 0 = 0}$ , face parte din proprietățile de bază ale inelelor

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Proprietatea inversă, care este aceea pentru fiecare element x produsul $x*0=0$ ${\ displaystyle x * 0 = 0}$ ${\ displaystyle x * 0 = 0}$ , face parte din proprietățile de bază ale inelelor

[1]