Constanta lui Legendre

Constanta lui Legendre
Simbol	B.
Valoare	1
Originea numelui	Adrien-Marie Legendre
Graficele prezintă respectiv primele 10 ⁵ și 10 ⁷ valori ale secvenței din definiția constantei Legendre (în roșu). În primul grafic, secvența pare să convergă la 1.08366 (linia albastră) așa cum este conjecturată de Legendre, dar în realitate converge la 1 (linia neagră).

Constanta lui Legendre este o constantă matematică care apare în formularea lui Legendre a teoremei numărului prim . Este definit ca

B=\lim _{n\rightarrow \infty }\ln(n)-{n \over \pi (n)},

{\ displaystyle B = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ ln (n) - {n \ over \ pi (n)},}

{\ displaystyle B = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ ln (n) - {n \ over \ pi (n)},}

unde este $\pi (x)$ ${\ displaystyle \ pi (x)}$ $\ pi (x)$ este numărul primilor mai mic decât $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Valoarea reală a constantei a făcut obiectul a numeroase studii; În cele din urmă, a fost demonstrat de Charles Jean de la Vallée-Poussin că merită 1, astfel încât utilizarea sa are până acum doar o valoare istorică.

Legendre conjecturase în 1796 că π ( x ) este asimptotic a

\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)-B}},

{\ displaystyle \ pi (x) \ sim {\ frac {x} {\ ln (x) -B}},}

{\ displaystyle \ pi (x) \ sim {\ frac {x} {\ ln (x) -B}},}

unde B este orice număr real, presupunând, de asemenea, că, dintre toate opțiunile posibile ale lui b , cea mai bună aproximare este cea obținută alegând B = 1,08366. Cu toate acestea, dovada teoremei numerelor prime (cu estimarea termenului de eroare) dovedită de de la Vallée-Poussin în 1899 , implică faptul că cea mai bună aproximare se obține cu B = 1, contrar celor prezise de Legendre.

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein, Legendre's Constant , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică