Ecuația Avrami

Trecerea de la o fază la alta reprezentată de creșterea nucleilor cristalini.

Ecuația lui Avrami descrie modul în care solidele se transformă atunci când trec de la o stare de agregare la alta, menținând temperatura constantă. Mai exact, această relație matematică este adoptată pentru a descrie cinetica cristalizării , ca cea a materialelor polimerice , dar este valabilă și ca primă aproximare pentru a descrie alte schimbări de stare sau pentru analize ale sistemelor ecologice . ^[1]

Ecuația a fost derivată pentru prima dată de la Andrey Kolmogorov în 1937, cu toate acestea este numită după Melvin Avrami , care a ajuns la acest rezultat și a făcut-o mai populară după o serie de publicații în Journal of Chemical Physics , între 1939 și 1941. Din acest motiv autor multiplu, ecuația este cunoscută și sub numele de Johnson-Mehl-Avrami-Kolmogorov (pe scurt, ecuația JMAK din inițialele oamenilor de știință). ^[2] ^[3] ^[4]

Derivare

Curba tipică de transformare izotermă (în roșu). Transformarea poate fi descrisă folosind ecuația lui Avrami, obținând curba verde.

Cea mai simplă derivare a ecuației Avrami se bazează pe numeroase ipoteze și simplificări care adesea o fac inadecvată pentru prezicerea comportamentului cristalizării: ^[5]

Nucleația primară are loc aleatoriu și omogen pe toată porțiunea de material care nu a fost încă transformată.
Rata de creștere a unui centru nu depinde de cea a celorlalte centre.
Creșterea are loc în același ritm în toate direcțiile.

Dacă aceste condiții sunt îndeplinite, atunci o transformare a $\alpha \,\!$ ${\ displaystyle \ alpha \, \!}$ ${\ displaystyle \ alpha \, \!}$ în $\beta \,\!$ ${\ displaystyle \ beta \, \!}$ ${\ displaystyle \ beta \, \!}$ va avea loc grație nucleației de particule noi, la viteză ${\dot {N}}\,\!$ ${\ displaystyle {\ dot {N}} \, \!}$ ${\ displaystyle {\ dot {N}} \, \!}$ pe unitate de volum, care în schimb crește viteza ${\dot {G}}\,\!$ ${\ displaystyle {\ dot {G}} \, \!}$ ${\ displaystyle {\ dot {G}} \, \!}$ . Se obțin particule sferice și creșterea se oprește numai atunci când încep să se ciocnească una de cealaltă. În timpul intervalului de timp $0<\tau <t\,\!$ ${\ displaystyle 0 <\ tau <t \, \!}$ ${\ displaystyle 0 <\ tau <t \, \!}$ nucleația și acreția iau parte numai în regiunile amorfe ale materialului. În orice caz, problema este rezolvată prin aplicarea conceptului de volum extins , adică a volumului noii faze care ar apărea dacă întregul eșantion ar fi complet netransformat. În practică, se presupune că nu există deja cristale preformate. În intervalul de la τ la τ + dτ numărul de nuclee, N, care apare într-un volum V va fi dat de relația:

N=V{\dot {N}}d\tau \,\!

{\ displaystyle N = V {\ dot {N}} d \ tau \, \!}

{\ displaystyle N = V {\ dot {N}} d \ tau \, \!}

[1]

Deoarece acreția este izotropă, constantă și neafectată de transformările materiale anterioare, fiecare nucleu va deveni o sferă de rază ${\dot {G}}(t-\tau )$ ${\ displaystyle {\ dot {G}} (t- \ tau)}$ ${\ displaystyle {\ dot {G}} (t- \ tau)}$ și astfel volumul extins de $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ Sara:

dV_{\beta }^{e}={\frac {4\pi }{3}}{\dot {G}}^{3}(t-\tau )^{3}V{\dot {N}}d\tau \,\!

{\ displaystyle dV _ {\ beta} ^ {e} = {\ frac {4 \ pi} {3}} {\ dot {G}} ^ {3} (t- \ tau) ^ {3} V {\ punct {N}} d \ tau \, \!}

{\ displaystyle dV _ {\ beta} ^ {e} = {\ frac {4 \ pi} {3}} {\ dot {G}} ^ {3} (t- \ tau) ^ {3} V {\ punct {N}} d \ tau \, \!}

Prin integrarea acestei ecuații între $\tau =0$ ${\ displaystyle \ tau = 0}$ $\ tau = 0$ Și $\tau =t$ ${\ displaystyle \ tau = t}$ ${\ displaystyle \ tau = t}$ veți obține volumul extins total care apare în acest interval de timp:

V_{\beta }^{e}={\frac {\pi }{3}}V{\dot {N}}{\dot {G}}^{3}t^{4}\,\!

{\ displaystyle V _ {\ beta} ^ {e} = {\ frac {\ pi} {3}} V {\ dot {N}} {\ dot {G}} ^ {3} t ^ {4} \ , \!}

{\ displaystyle V _ {\ beta} ^ {e} = {\ frac {\ pi} {3}} V {\ dot {N}} {\ dot {G}} ^ {3} t ^ {4} \ , \!}

Doar o fracțiune din acest volum este reală. O parte din el se află în materialul transformat anterior și, prin urmare, este virtual, deoarece am presupus că la început nu existau regiuni cristaline pre-formate. Deoarece nucleația este aleatorie, fracția de volum extins care apare în fiecare interval de timp și care este reală, va fi proporțională cu fracția de volum a fazei $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ nu transformat. Ergo:

dV_{\beta }=dV_{\beta }^{e}(1-V_{\beta }/V)\,\!

{\ displaystyle dV _ {\ beta} = dV _ {\ beta} ^ {e} (1-V _ {\ beta} / V) \, \!}

{\ displaystyle dV _ {\ beta} = dV _ {\ beta} ^ {e} (1-V _ {\ beta} / V) \, \!}

rearanjare

{\frac {1}{1-V_{\beta }/V}}dV_{\beta }=dV_{\beta }^{e}\,\!

{\ displaystyle {\ frac {1} {1-V _ {\ beta} / V}} dV _ {\ beta} = dV _ {\ beta} ^ {e} \, \!}

{\ displaystyle {\ frac {1} {1-V _ {\ beta} / V}} dV _ {\ beta} = dV _ {\ beta} ^ {e} \, \!}

iar după o integrare

\ln(1-Y)=-V_{\beta }^{e}/V\,\!

{\ displaystyle \ ln (1-Y) = - V _ {\ beta} ^ {e} / V \, \!}

{\ displaystyle \ ln (1-Y) = - V _ {\ beta} ^ {e} / V \, \!}

unde Y este fracția de volum a fazei $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ ( $V_{\beta }/V$ ${\ displaystyle V _ {\ beta} / V}$ ${\ displaystyle V _ {\ beta} / V}$ ).

Având în vedere ecuațiile de mai sus, putem reduce acest rezultat la ceea ce s-a numit ecuația JMAK sau ecuația lui Avrami . care dă fracțiunea de material transformată după o anumită perioadă de timp și la un T. fix

Y=1-\exp(-Kt^{n})\,\!

{\ displaystyle Y = 1- \ exp (-Kt ^ {n}) \, \!}

{\ displaystyle Y = 1- \ exp (-Kt ^ {n}) \, \!}

unde este

K=\pi {\dot {N}}{\dot {G}}^{3}/3\,\!

{\ displaystyle K = \ pi {\ dot {N}} {\ dot {G}} ^ {3} / 3 \, \!}

{\ displaystyle K = \ pi {\ dot {N}} {\ dot {G}} ^ {3} / 3 \, \!}

Și

n=4\,\!

{\ displaystyle n = 4 \, \!}

{\ displaystyle n = 4 \, \!}

Poate fi rescris ca:

\ln \,{(-\ln {[1-Y(t)]})}=\ln K+n\ln t\,\!

{\ displaystyle \ ln \, {(- \ ln {[1-Y (t)]})} = \ ln K + n \ ln t \, \!}

{\ displaystyle \ ln \, {(- \ ln {[1-Y (t)]})} = \ ln K + n \ ln t \, \!}

care permite determinarea constantelor n și k dintr-un grafic logaritmic al lnln (1 / (1-Y)) vs ln (t). Dacă transformarea urmează relația Avrami, atunci vom obține o linie dreaptă cu o pantă de interceptări ne egale cu ln (K).

Notă

^ I. Avramov, Cinetica distribuției infecțiilor în rețele , în Physica A: Statistic Mechanics and its Applications , vol. 379, nr. 2, 15 iunie 2007, pp. 615–620, DOI : 10.1016 / j.physa.2007.02.002 . Adus la 8 mai 2017 .
^ Cinetica schimbării fazei. I General Theory , în Journal of Chemical Physics , vol. 7, nr. 12, 1 decembrie 1939, pp. 1103–1112, DOI : 10.1063 / 1.1750380 . Adus la 8 mai 2017 .
^ Cinetica schimbării fazei. II Relații de transformare - timp pentru distribuția aleatorie a nucleelor , în Jurnalul de fizică chimică , vol. 8, nr. 2, 1 februarie 1940, pp. 212–224, DOI : 10.1063 / 1.1750631 . Adus la 8 mai 2017 .
^ Granularea, schimbarea fazei și microstructura cinetică a schimbării fazei. III , în Jurnalul de fizică chimică , vol. 9, nr. 2, 1 februarie 1941, pp. 177–184, DOI : 10.1063 / 1.1750872 . Adus la 8 mai 2017 .
^ AK Jena, MC Chaturvedi, Transformări de fază în materiale , Prentice Hall, 1992, p. 243, ISBN 0-13-663055-3 .

Bibliografie

Fundamentele științei polimerilor , AIM, 2001. Capitolul 8 „Cristalizare”.

linkuri externe

Portalul chimiei

Portalul de fizică

Portalul de materiale

[1] I. Avramov, Cinetica distribuției infecțiilor în rețele , în Physica A: Statistic Mechanics and its Applications , vol. 379, nr. 2, 15 iunie 2007, pp. 615–620, DOI : 10.1016 / j.physa.2007.02.002 . Adus la 8 mai 2017 .

[2] Cinetica schimbării fazei. I General Theory , în Journal of Chemical Physics , vol. 7, nr. 12, 1 decembrie 1939, pp. 1103–1112, DOI : 10.1063 / 1.1750380 . Adus la 8 mai 2017 .

[3] Cinetica schimbării fazei. II Relații de transformare - timp pentru distribuția aleatorie a nucleelor , în Jurnalul de fizică chimică , vol. 8, nr. 2, 1 februarie 1940, pp. 212–224, DOI : 10.1063 / 1.1750631 . Adus la 8 mai 2017 .

[4] Granularea, schimbarea fazei și microstructura cinetică a schimbării fazei. III , în Jurnalul de fizică chimică , vol. 9, nr. 2, 1 februarie 1941, pp. 177–184, DOI : 10.1063 / 1.1750872 . Adus la 8 mai 2017 .

[5] AK Jena, MC Chaturvedi, Transformări de fază în materiale , Prentice Hall, 1992, p. 243, ISBN 0-13-663055-3 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]