Sân (matematică)

Având în vedere un triunghi unghiular , sinusul unui unghi acut este definit ca raportul dintre lungimile catetului colț opus și ipotenuza dell '

În matematică , în special în trigonometrie , având în vedere un triunghi dreptunghiular, sinusul unuia dintre cele două unghiuri interne adiacente hipotenuzei este definit ca raportul dintre lungimile catetului opus unghiului și ale hipotenuzei .

Mai general, sinusul unui unghi $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , exprimată în grade sau radiani , este o cantitate care depinde doar de $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , construită folosind circumferința unității .

Definirea modului $\sin x$ ${\ displaystyle \ sin x}$ $\ sin x$ sânul din colț $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ obținem funcția sinus , o funcție trigonometrică de importanță fundamentală în analiza matematică . În contextul italian, această funcție este adesea indicată cu $\mathrm {sen} x$ ${\ displaystyle \ mathrm {sen} x}$ ${\ displaystyle \ mathrm {sen} x}$ .

Definiție

În triunghiul roșu din figură, sinusul lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este dat de

\sin x={\overline {DC}}

{\ displaystyle \ sin x = {\ overline {DC}}}

{\ displaystyle \ sin x = {\ overline {DC}}}

Mai general, sinusul unui unghi este definit $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pornind de la circumferința goniometrică , adică de la circumferința cu o unitate de rază în plan cartezian . A luat raza care iese din originea care formează un unghi $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cu axa abscisei ca în figură, sinusul unghiului este, prin urmare, definit ca valoarea coordonatei $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ a punctului de intersecție între rază și circumferință (în figură, este lungimea segmentului $C. D.$ ${\ displaystyle CD}$ $CD$ ).

Domeniul funcției sinusoidale este setul de numere reale, în timp ce imaginea este intervalul real $[-1;+1]$ ${\ displaystyle [-1; +1]}$ $[-1; +1]$ , adică, aplicând această funcție tuturor numerelor reale obținem toate numerele reale incluse între $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ Și $+1$ ${\ displaystyle +1}$ $+1$ , extreme incluse.

Următorul tabel prezintă principalele valori notabile asumate de funcția sinusoidală: ^[1] ^[2]

$X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în radiani	0	${\frac {\pi }{12}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {12}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {12}}}$	${\frac {\pi }{10}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {10}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {10}}}$	${\frac {\pi }{6}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {6}}}$ ${\ frac {\ pi} {6}}$	${\frac {\pi }{4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}$ ${\ frac {\ pi} {4}}$	${\frac {\pi }{3}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3}}}$ ${\ frac {\ pi} {3}}$	${\frac {5}{12}}\pi$ ${\ displaystyle {\ frac {5} {12}} \ pi}$ ${\ displaystyle {\ frac {5} {12}} \ pi}$	${\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ frac {\ pi} {2}}$	$\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$	${\frac {3\pi }{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {3 \ pi} {2}}}$ ${\ frac {3 \ pi} {2}}$	$2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$
$X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în grade	0 °	15 °	18 °	30 °	45 °	60 °	75 °	90 °	180 °	270 °	360 °
$\sin x$ ${\ displaystyle \ sin x}$ $\ sin x$		${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}} {4}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}} {4}}}$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {4}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {4}}}$	${\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ ${\ frac {1} {2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}$ ${\ frac {\ sqrt {2}} {2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}$ ${\ frac {\ sqrt {3}} {2}}$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}} {4}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}} {4}}}$	$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$		$-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$

În textele matematice sinusul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este indicat de obicei cu notația $\sin x$ ${\ displaystyle \ sin x}$ $\ sin x$ sau $\operatorname {sen} x$ ${\ displaystyle \ operatorname {sen} x}$ ${\ displaystyle \ operatorname {sen} x}$ , Unde $\sin$ ${\ displaystyle \ sin}$ $\ stânga$ este o abreviere a sinusului latin folosit și în țările vorbitoare de limbă engleză.

Există o altă definiție a sinusului care se referă la rotații: sinusul unui unghi $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este componenta de-a lungul axei ordonate a unității vectoriale $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , vectorul axei absciselor, rotit de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Funcția sinusoidală

Același subiect în detaliu: Sinusoid .

Funcția sinusoidală este definită prin asocierea cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ sinusul unghiului $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în radiani și este notat cu $\sin x$ ${\ displaystyle \ sin x}$ $\ sin x$ . Atâta timp cât $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $x+2\pi$ ${\ displaystyle x + 2 \ pi}$ $x + 2 \ pi$ definiți același unghi, funcția sinusoidală este o funcție periodică a perioadei $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ , unde este $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ este unghiul rotund .

Reprezentarea grafică a funcției sinusoidale

Desenez y = sin x folosind cercul trigonometric unitar.

Sinus și cosinus

Relația fundamentală există între sinus și cosinus :

\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1,

{\ displaystyle \ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = 1,}

\ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = 1,

ceea ce este o consecință a teoremei lui Pitagora . Într-adevăr, în triunghi $SAU C. D.$ ${\ displaystyle OCD}$ $TOC$ în a doua figură cosinusul lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este definit ca

\cos x={\frac {\overline {OC}}{\overline {OD}}}.

{\ displaystyle \ cos x = {\ frac {\ overline {OC}} {\ overline {OD}}}.}

{\ displaystyle \ cos x = {\ frac {\ overline {OC}} {\ overline {OD}}}.}

Pe de altă parte, teorema lui Pitagora s-a aplicat triunghiului $SAU C. D.$ ${\ displaystyle OCD}$ $TOC$ furnizează raportul

{\overline {DC}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}={\overline {OD}}^{2},

{\ displaystyle {\ overline {DC}} ^ {2} + {\ overline {OC}} ^ {2} = {\ overline {OD}} ^ {2},}

{\ overline {DC}} ^ {2} + {\ overline {OC}} ^ {2} = {\ overline {OD}} ^ {2},

prin urmare

\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=\left({\frac {\overline {DC}}{\overline {OD}}}\right)^{2}+\left({\frac {\overline {OC}}{\overline {OD}}}\right)^{2}={\frac {{\overline {DC}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}}{{\overline {OD}}^{2}}}={\frac {{\overline {OD}}^{2}}{{\overline {OD}}^{2}}}=1.

{\ displaystyle \ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = \ left ({\ frac {\ overline {DC}} {\ overline {OD}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ overline {OC}} {\ overline {OD}}} \ right) ^ {2} = {\ frac {{\ overline {DC}} ^ {2} + {\ overline {OC}} ^ {2}} {{\ overline {OD}} ^ {2}}} = {\ frac {{\ overline {OD}} ^ {2}} {{\ overline {OD}} ^ {2}}} = 1.}

\ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = \ left ({\ frac {\ overline {DC}} {\ overline {OD}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ overline {OC}} {\ overline {OD}}} \ right) ^ {2} = {\ frac {{\ overline {DC}} ^ {2} + {\ overline {OC}} ^ {2 }} {{\ overline {OD}} ^ {2}}} = {\ frac {{\ overline {OD}} ^ {2}} {{\ overline {OD}} ^ {2}}} = 1.

Relația mai deține:

\sin x=\cos \left(x-{\frac {\pi }{2}}\right).

{\ displaystyle \ sin x = \ cos \ left (x - {\ frac {\ pi} {2}} \ right).}

{\ displaystyle \ sin x = \ cos \ left (x - {\ frac {\ pi} {2}} \ right).}

Ca și în cazul cosinusului , cosecanta unui unghi este $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ împărțit sinusul unghiului.

Proprietăți analitice ale funcției sinusoidale

Funcția sinusoidală (albastru) și aproximarea acesteia date de polinomul Taylor de gradul 7 (roz).

Derivata funcției sinusoidale este funcția cosinusului: ^[3]

\sin 'x=\cos x.

{\ displaystyle \ sin 'x = \ cos x.}

\ sin 'x = \ cos x.

A doua derivată este în schimb

\sin ''x=-\sin x.

{\ displaystyle \ sin '' x = - \ sin x.}

\ sin '' x = - \ sin x.

Funcția sinusoidală este o funcție analitică , a cărei expansiune a seriei Taylor este

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}.

{\ displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7} } {7!}} + \ Cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)! }}.}

\ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7}} {7 !}} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}.

În analiza matematică, această egalitate este adesea utilizată pentru a defini sinusul. Aceeași serie definește sinusul ca o funcție holomorfă pe întregul plan complex .

Ecuații fundamentale referitoare la sân

Iată câteva ecuații fundamentale referitoare la funcția sinusoidală: ^[4]

\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1,

{\ displaystyle \ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = 1,}

\ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = 1,

\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y,

{\ displaystyle \ sin (x \ pm y) = \ sin x \ cos y \ pm \ cos x \ sin y,}

\ sin (x \ pm y) = \ sin x \ cos y \ pm \ cos x \ sin y,

\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y,

{\ displaystyle \ cos (x \ pm y) = \ cos x \ cos y \ mp \ sin x \ sin y,}

\ cos (x \ pm y) = \ cos x \ cos y \ mp \ sin x \ sin y,

cu adăugarea condiției care:

0<x\cos x<\sin x<x{\text{ per }}0<x<1.

{\ displaystyle 0 <x \ cos x <\ sin x <x {\ text {per}} 0 <x <1.}

0 <x \ cos x <\ sin x <x {\ text {per}} 0 <x <1.

Există, de asemenea, o identitate trigonometrică care leagă funcția sinusoidală de funcția tangentă :

\sin x={\frac {2\tau }{1+\tau ^{2}}},\quad {\text{ con }}\quad \tau =\tan {\frac {x}{2}}.

{\ displaystyle \ sin x = {\ frac {2 \ tau} {1+ \ tau ^ {2}}}, \ quad {\ text {con}} \ quad \ tau = \ tan {\ frac {x} { 2}}.}

{\ displaystyle \ sin x = {\ frac {2 \ tau} {1+ \ tau ^ {2}}}, \ quad {\ text {con}} \ quad \ tau = \ tan {\ frac {x} { 2}}.}

Această identitate are o importanță fundamentală în rezolvarea ecuațiilor goniometrice în care figura necunoscută este argumentul atât al unui sinus, cât și al unui cosinus sau al funcțiilor derivate din acestea. De fapt, există o identitate analogă în ceea ce privește cosinusul și utilizarea în comun a acestor două identități permite rezolvarea ecuației în necunoscut $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ .

Definiții conexe

Reciprocitatea sinusului, definită în care sinusul este diferit de zero, este cosecantul : ^[5]

\csc x={\frac {1}{\sin x}}

{\ displaystyle \ csc x = {\ frac {1} {\ sin x}}}

\ csc x = {\ frac {1} {\ sin x}}

Funcția sinusoidală limitată la interval $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ ${\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}$ $\ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]$ ca domeniu și cu codomain $[-1,1]$ ${\ displaystyle [-1,1]}$ $[-1,1]$ este bijectiv și, prin urmare, are un invers , numit arcsine și indicat cu $\arcsin$ ${\ displaystyle \ arcsin}$ $\ arcsin$ sau cu $\sin ^{-1}$ ${\ displaystyle \ sin ^ {- 1}}$ $\ sin ^ {- 1}$ care preia notația funcției inverse . ^[6] Prin definiție avem, prin urmare:

x=\arcsin y\Longleftrightarrow y=\sin x,\quad -{\frac {\pi }{2}}\leq x\leq {\frac {\pi }{2}},\quad -1\leq y\leq 1.

{\ displaystyle x = \ arcsin y \ Longleftrightarrow y = \ sin x, \ quad - {\ frac {\ pi} {2}} \ leq x \ leq {\ frac {\ pi} {2}}, \ quad - 1 \ leq y \ leq 1.}

x = \ arcsin y \ Longleftrightarrow y = \ sin x, \ quad - {\ frac {\ pi} {2}} \ leq x \ leq {\ frac {\ pi} {2}}, \ quad -1 \ leq y \ leq 1.

Alte proprietăți

Din formula lui Euler se poate deduce că funcția sinus este legată de funcția exponențială și de funcția sinus hiperbolică. De fapt pentru orice număr real $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ da ai

\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}={\frac {\sinh(ix)}{i}}

{\ displaystyle \ sin x = {\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}} = {\ frac {\ sinh (ix)} {i}}}

{\ displaystyle \ sin x = {\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}} = {\ frac {\ sinh (ix)} {i}}}

Unele formule speciale referitoare la funcția sinusoidală implică funcționarea produsului.

De exemplu, rezultă pentru orice număr întreg $n\geq 2$ ${\ displaystyle n \ geq 2}$ ${\ displaystyle n \ geq 2}$

\prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}

{\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ sin {\ frac {k \ pi} {n}} = {\ frac {n} {2 ^ {n-1}}}}

{\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ sin {\ frac {k \ pi} {n}} = {\ frac {n} {2 ^ {n-1}}}}

În analiza complexă , aplicândteorema factorizării Weierstrass funcției sinusoidale, aceasta poate fi exprimată ca un produs infinit , folosind următoarea formulă care se aplică pentru orice număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$

\sin z=z\cdot \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)

{\ displaystyle \ sin z = z \ cdot \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {\ pi ^ {2} n ^ {2} }} \ dreapta)}

{\ displaystyle \ sin z = z \ cdot \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {\ pi ^ {2} n ^ {2} }} \ dreapta)}

Un alt produs infinit raportează sinusul și cosinusul:

\sin z=z\cdot \prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {z}{2^{n}}}\right)

{\ displaystyle \ sin z = z \ cdot \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ frac {z} {2 ^ {n}}} \ right)}

{\ displaystyle \ sin z = z \ cdot \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ frac {z} {2 ^ {n}}} \ right)}

Funcția sinusoidală este, de asemenea, legată de unele funcții speciale, după cum se poate observa, de exemplu, prin formula de reflecție a funcției Gamma

\Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi  \over \sin(\pi z)}

{\ displaystyle \ Gamma (1-z) \ Gamma (z) = {\ pi \ over \ sin (\ pi z)}}

\ Gamma (1-z) \ Gamma (z) = {\ pi \ over \ sin (\ pi z)}

și de ecuația funcțională satisfăcută de funcția zeta Riemann

\zeta (z)=2^{z}\pi ^{z-1}\sin \left({\frac {\pi z}{2}}\right)\Gamma (1-z)\zeta (1-z)

{\ displaystyle \ zeta (z) = 2 ^ {z} \ pi ^ {z-1} \ sin \ left ({\ frac {\ pi z} {2}} \ right) \ Gamma (1-z) \ zeta (1-z)}

{\ displaystyle \ zeta (z) = 2 ^ {z} \ pi ^ {z-1} \ sin \ left ({\ frac {\ pi z} {2}} \ right) \ Gamma (1-z) \ zeta (1-z)}

O altă relație între funcția sinus și funcția Gamma este dată de următoarea integrală definită, valabilă pentru $n>1$ ${\ displaystyle n> 1}$ $n> 1$ : ^[7]

\int _{0}^{\infty }\sin(x^{n})dx=\Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{2n}}\right)

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sin (x ^ {n}) dx = \ Gamma \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) \ sin \ left ( {\ frac {\ pi} {2n}} \ right)}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sin (x ^ {n}) dx = \ Gamma \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) \ sin \ left ( {\ frac {\ pi} {2n}} \ right)}

În cele din urmă, prin formula fracției continue a lui Euler este posibilă exprimarea funcției sinusoidale sub forma unei fracții continue : ^[7] ^[8]

\sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{(2\cdot 3-x^{2})+{\cfrac {2\cdot 3\ x^{2}}{(4\cdot 5-x^{2})+{\cfrac {4\cdot 5\ x^{2}}{(6\cdot 7-x^{2})+\ddots }}}}}}}}

{\ displaystyle \ sin x = {\ cfrac {x} {1 + {\ cfrac {x ^ {2}} {(2 \ cdot 3-x ^ {2}) + {\ cfrac {2 \ cdot 3 \ x ^ {2}} {(4 \ cdot 5-x ^ {2}) + {\ cfrac {4 \ cdot 5 \ x ^ {2}} {(6 \ cdot 7-x ^ {2}) + \ ddots }}}}}}}}}}

{\ displaystyle \ sin x = {\ cfrac {x} {1 + {\ cfrac {x ^ {2}} {(2 \ cdot 3-x ^ {2}) + {\ cfrac {2 \ cdot 3 \ x ^ {2}} {(4 \ cdot 5-x ^ {2}) + {\ cfrac {4 \ cdot 5 \ x ^ {2}} {(6 \ cdot 7-x ^ {2}) + \ ddots }}}}}}}}}}

Istoria și originea numelui

Conceptul de sân a fost introdus de matematicianul și astronomul indian Aryabhata I (în devanāgarī : आर्यभट) în lucrarea sa Aryabhatiya ( 499 ). ^[9]

Sinusul este prin definiție jumătatea unei coarde , adică un segment care unește două puncte (numite extreme ) ale unei circumferințe . În sanscrită , „jumătate de coardă” este redată ca jya-ardha , uneori înlocuită cu ardha-jya și scurtată la „coardă” jya . Acest termen a fost importat în limba arabă sub numele de jiba , un termen fără sens înainte, dar care reflecta pronunția numelui jya . Conform regulilor limbii arabe, acest nume a fost scris cu cele două consoane jb , fără vocale. Mai târziu, când traducătorii occidentali s-au bazat pe surse arabe, au interpretat cuvântul jb ca jaib , al cărui sens era „bay”. În cele din urmă, italianul Gherardo da Cremona ( 1114 - 1187 ) a tradus cuvântul în latină ca sinus , al cărui sens era tocmai „golf”.

Notă

^ Valorile funcțiilor goniometrice , pe youmath.it , YouMath. Adus pe 19 octombrie 2016 .
^ ExerciseMatica.com , https://www.esercizimatematica.com/tabella-seno-coseno-con-tutti-gli-angoli/ .
^ Derivat al sânului , pe youmath.it , YouMath. Adus pe 19 octombrie 2016 .
^ Formule trigonometrice , pe youmath.it , YouMath. Adus pe 19 octombrie 2016 .
^ secante , în Enciclopedii online , Treccani. Adus pe 19 octombrie 2016 .
^ arcoséno , în Enciclopedie online , Treccani. Adus pe 19 octombrie 2016 .
^ ^a ^b Wolfram Mathworld - Sine , la mathworld.wolfram.com . Adus pe 9 aprilie 2020 .
^ Mauro Fiorentini - Funcții exprimate prin fracții continue , pe bitman.name . Adus pe 10 aprilie 2020 .
^ Aryabhata , pe pls.dima.unige.it . Adus pe 19 octombrie 2016 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe sâni

linkuri externe

Sine - de la Wolfram MathWorld

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Valorile funcțiilor goniometrice , pe youmath.it , YouMath. Adus pe 19 octombrie 2016 .

[2] ExerciseMatica.com , https://www.esercizimatematica.com/tabella-seno-coseno-con-tutti-gli-angoli/ .

[3] Derivat al sânului , pe youmath.it , YouMath. Adus pe 19 octombrie 2016 .

[4] Formule trigonometrice , pe youmath.it , YouMath. Adus pe 19 octombrie 2016 .

[5] secante , în Enciclopedii online , Treccani. Adus pe 19 octombrie 2016 .

[6] rcoséno , în Enciclopedie online , Treccani. Adus pe 19 octombrie 2016 .

[mathworld-7] Wolfram Mathworld - Sine , la mathworld.wolfram.com . Adus pe 9 aprilie 2020 .

[8] Mauro Fiorentini - Funcții exprimate prin fracții continue , pe bitman.name . Adus pe 10 aprilie 2020 .

[9] Aryabhata , pe pls.dima.unige.it . Adus pe 19 octombrie 2016 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

V · D · M Trigonometrie
Funcția trigonometrică · Funcția trigonometrică inversă
Funcții	Sân · versin · cosinus · Cosenoverso · Tangent · Cotangent · Secant · Secante externe · Cosecant · Cosecant extern
Funcții inverse	Arc sinus · Arc cosinus · Arctangent · cotangent invers · Arcosecante · Arcocosecante
Teoreme și formule	Teorema frânghiei · Teorema sânilor · teorema cosinusului · legea tangențelor · Teorema cotangenților · Pitagora · Formulele de prostafareză · Formulele Werner
Alte	Tabel trigonometric · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor trigonometrice · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor arc · Funcții hiperbolice · identități trigonometrice · Constante trigonometrice exacte · Istoricul funcțiilor trigonometrice