Inegalitatea fraților Markov

În teoria probabilității și statisticile , inegalitatea fraților Markov este o inegalitate demonstrată de Andrei Markov jr. pentru $k=1$ ${\ displaystyle k = 1}$ $k = 1$ iar de fratele său Vladimir pentru $k=2,3,\dots$ ${\ displaystyle k = 2,3, \ dots}$ ${\ displaystyle k = 2,3, \ dots}$ . Se precizează următoarele.

De sine $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este un polinom de grad $\leq n$ ${\ displaystyle \ leq n}$ $\ leq n$ , asa de

\max _{-1\leq x\leq 1}|P^{(k)}(x)|\leq {\frac {n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})\cdots (n^{2}-(k-1)^{2})}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)}}\max _{-1\leq x\leq 1}|P(x)|.

{\ displaystyle \ max _ {- 1 \ leq x \ leq 1} | P ^ {(k)} (x) | \ leq {\ frac {n ^ {2} (n ^ {2} -1 ^ {2 }) (n ^ {2} -2 ^ {2}) \ cdots (n ^ {2} - (k-1) ^ {2})} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2k-1) }} \ max _ {- 1 \ leq x \ leq 1} | P (x) |.}

{\ displaystyle \ max _ {- 1 \ leq x \ leq 1} | P ^ {(k)} (x) | \ leq {\ frac {n ^ {2} (n ^ {2} -1 ^ {2 }) (n ^ {2} -2 ^ {2}) \ cdots (n ^ {2} - (k-1) ^ {2})} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2k-1) }} \ max _ {- 1 \ leq x \ leq 1} | P (x) |.}

Egalitatea este satisfăcută de polinoamele Chebyshev de primul fel .

Bibliografie

NI Achiezer (Akhiezer), Teoria aproximării , tradus din rusă și cu o prefață de Charles J. Hyman, Dover Publications, Inc., New York, 1992. x + 307 pp.
AA Markov, La o întrebare de DI Mendeleev , Zap. Imp. Akad. Nauk SPb. 62 (1890), 1-24
VA Markov, O funktsiyakh, naimeneye uklonyayushchikhsya ot nulya v dannom promezhutke (1892). Publicat în germană cu o prefață de Sergei Bernstein : Über Polynome, die in einem gegebenen Intervalle möglichst wenig von Null abweichen , Math. Ann. 77 (1916), 213-258

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică