Ordinea între numere reale

Când vorbim despre ordonarea numerelor reale , ne referim la toate relațiile de comparație care se pot stabili între ele; cel mai simplu mod de a face acest lucru este să luați în considerare numerele reale prin cele trunchiate . Utilizarea celui trunchiat acționează în practică între numere în formă zecimală, chiar dacă de la caz la caz se pot modifica, acționând asupra indexului.

Egalitatea între numere în formă zecimală

Dat fiind două numere reale a și b :

a=b\Longleftrightarrow \forall {n}\in \mathbb {N} \;\left[a\right]_{n}-\left[b\right]_{n}\leq 10^{-n}

{\ displaystyle a = b \ Longleftrightarrow \ forall {n} \ in \ mathbb {N} \; \ left [a \ right] _ {n} - \ left [b \ right] _ {n} \ leq 10 ^ { -n}}

{\ displaystyle a = b \ Longleftrightarrow \ forall {n} \ in \ mathbb {N} \; \ left [a \ right] _ {n} - \ left [b \ right] _ {n} \ leq 10 ^ { -n}}

Nu este dificil de dedus că acest criteriu este valabil pentru ambele două condiții diferite în care două serii exprimă numere egale:

egal pentru fiecare cifră
două reprezentări, una 0-periodică și cealaltă 9-periodică a aceleiași zecimale finite

O altă consecință importantă a acestei definiții este faptul că ne permite să verificăm modul în care criteriul egalității dintre numerele reale se bucură de cele trei proprietăți fundamentale ale relațiilor de echivalență pe care le-am văzut respectate și pentru câmpul rațional și natural . De fapt, egalitatea între reali are:

Proprietatea reflexivă, adică dată unui număr real r , r = r
Proprietatea simetrică, adică dacă, date două reale a și b , a = b , atunci vom avea și acel b = a
Proprietatea tranzitivă, care afirmă, date trei numere reale p , q , r , dacă p = q și q = r , atunci p = r

Inegalitate între numere în formă zecimală

Pentru a determina dacă două numere reale a și b sunt diferite, se folosește următorul principiu:

a\neq \ b\Longleftrightarrow \exists \ {\tilde {n}}\in \mathbb {N} \;:\left[a\right]_{\tilde {n}}-\left[b\right]_{\tilde {n}}>\ 10^{-n}

{\ displaystyle a \ neq \ b \ Longleftrightarrow \ există \ {\ tilde {n}} \ in \ mathbb {N} \ ;: left [a \ right] _ {\ tilde {n}} - \ left [b \ dreapta] _ {\ tilde {n}}> \ 10 ^ {- n}}

{\ displaystyle a \ neq \ b \ Longleftrightarrow \ există \ {\ tilde {n}} \ in \ mathbb {N} \ ;: left [a \ right] _ {\ tilde {n}} - \ left [b \ dreapta] _ {\ tilde {n}}> \ 10 ^ {- n}}

În realitate, criteriul poate fi formulată într - un al doilea mod observând că în cazul în care diferența dintre cele două n trunchiate cifre este strict mai mare decât: $10^{-n}$ ${\ displaystyle 10 ^ {- n}}$ $10 ^ {{- n}}$ , adică a unei unități pe ultima cifră, aceasta înseamnă că merită cel puțin două unități, și anume: $2\cdot 10^{-n}$ ${\ displaystyle 2 \ cdot 10 ^ {- n}}$ ${\ displaystyle 2 \ cdot 10 ^ {- n}}$ . Prin urmare, criteriul poate fi afirmat după cum urmează:

a\neq \ b\Longleftrightarrow \exists \ {\tilde {n}}\in \mathbb {N} \;:\left[a\right]_{\tilde {n}}-\left[b\right]_{\tilde {n}}\geq \ 2\cdot 10^{-n}

{\ displaystyle a \ neq \ b \ Longleftrightarrow \ există \ {\ tilde {n}} \ in \ mathbb {N} \ ;: left [a \ right] _ {\ tilde {n}} - \ left [b \ right] _ {\ tilde {n}} \ geq \ 2 \ cdot 10 ^ {- n}}

{\ displaystyle a \ neq \ b \ Longleftrightarrow \ există \ {\ tilde {n}} \ in \ mathbb {N} \ ;: left [a \ right] _ {\ tilde {n}} - \ left [b \ right] _ {\ tilde {n}} \ geq \ 2 \ cdot 10 ^ {- n}}

Sortarea numerelor în formă zecimală

Să luăm în considerare două numere reale, x și y : acum să vedem care trebuie să fie caracteristicile liniilor lor trunchiate pentru a exista relații de creștere sau scădere între ele (apropiate sau nu):

$X$ $\leq$ $y$ {\ displaystyle {x} \ leq \ {y} \ quad} ${\ displaystyle {x} \ leq \ {y} \ quad}$ de sine
- $x=y\quad \qquad \quad \qquad \qquad$ ${\ displaystyle x = y \ quad \ qquad \ quad \ qquad \ qquad}$ ${\ displaystyle x = y \ quad \ qquad \ quad \ qquad \ qquad}$ sau
- $\forall {n}\in \mathbb {N} \;\left[x\right]_{n}\leq \ \left[y\right]_{n}$ ${\ displaystyle \ forall {n} \ in \ mathbb {N} \; \ left [x \ right] _ {n} \ leq \ \ left [y \ right] _ {n}}$ ${\ displaystyle \ forall {n} \ in \ mathbb {N} \; \ left [x \ right] _ {n} \ leq \ \ left [y \ right] _ {n}}$
$y>\ x\quad \qquad \qquad \quad$ ${\ displaystyle y> \ x \ quad \ qquad \ qquad \ quad}$ ${\ displaystyle y> \ x \ quad \ qquad \ qquad \ quad}$ de sine $\qquad \quad \qquad x\neq \ y\quad$ ${\ displaystyle \ qquad \ quad \ qquad x \ neq \ y \ quad}$ ${\ displaystyle \ qquad \ quad \ qquad x \ neq \ y \ quad}$ Și $\qquad \qquad \quad x\leq \ y$ ${\ displaystyle \ qquad \ qquad \ quad x \ leq \ y}$ ${\ displaystyle \ qquad \ qquad \ quad x \ leq \ y}$

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică