Element absorbant

În matematică , un element absorbant este un anumit tip de element al unui set în raport cu o operație binară din setul dat. Rezultatul combinării unui element absorbant cu orice alt element din ansamblu este elementul absorbant în sine. În teoria semigrupurilor , elementul absorbant este numit element zero . ^[1] ^[2]

Definiție

Este $(S,\circ )$ ${\ displaystyle (S, \ circ)}$ $(S, \ circ)$ o pereche ordonată dintr-un set și o operație binară definită în setul în sine (adică o magmă ). Un element absorbant $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ din $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este astfel încât, pentru toate elementele $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ din $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , da $z\circ s=s\circ z=z$ ${\ displaystyle z \ circ s = s \ circ z = z}$ $z \ circ s = s \ circ z = z$ .

O definiție mai largă distinge două tipuri de element absorbant: elementul dreapta zero , deci $s\circ z=z$ ${\ displaystyle s \ circ z = z}$ $s \ circ z = z$ pentru fiecare $s\in S$ ${\ displaystyle s \ în S}$ $s \ în S$ , și elementul zero din stânga , deci $z\circ s=z$ ${\ displaystyle z \ circ s = z}$ $z \ circ s = z$ pentru fiecare $s\in S$ ${\ displaystyle s \ în S}$ $s \ în S$ . ^[2] Un element care este atât la dreapta cât și la stânga zero este un element absorbant conform definiției de mai sus.

Proprietate

Dacă o magmă are un element zero drept $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ și un zero din stânga $z^{'}$ ${\ displaystyle z '}$ $z '$ , atunci ele coincid și constituie elementul zero al magmei. Intr-adevar, $z=z'\times z=z'$ ${\ displaystyle z = z '\ ori z = z'}$ ${\ displaystyle z = z '\ ori z = z'}$ .
Dacă o magmă are un element absorbant, aceasta este unică .

Exemple

Împreună	Operațiune	Element absorbant
numere reale	( Înmulțire )	0
numere întregi	cel mai mare divizor comun	1
matrici pătrate	(Multiplicare)	matrice nulă
numere reale extinse	element minim	−∞
numere reale extinse	element maxim	+ ∞
seturi	∩ ( intersecție )	{} ( set gol )
subseturi de M	∪ ( uniune )	M.
logică booleană	Conjunction ( conjuncție logică )	False (fals)
logică booleană	∨ ( disjuncție inclusiv )	True (adevărat)
Împreună	Operațiune	Element lăsat zero
numere reale	: ( diviziune )	0

Notă

^ Howie , pp. 2-3 .
^ ^a ^b Kilp, Knauer, Mihalev , pp. 14-15 .

Bibliografie

( EN ) John M. Howie, Fundamentals of Semigroup Theory , Clarendon Press , 1995, ISBN 0-19-851194-9 .
( EN ) M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs , în De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29 , Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7 .
( EN ) Jonathan Golan, Semirings and Their Applications , Springer, 1999, ISBN 0-7923-5786-8 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Howie , pp. 2-3 .

[Kilp-2] Kilp, Knauer, Mihalev , pp. 14-15 .

[1]

[2]