Numar real

În matematică , numerele reale pot fi descrise într-un non-formal ca numere cărora le puteți atribui o expansiune zecimală finită sau infinită, ca $\pi =3,141592\ldots$ ${\ displaystyle \ pi = 3.141592 \ ldots}$ ${\ displaystyle \ pi = 3.141592 \ ldots}$ Numerele reale pot fi pozitive, negative sau zero și includ, ca cazuri speciale, numerele întregi (ca $12$ ${\ displaystyle 12}$ $12$ ), Numerele raționale (cum ar fi $-22/7$ ${\ displaystyle -22/7}$ ${\ displaystyle -22/7}$ ) Și numerele iraționale algebrice (cum ar fi ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ ) Și transcendent (cum ar fi $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ și $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ ). Un număr real rațional are o dezvoltare zecimală finită sau periodică; de exemplu $1/3=0,333333\ldots$ ${\ displaystyle 1/3 = 0.333333 \ ldots}$ ${\ displaystyle 1/3 = 0.333333 \ ldots}$ este rațional. Setul de numere reale este în general indicat cu litera R sau $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .

Reprezentarea liniei reale

Numerele reale pot fi puse în corespondență cu punctele unei linii drepte , numitei linii sau liniei reale .

Definiția formală a numerelor reale a reprezentat una dintre cele mai semnificative evoluții ale secolului al XIX-lea. Printre cele mai multe definiții adoptate astăzi se numără clasele de echivalență ale secvențelor Cauchy ale numerelor raționale, secțiunile din Dedekind , o redefinire a termenului „zecimal” și o definiție axiomatică ca singurul câmp complet arhimedean ordonat.

S-au introdus termenii reali și imaginați Geometria lui René Descartes ( 1637 ), referitoare la studiul rădăcinilor ecuațiilor. Prin extensie, mai mulți autori au început să vorbească despre numere reale și numere imaginare . În 1874 apare un articol critic al lui Georg Cantor în care autorul ia în considerare setul de numere reale care demonstrează că acest set este de nenumărat.

Reprezentarea și utilizarea numerelor reale

Numerele reale pot reprezenta orice cantitate fizică, cum ar fi prețul unui produs, distanța de timp dintre două evenimente, altitudinea (pozitivă sau negativă) a unui sit geografic, masa unui atom sau distanța dintre galaxii. Majoritatea numerelor reale sunt folosite zilnic, de exemplu în economie, informatică, matematică, fizică sau inginerie.

De fapt, de cele mai multe ori sunt folosite doar câteva subseturi:

numerele naturale ,
numerele întregi ,
numerele raționale , care pot fi exprimate sub forma unei fracții ,
numerele algebrice , inclusiv toate numerele exprimate cu operații algebrice elementare și rădăcini .
unele numere foarte speciale, care nu sunt conținute în seturile anterioare, ca și și π .

Aceste seturi, chiar infinite, au toate cardinalitatea numărabilă și, prin urmare, sunt infinitesimale ^{[ Neclară ]} parte a setului de numere reale.

Reprezentare zecimală

Fiecare număr real poate fi identificat prin numerotarea sa zecimală sau prin lista cifrelor zecimale ale părții sale întregi și separate prin virgulă, lista cifrelor părții fracționate. În general, numărul de zecimale ale părții fracționate poate fi infinit. Din acest motiv, în practică, numărul real este exprimat prin prezentarea numai a primelor cifre zecimale, cum ar fi de exemplu în scris $324,823211247\ldots$ ${\ displaystyle 324,823211247 \ ldots}$ ${\ displaystyle 324,823211247 \ ldots}$ unde cele trei puncte exprimă faptul că există alte numere infinite. Cu această metodă de aproximare, este posibil să se prezinte un număr rațional în mod arbitrar apropiat de numărul real în cauză. Cu cât sunt mai multe cifre zecimale, cu atât numărul rațional este mai aproape de numărul real care trebuie reprezentat și, prin urmare, cu atât este mai mare precizia aproximării. De exemplu, pi greacă poate fi aproximată ca

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ...

Reprezentarea zecimală, foarte utilă în științele aplicate, are multe defecte din punct de vedere matematic, de exemplu:

unele numere raționale au două expansiuni zecimale diferite, de exemplu 0,999 ... :
$0,{\bar {9}}=0,999\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}=9\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}-1\right)=9\left({\frac {1}{1-1/10}}-1\right)=1.$ ${\ displaystyle 0, {\ bar {9}} = 0,999 \ ldots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {9} {10 ^ {n}}} = 9 \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {10 ^ {n}}} - 1 \ right) = 9 \ left ({\ frac {1} {1-1 / 10}} -1 \ dreapta) = 1.}$ ${\ displaystyle 0, {\ bar {9}} = 0,999 \ ldots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {9} {10 ^ {n}}} = 9 \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {10 ^ {n}}} - 1 \ right) = 9 \ left ({\ frac {1} {1-1 / 10}} -1 \ dreapta) = 1.}$
Se poate arăta că expansiunea zecimală a unui real este unic, cu excepția cazului în care numărul este de formă $q/10^{m}$ ${\ displaystyle q / 10 ^ {m}}$ ${\ displaystyle q / 10 ^ {m}}$ cu $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ Și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ natural;
suma și multiplicarea între numerele reale nu se fac „cifră cu cifră” în mod obișnuit, deoarece ar trebui să „începem de la dreapta” ^{[ Neclar ]}
reprezentarea este ancorată la alegerea bazei 10 și, prin urmare, nu este „canonică” ^{[ neclar ]} .

Din acest motiv, matematicienii preferă să definească și să trateze numerele reale cu alte notații mai abstracte.

Operații pe numere reale

Același subiect în detaliu: Operații aritmetice pe numere reale .

Numerele reale Sui sunt posibile pentru a face toate operațiile definite pentru rațional, cum ar fi suma , diferența , produsul , diviziunea pentru un număr diferit de zero și exponențierea cu bază pozitivă. Aceste operații pot fi definite prin intermediul calculului infinitesimal sau este posibil să se extindă la numerele reale, prin aproximare, definițiile acelorași operații la date numere raționale.

Numere reale în știință și tehnologie

Din punct de vedere fizic , fiecare experiment este intrinsec supus unei erori și atunci acest tip de reprezentare aproximativă a numerelor reale nu provoacă alte probleme.

În computer , computerul poate aproxima doar numerele reale cu numere raționale: aceste aproximări se fac de exemplu în mod eficient prin scrierea în virgulă mobilă . Unele programe sunt capabile să trateze exact unele numere non-raționale: de exemplu, unele numere algebrice pot fi descrise folosind descrierea lor algebrică (cum ar fi de exemplu ${\sqrt {2}}\,$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \,}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \,}$ ) mai degrabă decât aproximarea lor zecimală.

Mai general, computerul poate trata cu precizie doar numerele calculabile : un număr real este calculabil dacă există un algoritm care îi produce cifrele. Deoarece există un infinit numărabile algoritmi , dar un infinit de nenumărat de numere reale, „aproape toate“ numere reale nu sunt calculabil.

În matematică , numerele reale joacă un rol fundamental și sunt manipulate în mod constant, deși majoritatea acestora nu sunt calculabile. Constructivismul este un curent matematic care acceptă doar existența realului calculabil.

Istorie

Fracții

Nevoia de a da un nume unor cantități măsurabile datează din antichitate. Primul răspuns, construit de sumerieni și în ' Egiptul antic , a fost să construiască fracțiile ^(a / _b). Acest instrument a permis imediat măsurarea oricărei mărimi pozitive cu precizie arbitrară.

Numere ca lungimi

{\sqrt {2}}

{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}

{\ sqrt {2}}

nu este rațional

Să presupunem prin contradicție că există două numere întregi $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ astfel încât

2=\left({\frac {p}{q}}\right)^{2}={\frac {p^{2}}{q^{2}}}.

{\ displaystyle 2 = \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) ^ {2} = {\ frac {p ^ {2}} {q ^ {2}}}.}

2 = \ left (\ frac p q \ right) ^ 2 = \ frac {p ^ 2} {q ^ 2}.

Putem presupune că fracția este redusă, adică $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ Sunt primii printre ei . Prin urmare

p^{2}=2\cdot q^{2}.

{\ displaystyle p ^ {2} = 2 \ cdot q ^ {2}.}

p ^ 2 = 2 \ cdot q ^ 2.

Rezultă că 2 împarte $p^{2}$ ${\ displaystyle p ^ {2}}$ $p ^ 2$ , și apoi $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este chiar. Prin urmare $p=2k$ ${\ displaystyle p = 2k}$ $p = 2 k$ pentru unii $k\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ $k \ in \ mathbb {N}$ . Noi obținem:

2\cdot k^{2}=q^{2},

{\ displaystyle 2 \ cdot k ^ {2} = q ^ {2},}

{\ displaystyle 2 \ cdot k ^ {2} = q ^ {2},}

și apoi, de asemenea $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este chiar, în contradicție cu faptul că $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ mă acoperă. Prin urmare, ipoteza inițială trebuie să fie falsă, adică ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ nu poate fi rațional.

Prima formalizare matematică cunoscută este pentru Euclid în secolul al III-lea î.Hr. În Elementele lui Euclid , geometria este formalizată prin axiome, teoreme și dovezi. Aici numerele sunt potrivite cu lungimile segmentelor.

Abordarea lui Euclid evidențiază faptul că numerele epocii (fracțiile, adică numerele raționale) nu ar putea juca direct rolul de a reprezenta lungimile segmentelor.

Un caz particular al teoremei lui Pitagora arată de fapt că lungimea $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ dell ' ipotenuza unui triunghi unghiular al cărui catet are lungime $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , este astfel încât

l^{2}=2.

{\ displaystyle l ^ {2} = 2.}

{\ displaystyle l ^ {2} = 2.}

Pe de altă parte, este ușor să arăți că un astfel de $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ nu poate fi exprimat ca o fracțiune: un rezultat care datează din școala pitagorică și era bine cunoscut lui Euclid. O demonstrație a rezultatului pitagoreic, citată de Paul Erdős ca una dintre cele mai frumoase dintre toate matematica, este prezentată în dreapta.

Pentru a rezolva aparenta contradicție, Euclid, în cartea a cincea a Elementelor, dezvoltă o teorie rafinată a relațiilor dintre magnitudini (și între nemăsurate). Pentru aceasta a fost necesar în primul rând să existe un criteriu pentru a judeca posibila egalitate a două relații între incomensurabile. Euclid oferă un astfel de criteriu în definițiile 4-9 din Cartea V, pe care le raportăm într-o formă ușor modernizată în notații:

Dă patru cantități $la, b, c, d$ ${\ displaystyle a, b, c, d}$ $a, b, c, d$ , se spune că $a:b=c:d$ ${\ displaystyle a: b = c: d}$ $a: b = c: d$ dacă și numai dacă pentru fiecare pereche de naturale, $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , apare una dintre următoarele trei posibilități:

$na<mb$ ${\ displaystyle na <mb}$ $na <mb$ și în același timp, $nc<md$ ${\ displaystyle nc <md}$ $nc <md$ ;
$na=mb$ ${\ displaystyle na = mb}$ $na = mb$ și în același timp, $nc=md$ ${\ displaystyle nc = md}$ $nc = md$ ;
$na>mb$ ${\ displaystyle na> mb}$ $na> mb$ și în același timp, $nc>md$ ${\ displaystyle nc> md}$ $nc> md$ .

Datorită definiției anterioare a egalității între rapoarte, chiar și rapoartele dintre incomensurabile au devenit un obiect legitim al studiului matematic și eventuala lor egalitate a fost decisă pur și simplu prin compararea multiplilor întregi ai cantităților luate în considerare. Cu alte cuvinte, fiecare relație între incomensurabile a fost caracterizată de comportamentul său față de toate perechile de naturale.

Alte evoluții ale matematicii elenistice decât cele anticipate parțial în teoria modernă a realului au fost cele din metoda despre care s-a spus mai târziu despre epuizare; amintiți-vă că, de asemenea, primul calcul al sumelor seriale se întoarce la Arhimede (care a însumat seria geometrică a rațiunii $1/4$ ${\ displaystyle 1/4}$ $1/4$ ).

Dezvoltare zecimală non-periodică nelimitată

al-Khwarizmi , matematician persan, într-un timbru poștal memorial sovietic

Cu ajutorul fracțiilor, grecii puteau exprima orice număr real cu precizie arbitrară. Absența unui sistem de numerotare adecvat operațiunilor elementare a făcut totuși dificilă între aceste cantități, cum ar fi suma sau împărțirea.

Trebuie să așteptați până în secolul al V-lea pentru a vedea în cele din urmă recunoscut zero ca număr de la școala indiană și pentru dezvoltarea sistemului de numerotare zecimală .

O nouă problemă apare cu sistemul de numerotare zecimal. Cu acest sistem, fiecare fracție are o dezvoltare periodică zecimală adică succesiunea zecimalului repetă la nesfârșit aceeași secvență de numere. Care este sensul de dat unui obiect care are o dezvoltare non-periodică? Un exemplu este următorul

0.1010010001 ... unde numărul de zerouri între două „1” consecutive crește cu fiecare pas.

Secvențe și serii

În a doua jumătate a secolului al XVII-lea , a existat un interes extraordinar din partea calculului matematic al seriei și al secvențelor . Printre aceștia, Nicholas Mercator , Bernoulli , James Gregory , Gottfried Leibniz lucrează la serie care par să convergă la o limită nu rațională, precum:

numărul Mercator : $\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)^{k+1} \over k}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {k + 1} \ over k} = 1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1 } {3}} - {\ frac {1} {4}} + \ cdots}$ $\ sum_ {k = 1} ^ \ infty {(-1) ^ {k + 1} \ over k} = 1 - \ frac 12+ \ frac 13- \ frac 14 + \ cdots$ care converge spre $\ln(2)$ ${\ displaystyle \ ln (2)}$ $\ ln (2)$
seria Grégory: $\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over {2k+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {k} \ over {2k + 1}} = 1 - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ cdots}$ $\ sum_ {k = 0} ^ \ infty {(-1) ^ k \ over {2k + 1}} = 1 - \ frac 13+ \ frac 15- \ frac 17 + \ cdots$ care converge spre $\pi /4$ ${\ displaystyle \ pi / 4}$ $\ pi / 4$

De asemenea, Joseph Liouville arată în 1844 existența numerelor transcendentale , adică numere care nu sunt rădăcinile vreunui polinom cu coeficienți întregi. Nu este suficient să adăugați numerele algebrice la rațional pentru a obține „toate numerele”.

Calcul infinitesimal

Gottfried Leibniz

În a doua jumătate a secolului al XVII-lea , Isaac Newton și Gottfried Leibniz au inventat o nouă ramură a matematicii, numită acum analiză matematică și cunoscută la acea vreme sub numele de calcul . Aceasta atinge imediat notorietatea maximă, deoarece baza unei noi teorii fizice universale: mecanica clasică și teoria gravitației universale .

Calculul infinitesimal necesită un set mai mare de numere raționale, care „include toate găurile” pentru a sta pe o linie dreaptă, numită linie reală.

În limbajul modern, proprietățile necesare pentru calcul sunt completitudinea și pot fi exprimate în felul următor:

fiecare secvență Cauchy este convergentă.

Acest concept, introdus mai târziu chiar de la Cauchy , este extrem de important în toate domeniile matematicii și va fi, de asemenea, la originea topologiei la începutul secolului al XX-lea .

Construcția numerelor reale

Augustin-Louis Cauchy

Calculul infinitesimal permite o intuiție din ce în ce mai precisă asupra topologiei numerelor. Va dura încă un secol pentru a formaliza setul de numere reale într-un mod precis, adică pentru a „acoperi găurile” lăsate de raționali.

Așa cum se întâmplă adesea în matematică, atunci când problema este matură, soluția vine de la doi cercetători în același timp.

Primul care se ocupă cu succes de construcția numerelor reale este Augustin-Louis Cauchy . Abordarea sa rămâne cea mai fructuoasă, deoarece se aplică și în alte cazuri. Ideea sa este următoarea: o succesiune ar trebui să convergă dacă elementele sunt (după un anumit punct) în mod arbitrar apropiate unele de altele: o astfel de secvență este acum cunoscută sub numele de secvență Cauchy .

Această idee se traduce printr-o definiție strictă a numerelor reale abia spre sfârșitul secolului al XIX-lea , grație muncii lui Cantor și Dedekind din 1872 . Acesta din urmă oferă în Was sind und was sollen die Zahlen (ce sunt și ce ar trebui să fie numere) o metodă care exploatează relația de ordine dintre fracțiuni. Ideea sa constă în introducerea realelor nerationale prin perechi de subseturi de raționale, așa-numitele tăieturi Dedekind : de exemplu, rădăcina lui 2 este reprezentată de perechea de mulțimi, prima este mulțimea tuturor numerelor raționale negative sau ale căror pătratul este mai mic de $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ , al doilea este ansamblul tuturor numerelor raționale pozitive al căror pătrat este mai mare decât $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ . Există o relație evidentă între definiția lui Dedekind și definiția antică a lui Euclid, dar și o diferență profundă: în timp ce pentru Euclid și pentru ceilalți matematicieni greci obiectul privilegiat de studiu au fost cantitățile și numai luând în considerare relațiile lor au fost în față a ceva parțial analog cu numerele noastre reale, pe vremea lui Dedekind, cantitățile numerice își asumaseră demult rolul de protagoniști autonomi.

Definiție

Abordare axiomatică

Același subiect în detaliu: numerele reale Construcție .

Este $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ Sunt împreună cu toate numerele reale. Atunci:

Întregul $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , Cu suma și multiplicarea obișnuită, este un câmp , fiind valabile proprietățile asociative , comutative , distributive și existența elementelor neutre și inverse în ceea ce privește ambele operații.
Campul $R.$ {\ displaystyle \ mathbb {R}} $\ R$ este ordonat , că există o comandă totală , $\leq$ {\ displaystyle \ leq} $\ leq$ obișnuit, astfel încât, pentru toate numerele reale $X$ {\ displaystyle x} $X$ , $y$ {\ displaystyle y} $y$ Și $z$ {\ displaystyle z} $z$ :
- pentru fiecare cuplu $x,y\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}$ $x, y \ in \ R$ da ai $x\leq y$ ${\ displaystyle x \ leq y}$ $x \ leq y$ sau $y\leq x$ ${\ displaystyle y \ leq x}$ $y \ leq x$ ( Dichotomie )
- $x\leq x$ ${\ displaystyle x \ leq x}$ $x \ leq x$ pentru fiecare $x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ $x \ in \ R$ ( Reflexiv )
- de sine $x\leq y$ ${\ displaystyle x \ leq y}$ $x \ leq y$ Și $y\leq x$ ${\ displaystyle y \ leq x}$ $y \ leq x$ asa de $x=y$ ${\ displaystyle x = y}$ $x = y$ ( Oblic )
- din $x\leq y$ ${\ displaystyle x \ leq y}$ $x \ leq y$ Și $y\leq z$ ${\ displaystyle y \ leq z}$ $y \ leq z$ rezultă că $x\leq z$ ${\ displaystyle x \ leq z}$ $x \ leq z$ ( Tranzitiv )
Completitatea numerelor reale : Sortarea este completă, fiecare subset nu este gol $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ din $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ care admite un maggiorante in $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ Are un suprem în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ . Limita superioară a unui set $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ denotă cu $\sup S$ ${\ displaystyle \ sup S}$ $\ sup S$ .

Ultima proprietate este una care diferă de raționalul real.

De exemplu, mulțimea numerelor raționale al căror pătrat este mai mic de $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ are un majorant rațional (de exemplu $1,5$ ${\ displaystyle 1,5}$ $1.5$ ) Dar capătul superior, care este cel mai mic dintre limitele superioare, nu este rațional ca rădăcina pătrată a lui $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ nu este rațional.

Numerele reale sunt definite în mod unic de proprietățile anterioare.

Mai precis, având în vedere două câmpuri sortate complete $\mathbb {R} _{1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {1}}$ Și $\mathbb {R} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {2}}$ , Există un izomorfism unic din $\mathbb {R} _{1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {1}}$ la $\mathbb {R} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {2}}$ . Această proprietate vă permite să vă gândiți la ele ca la un singur obiect matematic.

Set real extins

L 'extins real împreună se obține prin extinderea setului de numere reale cu două elemente suplimentare, indicate cu $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ Și $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ :

{\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}.

{\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}.}

\ overline {\ R}: = \ R \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}.

Relația de ordine se extinde la aceste noi puncte prin setarea:

-\infty <x<+\infty

{\ displaystyle - \ infty <x <+ \ infty}

{\ displaystyle - \ infty <x <+ \ infty}

pentru fiecare

X

{\ displaystyle x}

X

real.

Unele dintre operațiunile normale de sumă și produs pot fi extinse la toate realele extinse, dar nu la toate . În special, acest set nu mai este un câmp sau chiar un grup .

Extinsul real-împreună este, totuși, echipat cu o topologie care extinde setul de numere reale: un vecinătate al $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ (resp. $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ ) Este o jumătate de linie dreaptă (respectiv stânga). Acest set este apoi adesea folosit pentru a defini într-o limită mai uniformă a conceptului de modă și pentru a grupa secvențele care converg către un număr real sau infinit.

Proprietate

Completitudine

Principalul motiv care a condus la introducerea realelor este că acestea constituie un spațiu „fără găuri”. Mai exact, realul este un spațiu metric complet . Completitudinea poate fi exprimată în diferite moduri, toate echivalente cu axioma lui Dedekind descrisă mai sus.

Secvențe cauchy

În cifre reale, prin definiția completitudinii, urmează următorul fapt:

fiecare secvență Cauchy are o limită .

Ne amintim că:

O succesiune ( $x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ ) Din numere reale este Cauchy dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un număr întreg $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ astfel încât

|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon \ \forall n,m>M.

{\ displaystyle | x_ {n} -x_ {m} | <\ varepsilon \ \ forall n, m> M.}

| x_n-x_m | <\ varepsilon \ \ forall n, m> M.

Cu alte cuvinte, o secvență este o secvență Cauchy dacă elementele sale

x_{n}

{\ displaystyle x_ {n}}

x_ {n}

la un moment dat ele devin în mod arbitrar apropiate.

O succesiune ( $x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ ) Are o limită $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un număr întreg $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât

|x_{n}-x|<\varepsilon \ \forall n>N.

{\ displaystyle | x_ {n} -x | <\ varepsilon \ \ forall n> N.}

| x_n-x | <\ varepsilon \ \ forall n> N.

Cu alte cuvinte, o secvență are o limită

X

{\ displaystyle x}

X

dacă elementele sale la un moment dat se apropie arbitrar de

X

{\ displaystyle x}

X

.

Într-un spațiu metric oricare, fiecare secvență convergentă este o secvență Cauchy. Când este adevărat și opusul (ca și în numerele reale), spațiul este numit complet.

Setul raționalelor nu este complet. De exemplu, succesiunea primului $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cifre ale rădăcinii pătrate a $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ , sau

1; 1.4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1.41421; ...

este de la Cauchy, dar nu converge la un număr rațional.

Element de separare

Același subiect în detaliu: completitudinea numerelor reale .

Integritatea numerelor reale poate fi exprimată după cum urmează: date două subseturi $X, Da$ ${\ displaystyle X, Y}$ $X Y$ nu gol de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ astfel încât

x\leq y\ \forall x\in X,y\in Y

{\ displaystyle x \ leq y \ \ forall x \ in X, y \ in Y}

x \ leq y \ \ forall x \ in X, y \ in Y

există un număr real $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ astfel încât

x\leq z\leq y\ \forall x\in X,y\in Y.

{\ displaystyle x \ leq z \ leq y \ \ forall x \ in X, y \ in Y.}

x \ leq z \ leq y \ \ forall x \ in X, y \ in Y.

Axioma lui Arhimede

Pentru numere reale, aceasta este „axioma arhimedeană: două numere Date $X, y$ ${\ displaystyle x, y}$ $X y$ real pozitiv, cu $x<y$ ${\ displaystyle x <y}$ $x <y$ , Există un număr natural $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ astfel încât

nx\geq y.

{\ displaystyle nx \ geq y.}

nx \ geq y.

Un câmp ordonat în care se spune axioma arhimedeană . David Hilbert definește domeniul numerelor reale , cum ar fi „câmpul arhimedic complet“ Cu acest citat, Hilbert subliniază faptul că numerele reale formează cel mai mare câmp Arhimede, în sensul că orice alt domeniu Arhimede este conținut în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ . In acest sens, $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ este „complet” conform lui Hilbert.

Acest sentiment de completitudine este cel mai apropiat de construcția realelor din numerele suprarealiste , deoarece construcția începe cu o clasă care conține fiecare câmp ordonat (suprarealist) și selectează din acesta cel mai mare subcâmp arhimedean.

Cardinalitatea

Spre deosebire de numerele raționale , realul nu formează un set numeros ; mulțimea numerelor reale este „strict” mai mare decât cea a numerelor naturale (chiar considerând că ambele sunt infinite). În mod formal, acest lucru este echivalent cu a spune că nu există o corespondență bi-univocă între numerele reale și numerele naturale.

Acest fapt distinge numerele reale de alte seturi numerice utilizate în mod normal. De fapt, mulțimile numerelor naturale , raționale , algebrice au aceeași cardinalitate (adică pot fi puse într-o singură corespondență), în timp ce mulțimea numerelor reale are o cardinalitate mai mare: există o funcție injectivă prin numere raționale la real, dar nu invers.

Cu alte cuvinte, în umplerea tuturor găurilor lăsate de numerele raționale, trebuie adăugată o „cantitate” de numere noi pe care cardinalitatea lor le crește. Acest fapt poate fi demonstrat prin procedura diagonală a lui Cantor .

Într-adevăr, întregul $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ are cardinalitate 2 ^{ℵ ₀} , aceeași dell ' împreună cu părțile unui set numărabil: adică aceeași cardinalitate a mulțimii tuturor subseturilor numerelor naturale .

Deoarece chiar și numerele algebrice erau cardinalitate numărabilă, „aproape toate” numerele reale sunt transcendentale .

Ipoteza continuumului susține inexistența unui intermediar între cardinalitatea numerelor întregi și cea a realului. Conform teoriei mulțimilor lui Zermelo - Fraenkel , care este frecvent utilizată, această ipoteză nu poate fi nici dovedită, nici respinsă, adică independentă de axiomele sale.

Densitatea numerelor raționale în mulțimea numerelor reale

Întregul $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ al numerelor raționale este dens în mulțimea numerelor reale.

Demonstrație

Lasa-i sa fie $a,b\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$ cu $a<b$ ${\ displaystyle a <b}$ $a <b$ , asa de $\exists q\in \mathbb {Q} :a<q<b$ ${\ displaystyle \ există q \ în \ mathbb {Q}: a <q <b}$ ${\ displaystyle \ există q \ în \ mathbb {Q}: a <q <b}$

Cazul I

$la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt discordante: $a<0<b$ ${\ displaystyle a <0 <b}$ $a <0 <b$
$0\in \mathbb {Q} \Rightarrow \exists q\in \mathbb {Q} ,q=0$ ${\ displaystyle 0 \ in \ mathbb {Q} \ Rightarrow \ există q \ in \ mathbb {Q}, q = 0}$ ${\ displaystyle 0 \ in \ mathbb {Q} \ Rightarrow \ există q \ in \ mathbb {Q}, q = 0}$ .

Cazul II

$la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Amândoi sunt pozitivi : $0<a<b$ ${\ displaystyle 0 <a <b}$ $0 <a <b$

De cand $0<a<b$ ${\ displaystyle 0 <a <b}$ $0 <a <b$ avem asta $b-a>0$ ${\ displaystyle ba> 0}$ $b-a> 0$ și și asta ${\frac {1}{b-a}}>0\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {ba}}> 0 \ în \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {b-a}}> 0 \ în \ mathbb {R}}$ apoi proprietatea arhimedeană a numerelor reale $\exists n\in \mathbb {N} :n>{\frac {1}{b-a}},$ ${\ displaystyle \ există n \ în \ mathbb {N}: n> {\ frac {1} {ba}},}$ ${\ displaystyle \ există n \ în \ mathbb {N}: n> {\ frac {1} {b-a}},}$ asa de:

{\frac {1}{b-a}}<n

{\ displaystyle {\ frac {1} {ba}} <n}

\ frac {1} {b-a} <n

n(b-a)>1

{\ displaystyle n (ba)> 1}

n (b-a)> 1

nb-na>1

{\ displaystyle nb-na> 1}

nb-na> 1

nb>na{}+1

{\ displaystyle nb> na {} + 1}

nb> na {} +1

{\textbf {na+1}}<{\textbf {nb}}.

{\ displaystyle {\ textbf {na + 1}} <{\ textbf {nb}}.}

{\ displaystyle {\ textbf {na + 1}} <{\ textbf {nb}}.}

Este $X=\{k\in \mathbb {N} |k>na\}$ ${\ displaystyle X = \ {k \ in \ mathbb {N} | k> na \}}$ $X = \ {k \ in \ mathbb {N} | k> na \}$ , $X\subset \mathbb {N}$ ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {N}}$ $X \ subset \ mathbb {N}$ , deci pentru proprietatea arhimedeană a numerelor reale $X\neq \varnothing$ ${\ displaystyle X \ neq \ varnothing}$ $X \ neq \ varnothing$ intr-adevar $\exists k\in \mathbb {N} :k>na$ ${\ displaystyle \ există k \ în \ mathbb {N}: k> na}$ $\ exist k \ in \ mathbb {N}: k> na$ . Prin proprietățile bune de ordonare ale numerelor naturale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ admite minimum ie $\exists m\in X:m\leq k\forall k\in X,$ ${\ displaystyle \ există m \ în X: m \ leq k \ forall k \ în X,}$ ${\ displaystyle \ există m \ în X: m \ leq k \ forall k \ în X,}$ asa de:

na<m

{\ displaystyle na <m}

na <m

na>m-1

{\ displaystyle na> m-1}

na> m - 1

(intr-adevar

m-1\notin X

{\ displaystyle m-1 \ notin X}

m-1 \ notin X

)

na+1>m

{\ displaystyle na + 1> m}

na + 1> m

{\textbf {na}}<{\textbf {m}}<na+1<{\textbf {nb}}

{\ displaystyle {\ textbf {na}} <{\ textbf {m}} <na + 1 <{\ textbf {nb}}}

\ textbf {na} <\ textbf {m} <na + 1 <\ textbf {nb}

na<m<nb

{\ displaystyle na <m <nb}

na <m <nb

a<{\frac {m}{n}}<b

a<{\frac {m}{n}}<b

a < \frac{m}{n} < b

m,n\in \mathbb {N} \Rightarrow {\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow \exists q\in \mathbb {Q} ,q={\frac {m}{n}}.

m,n\in \mathbb {N} \Rightarrow {\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow \exists q\in \mathbb {Q} ,q={\frac {m}{n}}.

m,n\in \mathbb {N} \Rightarrow {\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow \exists q\in \mathbb {Q} ,q={\frac {m}{n}}.

Caso III

$a$ ${\displaystyle a}$ $a$ e $b$ ${\displaystyle b}$ $b$ sono ambedue negativi : $a<b<0$ ${\displaystyle a<b<0}$ $a < b < 0$

$a<b<0\Rightarrow 0<-b<-a$ $a<b<0\Rightarrow 0<-b<-a$ $a < b < 0 \Rightarrow 0 < -b < -a$
$-a,-b>0\Rightarrow$ $-a,-b>0\Rightarrow$ $-a, -b > 0 \Rightarrow$ come nel caso appena illustrato $\exists {\bar {q}}\in \mathbb {Q} :-b<{\bar {q}}<-a$ $\exists {\bar {q}}\in \mathbb {Q} :-b<{\bar {q}}<-a$ $\exists {\bar {q}}\in \mathbb {Q} :-b<{\bar {q}}<-a$ moltiplicando per −1 si invertono i segni della disuguaglianza e si ha che $a<-{\bar {q}}<b$ $a<-{\bar {q}}<b$ $a < -\bar{q} < b$ , ${\bar {q}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow -{\bar {q}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow \exists q\in \mathbb {Q} ,q=-{\bar {q}}$ ${\bar {q}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow -{\bar {q}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow \exists q\in \mathbb {Q} ,q=-{\bar {q}}$ ${\bar {q}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow -{\bar {q}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow \exists q\in \mathbb {Q} ,q=-{\bar {q}}$ .

Densità dei numeri irrazionali nell'insieme dei numeri reali

Definito l'insieme $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ dei numeri irrazionali si dimostra che anch'esso è denso in $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ .

Dimostrazione

Siano $a,b\in \mathbb {R}$ $a,b\in \mathbb {R}$ $a, b \in \mathbb{R}$ con $a<b$ ${\displaystyle a<b}$ $a<b$ , allora $\exists x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} :a<x<b$ $\exists x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} :a<x<b$ $\exist x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} : a < x < b$ . Per la proprietà di compatibilità della relazione d'ordine fissata su $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb{R}$ rispetto all'operazione di somma algebrica se $a<b$ ${\displaystyle a<b}$ $a<b$ allora $a-{\sqrt {2}}<b-{\sqrt {2}}$ $a-{\sqrt {2}}<b-{\sqrt {2}}$ $a - \sqrt{2} < b - \sqrt{2}$
$a-{\sqrt {2}}$ $a-{\sqrt {2}}$ $a - \sqrt{2}$ e $b-{\sqrt {2}}\in \mathbb {R}$ $b-{\sqrt {2}}\in \mathbb {R}$ $b - \sqrt{2} \in \mathbb{R}$ quindi per la proprietà di densità dei numeri razionali nell'insieme dei numeri reali $\exists q\in \mathbb {Q} :a-{\sqrt {2}}<q<b-{\sqrt {2}}$ $\exists q\in \mathbb {Q} :a-{\sqrt {2}}<q<b-{\sqrt {2}}$ $\exist q \in \mathbb{Q} : a - \sqrt{2} < q < b - \sqrt{2}$ , aggiungendo ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ a tutti i membri della disuguaglianza si ha che $a<q+{\sqrt {2}}<b$ $a<q+{\sqrt {2}}<b$ $a < q + \sqrt{2} < b$ e che quindi $\exists x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,x=q+{\sqrt {2}}$ $\exists x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,x=q+{\sqrt {2}}$ $\exists x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,x=q+{\sqrt {2}}$ .

Metrica e topologia

I numeri reali formano uno spazio metrico : la distanza tra $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ e $y$ ${\displaystyle y}$ $y$ è definita come il valore assoluto $|x-y|$ ${\displaystyle |xy|}$ $|x-y|$ . Come accennato sopra, $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ risulta essere uno spazio metrico completo .

La metrica appena definita induce su $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ una struttura di spazio topologico . Un sottoinsieme $X$ ${\displaystyle X}$ $X$ di $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ è aperto se e solo se è unione di intervalli aperti $(a,b)$ ${\displaystyle (a,b)}$ $(a,b)$ , dove $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ e $b$ ${\displaystyle b}$ $b$ possono essere anche $-\infty$ $-\infty$ $- \infty$ o $+\infty$ $+\infty$ $+\infty$ ^[1] .

Lo spazio $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ è connesso ma non compatto . Lo spazio è comunque localmente compatto , ed è una varietà differenziale di dimensione 1. Risulta essere omeomorfo a un qualsiasi intervallo aperto $(a,b)$ ${\displaystyle (a,b)}$ $(a,b)$ .

Lo spazio $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ è contraibile , e quindi semplicemente connesso , con tutti i gruppi di omotopia banali.

Struttura lineare

I numeri reali sono il prototipo di spazio vettoriale reale di dimensione uno: la moltiplicazione per uno scalare non è altro che la moltiplicazione usuale. La struttura lineare è compatibile con la topologia sopra descritta, dunque $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ è uno spazio vettoriale topologico .

L'insieme $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ può anche essere pensato come uno spazio vettoriale sul campo $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb{Q}$ dei numeri razionali ; in questo caso risulta avere una dimensione infinita (così come il campo dei numeri algebrici ).

Inoltre, la moltiplicazione funge anche da prodotto scalare , rendendo $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ uno spazio di Hilbert e quindi uno spazio normato , in cui la norma non è altro che la funzione valore assoluto .

Misura

Lo stesso argomento in dettaglio: Misura di Lebesgue .

I numeri reali sono dotati di una misura canonica, la misura di Lebesgue . La misura dell'intervallo $(a,b)$ ${\displaystyle (a,b)}$ $(a,b)$ si definisce come $b-a$ ${\displaystyle ba}$ $b-a$ . Qualsiasi sottoinsieme numerabile (come ad esempio quello dei numeri razionali), ha misura nulla. Esistono anche sottoinsiemi di misura nulla non numerabili, come l' insieme di Cantor .

Ci sono in $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ anche insiemi non misurabili, ma la loro costruzione necessita dell' assioma della scelta : un esempio è l' insieme di Vitali .

La misura di Lebesgue è la misura di Haar della struttura di $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ come gruppo topologico , normalizzata in modo che l'intervallo [0,1] abbia misura 1.

Algebra

Ogni numero reale non negativo ha la sua radice quadrata in $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ , i reali negativi no. Questo mostra che l'ordinamento in $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ è determinato dalla sua struttura algebrica.

Ogni polinomio di grado dispari ha almeno una radice. Esistono comunque polinomi senza radici reali, e questo fa di $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ un campo non algebricamente chiuso .

La chiusura algebrica di $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ (ovvero il più piccolo campo algebricamente chiuso che lo contiene) è il campo dei numeri complessi .

Logica

L'assioma di Dedekind si riferisce a sottoinsiemi di reali e quindi è un predicato della logica del secondo ordine . In generale, non è possibile caratterizzare i reali usando solo la logica del primo ordine .

Per il teorema di Löwenheim-Skolem (debole) , esiste un insieme denso numerabile di numeri reali che soddisfa gli stessi predicati nella logica del prim'ordine dei numeri reali.

L'insieme dei numeri iperreali è più grande di $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ ma soddisfa gli stessi predicati della logica del prim'ordine di $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ . I campi ordinati che soddisfano gli stessi predicati della logica del prim'ordine di $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ sono chiamati modelli non standard di $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ . Questo è ciò che permette all' analisi non standard di funzionare; dimostrando un predicato del prim'ordine in qualche modello non standard (che può essere più semplice che dimostrarlo in $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ ), se ne deduce che lo stesso predicato è vero anche per $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ .

Generalizzazioni ed estensioni

I numeri reali possono essere generalizzati ed estesi in numerose direzioni. Forse l'estensione più naturale è quella dei numeri complessi , che formano un campo algebricamente chiuso . Tuttavia, rispetto ai reali, essi perdono la struttura di ordinamento, ciò significa che i numeri complessi non sono un campo ordinato . I numeri complessi hanno innumereveli applicazioni in fisica : per esempio, in elettrotecnica e in elettronica sono alla base del metodo simbolico che semplifica enormemente lo studio dei circuiti elettrici in regime sinusoidale , così come sono fondamentali in meccanica quantistica , poiché questa teoria è sviluppata in uno spazio di Hilbert a dimensione infinita sul campo dei complessi e, inoltre, l'unità immaginaria compare nell' equazione di Schrödinger .

Il campo dei numeri complessi è l' algebra ottenuta dal campo dei numeri reali mediante la costruzione di Cayley-Dickson . Proseguendo con tale costruzione, si ottengono algebre successive sul campo dei numeri reali, ciascuna di dimensione via via doppia rispetto all'algebra precedente, al prezzo della progressiva perdita di alcune proprietà. Dopo i numeri complessi, si ottengono, in sequenza, i quaternioni , gli ottonioni ei sedenioni . Tutte queste algebre costituiscono la famiglia delle algebre di Cayley-Dickson , che è inclusa nell'insieme dei cosiddetti numeri ipercomplessi , il quale, tuttavia, include anche la famiglia delle algebre di Clifford .

Un'altra possibile estensione per i numeri reali è rappresentata dai numeri duali che, sotto alcuni aspetti, mostrano proprietà complementari rispetto a quelle dei numeri complessi e che, a differenza di questi ultimi, sono caratterizzati da un'unità immaginaria nilpotente . Inoltre, a differenza dei numeri complessi, i numeri duali non costituiscono un campo , ma costituiscono semplicemente un' algebra associativa e commutativa dotata di unità, introducendo le operazioni di somma e di prodotto. Anche i numeri duali hanno applicazioni in fisica, come un semplice esempio di superspazio , utilizzato da alcune teorie fisiche, quali la relatività generale e le teorie supersimmetriche , per descrivere la configurazione spaziale.

Ancora un'altra possibile estensione per i numeri reali è rappresentata dai numeri complessi iperbolici , caratterizzati da un'unità immaginaria il cui quadrato è posto uguale a 1 , invece che a -1 , come accade per gli ordinari numeri complessi. I numeri complessi iperbolici presentano diverse analogie con gli ordinari numeri complessi, tuttavia, a differenza di questi ultimi e come i numeri duali, non costituiscono un campo; essi costituiscono, infatti, solamente un anello . Anche i numeri complessi iperbolici trovano applicazioni in fisica: per esempio, nell'ambito della relatività ristretta , possono essere utilizzati per rappresentare le trasformazioni di Lorentz .

Esempi di campi ordinati che estendono i reali sono i numeri iperreali ei numeri surreali : entrambi contengono numeri infinitesimali e infinitamente grandi, ma non soddisfano l'assioma di Archimede descritto sopra.

Occasionalmente, come scritto sopra, gli elementi formali $+\infty$ $+\infty$ $+\infty$ e $-\infty$ $-\infty$ $-\infty$ sono aggiunti ai reali per formare la retta numerica estesa , con una naturale topologia compatta . Questo insieme non è un campo ma mantiene molte delle proprietà dei numeri reali.

Le forme hermitiane su uno spazio di Hilbert (per esempio, le matrici quadrate complesse autoaggiunte) generalizzano i reali in molti aspetti: possono essere ordinate (non totalmente), sono complete, i loro autovalori sono reali e formano un' algebra associativa reale. Gli operatori definiti positivi corrispondono ai numeri reali positivi e gli operatori normali corrispondono ai numeri complessi.

Note

^ Dato uno spazio topologico su un insieme $X$ ${\displaystyle X}$ $X$ , sia lo stesso $X$ ${\displaystyle X}$ $X$ che l'insieme vuoto $\emptyset$ $\emptyset$ $\emptyset$ sono aperti per ogni sua topologia. Poiché si pone per definizione $(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}$ $(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}$ $(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}$ , $(-\infty ,+\infty )$ $(-\infty ,+\infty )$ $(-\infty ,+\infty )$ è un aperto dello spazio topologico reale indotto dalla metrica euclidea su $\mathbb {R} ^{1}$ $\mathbb {R} ^{1}$ $\mathbb {R} ^{1}$ .

Voci correlate

Altri progetti

Wikiversità contiene risorse su numero reale
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su numero reale

Collegamenti esterni

( EN ) Numero reale , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 6844 · LCCN ( EN ) sh85093221 · GND ( DE ) 4202628-3 · BNF ( FR ) cb11977586x (data) · NDL ( EN , JA ) 00574870

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Dato uno spazio topologico su un insieme $X$ ${\displaystyle X}$ $X$ , sia lo stesso $X$ ${\displaystyle X}$ $X$ che l'insieme vuoto $\emptyset$ $\emptyset$ $\emptyset$ sono aperti per ogni sua topologia. Poiché si pone per definizione $(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}$ $(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}$ $(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}$ , $(-\infty ,+\infty )$ $(-\infty ,+\infty )$ $(-\infty ,+\infty )$ è un aperto dello spazio topologico reale indotto dalla metrica euclidea su $\mathbb {R} ^{1}$ $\mathbb {R} ^{1}$ $\mathbb {R} ^{1}$ .

[1]

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione ( di funzioni ) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite ( di una funzione · di una successione · Forma indeterminata ) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie ( di funzioni ) · Criteri di convergenza ·Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo , di linea ( 1ª specie · 2ª specie ) e di superficie ( di volume )
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy