Setați limita

În matematică , limita unei succesiuni de mulțimi , $(A_{n})_{n}$ ${\ displaystyle (A_ {n}) _ {n}}$ $(Ann}$ , este un set care conține elementele care sunt conținute într-un număr infinit de seturi $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ și care sunt excluse cel mult dintr-un număr finit dintre ele.

Secvențe monotone

O succesiune de seturi $(A_{n})_{n}$ ${\ displaystyle (A_ {n}) _ {n}}$ $(Ann}$ se numește monoton dacă este:

crescând (indicat cu $A_{n}\uparrow$ ${\ displaystyle A_ {n} \ uparrow}$ ${\ displaystyle A_ {n} \ uparrow}$ ), sau daca $\forall n\in \mathbb {N} :A_{n}\subseteq A_{n+1}$ ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}: A_ {n} \ subseteq A_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}: A_ {n} \ subseteq A_ {n + 1}}$ ;
descrescător (indicat cu $A_{n}\downarrow$ ${\ displaystyle A_ {n} \ downarrow}$ ${\ displaystyle A_ {n} \ downarrow}$ ), sau daca $\forall n\in \mathbb {N} :A_{n}\supseteq A_{n+1}$ ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}: A_ {n} \ supseteq A_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}: A_ {n} \ supseteq A_ {n + 1}}$ .

Într-o succesiune crescândă, dat fiind un n avem:

\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{n}

{\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} = A_ {n}}

{\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} = A_ {n}}

Limita unei secvențe în creștere pentru n tendința la infinit este definită de:

\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=A

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} = \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} = A}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} = \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} = A}

și, prin urmare, mulțimea conține elementele aparținând tuturor mulțimilor de la un anumit indice înainte. În simboluri: $A_{n}\uparrow A$ ${\ displaystyle A_ {n} \ uparrow A}$ ${\ displaystyle A_ {n} \ uparrow A}$ .

Într-o secvență descrescătoare, dat un n avem:

\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{n}

{\ displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} = A_ {n}}

{\ displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} = A_ {n}}

Limita unei secvențe care scade pe măsură ce n are tendința la infinit este definită de:

\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}=A

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} = \ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} = A}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} = \ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} = A}

și este mulțimea care conține elementele conținute în toate mulțimile. În simboluri: $A_{n}\downarrow A$ ${\ displaystyle A_ {n} \ downarrow A}$ ${\ displaystyle A_ {n} \ downarrow A}$ .