Enumerarea graficelor

Lista completă a tuturor libere de arbori grafice generate de 2,3,4 noduri etichetate: o

2^{2-2}=1

{\ displaystyle 2 ^ {2-2} = 1}

{\ displaystyle 2 ^ {2-2} = 1}

copac pentru 2 vârfuri,

3^{3-2}=3

{\ displaystyle 3 ^ {3-2} = 3}

{\ displaystyle 3 ^ {3-2} = 3}

grafice arborescente pentru 3 vârfuri e

4^{4-2}=16

{\ displaystyle 4 ^ {4-2} = 16}

{\ displaystyle 4 ^ {4-2} = 16}

pentru 4 vârfuri.

În domeniul matematicii combinatorii , enumerarea graficului descrie o clasă de probleme de enumerare combinatorie, în care un grafic direct sau indirect este supus calculului algebric, de obicei în funcție de numărul de vârfuri ale graficului în sine. ^[1] Problemele acestei clase admit atât o soluție exactă, cum ar fi cele ale enumerării algebrice, cât și o soluție asimptotic aproximată.

Pionierii în acest domeniu al matematicii discrete au fost Pólya ^[2] , Arthur Cayley ^[3] și John Howard Redfield. ^[4]

Probleme etichetate

Vârfurile pot fi etichetate (engleză: etichetate ) sau neetichetate ( neetichetate ). În primul caz, vârfurile se disting între ele; în cel de-al doilea caz, totuși, orice permutare a vârfurilor formează același grafic și, prin urmare, se spune că vârfurile sunt indistincte și echivalente una cu cealaltă.

Teorema enumerării Pólya, cunoscută și sub numele de teorema Redfield - Pólya, este un instrument analitic important pentru a reduce problemele neetichetate la forma mai simplă a celor etichetate ^[5] , considerând fiecare clasă fără etichetă ca o clasă de simetrie a obiectelor etichetate.

Formule de enumerare exacte

Unele rezultate teoretice de o importanță deosebită sunt date de următoarele formule exacte.

numărul de grafice simple etichetate indirecte generate de un grafic cu n vârfuri este egal cu 2 ^{n ( n - 1) / 2} . ^[6] ;
numărul de grafice directe directe etichetate care sunt generate de un grafic cu n vârfuri este egal cu 2 ^{n ( n - 1)} . ^[7] ;
numărul C _n al graficelor conectate indirecte etichetate satisface relația de recurență ^[8] :

C_{n}=2^{n \choose 2}-{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n-1}k{n \choose k}2^{n-k \choose 2}C_{k}.

{\ displaystyle C_ {n} = 2 ^ {n \ alege 2} - {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} k {n \ alege k} 2 ^ {nk \ alege 2} C_ {k}.}

{\ displaystyle C_ {n} = 2 ^ {n \ alege 2} - {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} k {n \ alege k} 2 ^ {nk \ alege 2} C_ {k}.}

, care pentru n = 1, 2, 3, ... returnează valorile lui C _n : 1, 1, 4, 38, 728, 26704, 1866256, ... descrise de secvența A001187 din proiectul OEIS ;

numărul de liber etichetate de arbori grafice care sunt generate de un grafic cu n noduri este egal cu n ^{n - 2} ( formula lui Cayley );
numărul graficelor pe șenile, care sunt generate de un grafic cu n vârfuri, este egal cu ^[9] :

2^{n-4}+2^{\lfloor (n-4)/2\rfloor }.

{\ displaystyle 2 ^ {n-4} +2 ^ {\ lfloor (n-4) / 2 \ rfloor}.}

{\ displaystyle 2 ^ {n-4} +2 ^ {\ lfloor (n-4) / 2 \ rfloor}.}

Notă

^ Frank Harary și Edgar M. Palmer, Enumerare grafică , Academic Press , 1973, ISBN 0-12-324245-2 .
^ Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen , în Acta Math , 68 (1937), pp. 145-254
^ Baza de date Cambridge Alumni , la venn.lib.cam.ac.uk.
^ Teoria distribuțiilor reduse de grup. Americanul J. Math. 49 (1927), 433-455.
^ Harary și Palmer, p. 1.
^ Harary și Palmer, p. 3.
^ Harary și Palmer, p. 5.
^ Harary și Palmer, p. 7.
^ Frank Harary și Allen J. Schwenk, The number of omizi ( PDF ), în Discrete Mathematics , vol. 6, nr. 4, 1973, pp. 359-365, DOI : 10.1016 / 0012-365x (73) 90067-8 . .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica

[1] Frank Harary și Edgar M. Palmer, Enumerare grafică , Academic Press , 1973, ISBN 0-12-324245-2 .

[2] Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen , în Acta Math , 68 (1937), pp. 145-254

[3] Baza de date Cambridge Alumni , la venn.lib.cam.ac.uk.

[4] Teoria distribuțiilor reduse de grup. Americanul J. Math. 49 (1927), 433-455.

[5] Harary și Palmer, p. 1.

[6] Harary și Palmer, p. 3.

[7] Harary și Palmer, p. 5.

[8] Harary și Palmer, p. 7.

[9] Frank Harary și Allen J. Schwenk, The number of omizi ( PDF ), în Discrete Mathematics , vol. 6, nr. 4, 1973, pp. 359-365, DOI : 10.1016 / 0012-365x (73) 90067-8 . .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]