Operații aritmetice pe numere reale

Numerele reale sunt un set de numere pe care se pot efectua , în mod evident, operații , care vor corespunde cu cele, învățate în formă elementară, care se efectuează pe subseturile sale, cum ar fi raționalele și cele naturale . Trebuie să precizăm cum funcționează operațiile aritmetice pe reale, vom folosi conceptul de trunchiat , deja folosit pentru a le defini, și principiul de localizare al lui Cantor . Mai mult, deoarece trunchiatul poate fi văzut ca un concept destul de similar cu aproximarea , se poate observa și o corelație între numărul de cifre al trunchiatului și precizia consecventă a rezultatului operației aritmetice prin aproximare zecimală finită.

Sumă

Definiție

Primul lucru de făcut pentru a încerca să definim suma numerelor reale este legat de conceptul de inegalitate între numere: dacă luăm în considerare de fapt două numere $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , le putem estima de sus și de jos cu numere mai mari și mai mici, sau putem scrie:

x\leq a\leq y

{\ displaystyle x \ leq a \ leq y}

{\ displaystyle x \ leq a \ leq y}

w\leq b\leq z

{\ displaystyle w \ leq b \ leq z}

{\ displaystyle w \ leq b \ leq z}

Acum putem folosi proprietățile sumei și putem scrie ca o consecință că:

x+w\leq a+b\leq y+z.

{\ displaystyle x + w \ leq a + b \ leq y + z.}

{\ displaystyle x + w \ leq a + b \ leq y + z.}

În practică, am văzut că putem estima suma dintre două numere dintre sumele de numere care sunt mai mari sau mai mici decât adunările.

Știm, de asemenea, din definiția părților trunchiate ale unui număr real s că:

\left[s\right]_{n}\leq \ s\leq \ \left[s\right]^{n}

{\ displaystyle \ left [s \ right] _ {n} \ leq \ s \ leq \ \ left [s \ right] ^ {n}}

{\ displaystyle \ left [s \ right] _ {n} \ leq \ s \ leq \ \ left [s \ right] ^ {n}}

Deci, putem scrie această relație pentru cele două addende noastre, a și b :

\left[a\right]_{n}\leq \ a\leq \ \left[a\right]^{n}

{\ displaystyle \ left [a \ right] _ {n} \ leq \ a \ leq \ \ left [a \ right] ^ {n}}

{\ displaystyle \ left [a \ right] _ {n} \ leq \ a \ leq \ \ left [a \ right] ^ {n}}

\left[b\right]_{n}\leq \ b\leq \ \left[b\right]^{n}

{\ displaystyle \ left [b \ right] _ {n} \ leq \ b \ leq \ \ left [b \ right] ^ {n}}

{\ displaystyle \ left [b \ right] _ {n} \ leq \ b \ leq \ \ left [b \ right] ^ {n}}

Din aceasta și din cele observate mai sus, derivă faptul că:

\left[a\right]_{n}+\left[b\right]_{n}\leq \ a+b\leq \ \left[a\right]^{n}+\left[b\right]^{n}

{\ displaystyle \ left [a \ right] _ {n} + \ left [b \ right] _ {n} \ leq \ a + b \ leq \ \ left [a \ right] ^ {n} + \ left [ b \ dreapta] ^ {n}}

{\ displaystyle \ left [a \ right] _ {n} + \ left [b \ right] _ {n} \ leq \ a + b \ leq \ \ left [a \ right] ^ {n} + \ left [ b \ dreapta] ^ {n}}

În acest moment putem folosi principiul de localizare aplicat:

\left(\left[a\right]_{n}+\left[b\right]_{n},\left[a\right]^{n}+\left[b\right]^{n}\right)

{\ displaystyle \ left (\ left [a \ right] _ {n} + \ left [b \ right] _ {n}, \ left [a \ right] ^ {n} + \ left [b \ right] ^ {n} \ dreapta)}

{\ displaystyle \ left (\ left [a \ right] _ {n} + \ left [b \ right] _ {n}, \ left [a \ right] ^ {n} + \ left [b \ right] ^ {n} \ dreapta)}

Dar, din moment ce relația dintre sub trunchiat și excesul trunchiat este:

\left[a\right]^{n}=\left[a\right]_{n}+10^{-n}

{\ displaystyle \ left [a \ right] ^ {n} = \ left [a \ right] _ {n} +10 ^ {- n}}

{\ displaystyle \ left [a \ right] ^ {n} = \ left [a \ right] _ {n} +10 ^ {- n}}

Această succesiune de intervale de cutie, pe care o vom numi $I_{n}\qquad$ ${\ displaystyle I_ {n} \ qquad}$ ${\ displaystyle I_ {n} \ qquad}$ , poate fi scris și ca:

\left(\left[a\right]_{n}+\left[b\right]_{n},\left[a\right]_{n}+\left[b\right]_{n}+2\cdot 10^{-n}\right)

{\ displaystyle \ left (\ left [a \ right] _ {n} + \ left [b \ right] _ {n}, \ left [a \ right] _ {n} + \ left [b \ right] _ {n} +2 \ cdot 10 ^ {- n} \ dreapta)}

{\ displaystyle \ left (\ left [a \ right] _ {n} + \ left [b \ right] _ {n}, \ left [a \ right] _ {n} + \ left [b \ right] _ {n} +2 \ cdot 10 ^ {- n} \ dreapta)}

Prin urmare, am obținut că suma a două numere reale este conținută într-o succesiune de intervale, a căror dimensiune este în mod arbitrar mică (acționând asupra $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ), unul în celălalt și, prin urmare, putem aplica în siguranță principiul de localizare al lui Cantor pentru a găsi suma. Având în vedere cele două numere reale $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , suma lor $a+b$ ${\ displaystyle a + b}$ $a + b$ poate fi definit ca singurul număr real identificat prin localizare din intervale

I_{n}=\left(\left[a\right]_{n}+\left[b\right]_{n},\left[a\right]_{n}+\left[b\right]_{n}+2\cdot 10^{-n}\right)

{\ displaystyle I_ {n} = \ left (\ left [a \ right] _ {n} + \ left [b \ right] _ {n}, \ left [a \ right] _ {n} + \ left [ b \ right] _ {n} +2 \ cdot 10 ^ {- n} \ right)}

{\ displaystyle I_ {n} = \ left (\ left [a \ right] _ {n} + \ left [b \ right] _ {n}, \ left [a \ right] _ {n} + \ left [ b \ right] _ {n} +2 \ cdot 10 ^ {- n} \ right)}

Estimarea preciziei

Datorită definiției sumei numerelor reale printr-o succesiune de intervale în care este conținută, putem estima eroarea pe care o comitem în suma a două numere reale, trunchiată la cifra a n-a . Într-adevăr, întrucât succesiunea intervalelor în cauză este

I_{n}=\left(\left[a\right]_{n}+\left[b\right]_{n},\left[a\right]_{n}+\left[b\right]_{n}+2\cdot 10^{-n}\right)

{\ displaystyle I_ {n} = \ left (\ left [a \ right] _ {n} + \ left [b \ right] _ {n}, \ left [a \ right] _ {n} + \ left [ b \ right] _ {n} +2 \ cdot 10 ^ {- n} \ right)}

{\ displaystyle I_ {n} = \ left (\ left [a \ right] _ {n} + \ left [b \ right] _ {n}, \ left [a \ right] _ {n} + \ left [ b \ right] _ {n} +2 \ cdot 10 ^ {- n} \ right)}

lățimea acestuia va fi:

2\cdot 10^{-n}

{\ displaystyle 2 \ cdot 10 ^ {- n}}

{\ displaystyle 2 \ cdot 10 ^ {- n}}

Prin urmare, în practică, eroarea este de două unități pe ultima cifră și, prin urmare, dacă adăugăm două numere reale trunchiate de exemplu la a cincea cifră, vom ști că eroarea rezultatului este limitată doar la a cincea cifră, deci cele care preced ultimul sunt corecte. În general, dacă apelăm cu m numărul de cifre zecimale ale addendelor și cu n cifrele zecimale exacte pe care dorim să le obținem (în rezultat), atunci trebuie să respectăm relația:

m\geq \ n+1

{\ displaystyle m \ geq \ n + 1}

{\ displaystyle m \ geq \ n + 1}

Diferență și opus

Diferența dintre numerele reale este definită ca un caz particular al sumei $(o+(-p))$ ${\ displaystyle (o + (- p))}$ ${\ displaystyle (o + (- p))}$ folosind conceptul opusului unui număr real și apoi procedând în mod obișnuit, adică cu trunchierea și localizarea. Prin urmare, este definit ca opusul unui număr real $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ numărul real $-t$ ${\ displaystyle -t}$ $-t$ definit prin localizare prin succesiunea de intervale:

I_{n}=\left(-\left[t\right]^{n},-\left[t\right]_{n}\right)=\left(-\left[t\right]_{n}-10^{-n},-\left[t\right]_{n}\right)

{\ displaystyle I_ {n} = \ left (- \ left [t \ right] ^ {n}, - \ left [t \ right] _ {n} \ right) = \ left (- \ left [t \ right ] _ {n} -10 ^ {- n}, - \ left [t \ right] _ {n} \ right)}

{\ displaystyle I_ {n} = \ left (- \ left [t \ right] ^ {n}, - \ left [t \ right] _ {n} \ right) = \ left (- \ left [t \ right ] _ {n} -10 ^ {- n}, - \ left [t \ right] _ {n} \ right)}

Produs

Definiție

Pentru a defini produsul vom lua în considerare două numere reale pozitive, lăsând în afara cazului celor negative; acest lucru se face din moment ce atunci când realii cu semne discordante sunt înmulțite, mai întâi este definit produsul dintre valorile lor absolute și apoi semnul este stabilit ca de obicei (pozitiv dacă semnele sunt de acord, negativ dacă sunt discordante). Ideea de urmat în definirea produsului este foarte asemănătoare cu cea pentru sumă, deși mai complicată. Mai întâi luăm în considerare două numere reale $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , ambele pozitive pentru cele de mai sus; ca o consecință a proprietăților inegalității putem scrie:

w\leq x\leq z

{\ displaystyle w \ leq x \ leq z}

{\ displaystyle w \ leq x \ leq z}

j\leq y\leq j

{\ displaystyle j \ leq y \ leq j}

{\ displaystyle j \ leq y \ leq j}

Adică le estimăm de sus și de jos, iar apoi scriem din nou:

j\times w\leq x\times y\leq j\times z

{\ displaystyle j \ times w \ leq x \ times y \ leq j \ times z}

{\ displaystyle j \ times w \ leq x \ times y \ leq j \ times z}

Dar pentru proprietățile trunchiatului:

\left[x\right]_{n}\leq \ x\leq \ \left[x\right]^{n}

{\ displaystyle \ left [x \ right] _ {n} \ leq \ x \ leq \ \ left [x \ right] ^ {n}}

{\ displaystyle \ left [x \ right] _ {n} \ leq \ x \ leq \ \ left [x \ right] ^ {n}}

\left[y\right]_{n}\leq \ y\leq \ \left[y\right]^{n}

{\ displaystyle \ left [y \ right] _ {n} \ leq \ y \ leq \ \ left [y \ right] ^ {n}}

{\ displaystyle \ left [y \ right] _ {n} \ leq \ y \ leq \ \ left [y \ right] ^ {n}}

Și, prin urmare, vom avea asta:

\left[x\right]_{n}\left[y\right]_{n}\leq \ xy\leq \ \left[x\right]^{n}\left[y\right]^{n}

{\ displaystyle \ left [x \ right] _ {n} \ left [y \ right] _ {n} \ leq \ xy \ leq \ \ left [x \ right] ^ {n} \ left [y \ right] ^ {n}}

{\ displaystyle \ left [x \ right] _ {n} \ left [y \ right] _ {n} \ leq \ xy \ leq \ \ left [x \ right] ^ {n} \ left [y \ right] ^ {n}}

Acum, să vedem la ce game aparține acest produs:

xy\in \left(\left[x\right]_{n}\left[y\right]_{n},\left[x\right]^{n}\left[y\right]^{n}\right)

{\ displaystyle xy \ in \ left (\ left [x \ right] _ {n} \ left [y \ right] _ {n}, \ left [x \ right] ^ {n} \ left [y \ right] ^ {n} \ dreapta)}

{\ displaystyle xy \ in \ left (\ left [x \ right] _ {n} \ left [y \ right] _ {n}, \ left [x \ right] ^ {n} \ left [y \ right] ^ {n} \ dreapta)}

Dar, din moment ce știm asta pentru un adevărat generic $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$

\left[e\right]^{n}=\left[e\right]_{n}+10^{-n}

{\ displaystyle \ left [e \ right] ^ {n} = \ left [e \ right] _ {n} +10 ^ {- n}}

{\ displaystyle \ left [e \ right] ^ {n} = \ left [e \ right] _ {n} +10 ^ {- n}}

Apoi putem scrie succesiunea intervalelor, căreia îi vom da numele $I_{n}\qquad$ ${\ displaystyle I_ {n} \ qquad}$ ${\ displaystyle I_ {n} \ qquad}$ , ca:

ab\in \left(\left[x\right]_{n}\left[y\right]_{n},\left[x\right]_{n}\left[y\right]_{n}+10^{-n}\left(\left[x\right]_{n}+\left[y\right]_{n}\right)+10^{-2n}\right)

{\ displaystyle ab \ in \ left (\ left [x \ right] _ {n} \ left [y \ right] _ {n}, \ left [x \ right] _ {n} \ left [y \ right] _ {n} +10 ^ {- n} \ left (\ left [x \ right] _ {n} + \ left [y \ right] _ {n} \ right) +10 ^ {- 2n} \ right) }

{\ displaystyle ab \ in \ left (\ left [x \ right] _ {n} \ left [y \ right] _ {n}, \ left [x \ right] _ {n} \ left [y \ right] _ {n} +10 ^ {- n} \ left (\ left [x \ right] _ {n} + \ left [y \ right] _ {n} \ right) +10 ^ {- 2n} \ right) }

Pentru a utiliza aceste intervale pentru a localiza produsul, este necesar să se demonstreze a doua ipoteză a principiului Cantor, adică lățimea acestor intervale de cutie poate fi făcută mai mică decât

10^{-m}\quad \forall m.

{\ displaystyle 10 ^ {- m} \ quad \ forall m.}

{\ displaystyle 10 ^ {- m} \ quad \ forall m.}

Pentru a face acest lucru, trebuie mai întâi să știm cât de mare este intervalul (care este și estimarea eventualei erori a operației, așa cum vom vedea mai târziu); din cele spuse înainte putem scrie această diferență $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ ca:

E=10^{-n}\left(\left[x\right]_{n}+\left[y\right]_{n}\right)+10^{-2n}=10^{-n}\left(\left[x\right]_{n}+\left[y\right]_{n}+10^{-n}\right)

{\ displaystyle E = 10 ^ {- n} \ left (\ left [x \ right] _ {n} + \ left [y \ right] _ {n} \ right) +10 ^ {- 2n} = 10 ^ {-n} \ left (\ left [x \ right] _ {n} + \ left [y \ right] _ {n} +10 ^ {- n} \ right)}

{\ displaystyle E = 10 ^ {- n} \ left (\ left [x \ right] _ {n} + \ left [y \ right] _ {n} \ right) +10 ^ {- 2n} = 10 ^ {-n} \ left (\ left [x \ right] _ {n} + \ left [y \ right] _ {n} +10 ^ {- n} \ right)}

Aceasta este valoarea pe care trebuie să o dovedim a fi mai mică decât orice putere de 10 ( m ); întrucât cu prima scriere este foarte dificil să faci operații de comparație, să încercăm să estimăm $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ prin exces, grosolan. Din conceptul de trunchiat derivăm că, pentru un generic real $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ :

\left[f\right]_{n}\leq \ \left[f\right]^{n}\leq \ \left[f\right]^{0}=\left[f\right]_{0}+1

{\ displaystyle \ left [f \ right] _ {n} \ leq \ \ left [f \ right] ^ {n} \ leq \ \ left [f \ right] ^ {0} = \ left [f \ right] _ {0} +1}

{\ displaystyle \ left [f \ right] _ {n} \ leq \ \ left [f \ right] ^ {n} \ leq \ \ left [f \ right] ^ {0} = \ left [f \ right] _ {0} +1}

Și din aceasta putem scrie atunci:

\left[x\right]_{n}\leq \ \left[x\right]^{n}\leq \ \left[x\right]^{0}=\left[x\right]_{0}+1

{\ displaystyle \ left [x \ right] _ {n} \ leq \ \ left [x \ right] ^ {n} \ leq \ \ left [x \ right] ^ {0} = \ left [x \ right] _ {0} +1}

{\ displaystyle \ left [x \ right] _ {n} \ leq \ \ left [x \ right] ^ {n} \ leq \ \ left [x \ right] ^ {0} = \ left [x \ right] _ {0} +1}

\left[y\right]_{n}\leq \ \left[y\right]^{n}\leq \ \left[y\right]^{0}=\left[y\right]_{0}+1

{\ displaystyle \ left [y \ right] _ {n} \ leq \ \ left [y \ right] ^ {n} \ leq \ \ left [y \ right] ^ {0} = \ left [y \ right] _ {0} +1}

{\ displaystyle \ left [y \ right] _ {n} \ leq \ \ left [y \ right] ^ {n} \ leq \ \ left [y \ right] ^ {0} = \ left [y \ right] _ {0} +1}

Mai mult, din moment ce $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un număr natural, atunci:

10^{-n}\leq \ 1

{\ displaystyle 10 ^ {- n} \ leq \ 1}

{\ displaystyle 10 ^ {- n} \ leq \ 1}

Deci putem estima, prin exces, $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ ca:

10^{-n}\left(\left[x\right]_{0}+1+\left[y\right]_{0}+1+1\right)=10^{-n}\left(\left[x\right]_{0}+\left[y\right]_{0}+3\right)

{\ displaystyle 10 ^ {- n} \ left (\ left [x \ right] _ {0} +1+ \ left [y \ right] _ {0} + 1 + 1 \ right) = 10 ^ {- n } \ left (\ left [x \ right] _ {0} + \ left [y \ right] _ {0} +3 \ right)}

{\ displaystyle 10 ^ {- n} \ left (\ left [x \ right] _ {0} +1+ \ left [y \ right] _ {0} + 1 + 1 \ right) = 10 ^ {- n } \ left (\ left [x \ right] _ {0} + \ left [y \ right] _ {0} +3 \ right)}

Pentru claritate vom apela valoarea dintre paranteze $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ : acum ne putem gândi să creștem $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ cu:

E\leq \ 10^{-n}F

{\ displaystyle E \ leq \ 10 ^ {- n} F}

{\ displaystyle E \ leq \ 10 ^ {- n} F}

Acum căutăm o putere de 10 mai mare decât $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , și să-i spunem $10^{h}$ ${\ displaystyle 10 ^ {h}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {h}}$ ; prin urmare, putem scrie:

E\leq \ 10^{-n}F\leq \ 10^{-n}\cdot 10^{h}=10^{h-n}

{\ displaystyle E \ leq \ 10 ^ {- n} F \ leq \ 10 ^ {- n} \ cdot 10 ^ {h} = 10 ^ {hn}}

{\ displaystyle E \ leq \ 10 ^ {- n} F \ leq \ 10 ^ {- n} \ cdot 10 ^ {h} = 10 ^ {h-n}}

Ceea ce am făcut în practică este o serie de estimări în exces, foarte aspre, dar care ne-au permis să estimăm eroarea mai clar; de fapt acum putem compara ultima cantitate obținută cu $10^{-m}$ ${\ displaystyle 10 ^ {- m}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {- m}}$ , ceea ce ne cerea principiul de localizare:

10^{h-n}\leq \ 10^{-m}\Longrightarrow \ n=m+h

{\ displaystyle 10 ^ {hn} \ leq \ 10 ^ {- m} \ Longrightarrow \ n = m + h}

{\ displaystyle 10 ^ {h-n} \ leq \ 10 ^ {- m} \ Longrightarrow \ n = m + h}

Am obținut astfel o valoare care trebuie respectată, în alegerea numărului de cifre ale factorilor, pentru a putea aplica Cantor; acum putem deci defini produsul numerelor reale: date $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ pozitive reale, produsul lor este definit $X y$ ${\ displaystyle xy}$ $X y$ ca număr real definit pentru localizare de intervale

I_{n}=\left(\left[x\right]_{n}\left[y\right]_{n},\left[x\right]_{n}\left[y\right]_{n}+10^{-n}\left(\left[x\right]_{n}+\left[y\right]_{n}\right)+10^{-2n}\right)

{\ displaystyle I_ {n} = \ left (\ left [x \ right] _ {n} \ left [y \ right] _ {n}, \ left [x \ right] _ {n} \ left [y \ dreapta] _ {n} +10 ^ {- n} \ left (\ left [x \ right] _ {n} + \ left [y \ right] _ {n} \ right) +10 ^ {- 2n} \ dreapta)}

{\ displaystyle I_ {n} = \ left (\ left [x \ right] _ {n} \ left [y \ right] _ {n}, \ left [x \ right] _ {n} \ left [y \ dreapta] _ {n} +10 ^ {- n} \ left (\ left [x \ right] _ {n} + \ left [y \ right] _ {n} \ right) +10 ^ {- 2n} \ dreapta)}

Estimarea preciziei

Dacă vrem să înmulțim între două numere reale, condiția necesară pe care trebuia să o aplicăm Cantor este foarte utilă, adică

n=m+h

{\ displaystyle n = m + h}

{\ displaystyle n = m + h}

Reamintim că în acest caz $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , precizia figurii cu care se scriu factorii (indicele trunchiatului), trebuie aleasă egală cu suma dintre $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , care este exponentul puterii de 10 din eroarea maximă care trebuie făcută și $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ , care este exponentul puterii lui 10 care crește Cazul estimării preciziei în produsul realilor este radical diferit de ceea ce am văzut pentru sumă: eroarea în adunare este independentă de adunările care trebuie adăugate, dar depinde doar pe numărul de cifre cu care sunt calculate. În schimb, eroarea produsului este enorm influențată de amploarea factorilor, dovadă fiind faptul că 10 au crescut la $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ trebuie să fie mai mare decât $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ care este

\left[x\right]_{0}+\left[y\right]_{0}+3

{\ displaystyle \ left [x \ right] _ {0} + \ left [y \ right] _ {0} +3}

{\ displaystyle \ left [x \ right] _ {0} + \ left [y \ right] _ {0} +3}

Împărțire și inversare

Pentru a descrie modul în care funcționează împărțirea între numere reale, este obișnuit să se utilizeze conceptul, deja descris, de produs prin înmulțirea unui număr (împărțirea) cu inversul altui (divizor). Prin urmare, problema se rezumă la definirea inversă a unui număr real. Instinctiv, principiul de localizare al Cantor (și cele trunchiate) ar fi folosit din nou, dar acest lucru este imposibil: de fapt, dacă împărțim 1 la un număr zecimal finit, numărul trunchiat al numărului care ne interesează se poate întâmpla să ne găsim operând cu serie zecimală periodică. Această complicație poate fi însă depășită: dacă trebuie să definim trunchiatul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -thth dintr-un număr real $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ se folosește totuși o versiune a algoritmului lui Euclid , extinsă la cele reale, prin urmare ușor modificată. Algoritmul menționat mai sus poate fi rezumat după cum urmează:

Numărul nostru de plecare, a spus $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ Și $10^{n}$ ${\ displaystyle 10 ^ {n}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {n}}$ , contorul $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este 0
Scădea $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ din $^{″} L^{″}$ ${\ displaystyle '' L ''}$ ${\ displaystyle '' L ''}$ , acest număr va fi cel nou $L$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle L}$ ; $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este mărită cu 1
De sine $L<a$ ${\ displaystyle L <a}$ ${\ displaystyle L <a}$ treceți la pasul 4, altfel începeți de la 2
Cererea trunchiată este dată de $10^{-n}C$ ${\ displaystyle 10 ^ {- n} C}$ ${\ displaystyle 10 ^ {- n} C}$

În acest moment putem defini în condiții de siguranță coeficientul dintre reali cu produsul.

Exponențierea

Dacă luăm în considerare două numere reale $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , unde primul trebuie să fie strict mai mare decât 0, le putem defini puterea prin exponențială :

f^{g}=e^{g\lg f}\,\!

{\ displaystyle f ^ {g} = e ^ {g \ lg f} \, \!}

{\ displaystyle f ^ {g} = e ^ {g \ lg f} \, \!}

Prin urmare, am redus cazul la o exponențială, unde $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ este numărul lui Euler și $L g$ ${\ displaystyle lg}$ ${\ displaystyle lg}$ , care poate fi scris și $^{″} L n^{″}$ ${\ displaystyle '' ln ''}$ ${\ displaystyle '' ln ''}$ sau $log_{e}$ ${\ displaystyle log_ {e}}$ ${\ displaystyle log_ {e}}$ , este logaritmul natural . Formula pentru putere se obține cu ușurință din proprietățile puterilor și din faptul că logaritmul este funcția inversă a exponențialei:

f^{g}=\left(e^{lgf}\right)^{g}=e^{g\lg f}

{\ displaystyle f ^ {g} = \ left (e ^ {lgf} \ right) ^ {g} = e ^ {g \ lg f}}

{\ displaystyle f ^ {g} = \ left (e ^ {lgf} \ right) ^ {g} = e ^ {g \ lg f}}

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică